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Curvas paramétricas

Explore curvas paramétricas: veja o ponto de traçado e o vetor tangente conforme t varia.

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O mesmo desenho pode ser traçado em velocidades bem diferentes

Uma curva paramétrica carrega mais informação do que a forma que deixa para trás. Compare (cos t, sin t) com (cos 2t, sin 2t): as duas traçam a mesma circunferência unitária, e nenhum desenho as distinguiria — mas a segunda termina na metade do tempo. Infinitas parametrizações produzem exatamente a mesma imagem. É por isso que o comprimento de arco é uma propriedade do traço, enquanto velocidade e sentido pertencem apenas ao cronograma que o produziu, e por isso a física recorre a parâmetros em vez de gráficos: a órbita de um planeta é uma forma, mas seu movimento ao longo dessa forma é o que importa.

Duas regras guiam um lápis

Em vez de perguntar qual y corresponde a cada x, uma curva paramétrica põe um relógio t a andar e guia um lápis com duas regras separadas: x(t) define o quanto se desloca para a direita e y(t) o quanto sobe. O traço que você vê é apenas metade da história; o ponto móvel e seu vetor tangente trazem o resto: direção e velocidade. Como o comprimento da seta é a velocidade, a mesma forma pode ser desenhada devagar ou às pressas e parecer idêntica, enquanto o movimento por trás dela é completamente diferente.

O relógio que ignora sua oscilação

Vire a cicloide x = t − sin(t), y = 1 − cos(t) de cabeça para baixo e ela se torna a tautócrona: uma esfera sem atrito chega ao ponto mais baixo exatamente no mesmo tempo, não importa de onde você a solte. Christiaan Huygens aproveitou isso em 1673, curvando relógios de pêndulo com faces cicloidais para que o pêndulo marcasse a hora com precisão qualquer que fosse a amplitude do balanço. Uma única curva paramétrica deu à relojoaria seu primeiro pêndulo imune à amplitude.

Problema resolvido na íntegra

  1. Posição e velocidade da curva de Lissajous em t = π 6 passos

    A curva de Lissajous x = cos 3t, y = sin 2t em t = π. Determine a posição e a velocidade que o painel apresenta e, em seguida, encontre o único dado que ele não mostra: o quão acentuadamente a curva flete.

    1. Duas funções independentes do mesmo parâmetro. Derivá-las constitui a totalidade da velocidade, e a regra da cadeia fornece os fatores 3 e 2.

      x(t)=cos⁡3t,y(t)=sin⁡2t;x˙=−3sin⁡3t,y˙=2cos⁡2tx(t)=\cos 3t,\quad y(t)=\sin 2t;\qquad \dot x=-3\sin 3t,\quad \dot y=2\cos 2t

    2. Calcule primeiro a posição. Ambas as funções trigonométricas resultam em valores exatos, razão pela qual vale a pena escolher π.

      t=π:x=cos⁡3π=−1,y=sin⁡2π=0t=\pi:\quad x=\cos3\pi=-1,\quad y=\sin2\pi=0

    3. Agora a velocidade. Uma das componentes anula-se e a outra atinge o seu máximo — o movimento neste instante é puramente vertical.

      x˙=−3sin⁡3π=0,y˙=2cos⁡2π=2⟹∣r˙∣=2.000\dot x=-3\sin3\pi=0,\qquad \dot y=2\cos2\pi=2\qquad\Longrightarrow\qquad |\dot{\mathbf r}|=2.000

    4. Esse anulamento não é um acaso aritmético: x encontra-se num ponto de retorno, e a curva toca aqui o seu extremo mais à esquerda.

      x˙=0 with y˙≠0: the curve is moving straight up, and x is at a turning point\dot x=0\ \text{with}\ \dot y\neq0:\ \text{the curve is moving straight up, and }x\ \text{is at a turning point}

    5. A curvatura exige mais uma derivada de cada uma. Ambas são tão simples como a primeira, o que é a grande vantagem da forma paramétrica.

      x¨=−9cos⁡3t=9,y¨=−4sin⁡2t=0\ddot x=-9\cos3t=9,\qquad \ddot y=-4\sin2t=0

    6. Monte a fórmula padrão. O numerador é um produto vetorial e o denominador é o cubo da velocidade, razão pela qual os pontos rápidos parecem planos, a menos que estejam de facto a fletir.

      κ=∣x˙y¨−y˙x¨∣(x˙2+y˙2)3/2=∣0−18∣8=2.25⟹ρ=1κ=0.444\kappa=\frac{|\dot x\ddot y-\dot y\ddot x|}{(\dot x^{2}+\dot y^{2})^{3/2}}=\frac{|0-18|}{8}=2.25\quad\Longrightarrow\quad \rho=\frac{1}{\kappa}=0.444

    Resposta

    Raio de curvatura 0,444 — a curva flete no interior de um círculo de raio bem inferior a meia unidade. A velocidade e a curvatura são independentes, e este ponto torna essa distinção visível: a velocidade é 2, o máximo que qualquer das componentes atinge, enquanto a trajetória flete tão acentuadamente como em qualquer outro ponto da figura. Um automóvel nesse ponto vai depressa e a curvar acentuadamente, o que é exatamente a combinação que origina carga lateral. Nada na leitura da posição ou da velocidade dá qualquer indício disso, porque a curvatura exige a segunda derivada e o painel fica-se pela primeira. É também por isso que a forma paramétrica vale a pena: como relação entre x e y, esta curva é uma complicação de sexto grau, e como duas funções de t, cada derivada ocupa uma única linha.

    (x,y)=(−1,0), ∣r˙∣=2.000, κ=2.25, ρ=0.444(x,y)=(-1,0),\ |\dot{\mathbf r}|=2.000,\ \kappa=2.25,\ \rho=0.444
Referências (1)
  • Insight block 3 — the tautochrone, and the clock built on it: C. Huygens, Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum. F. Muguet, Paris, 1673 — the cycloidal cheeks that make a pendulum's period independent of its swing.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.