Por que os ângulos são medidos em radianos

Escolhe um raio e um ângulo e muda a unidade do ângulo. O arco, o setor, o declive do seno e a aproximação para ângulos pequenos acompanham a mudança: todos dependem da mesma definição.

Graus e radianos	$\pi\ \mathrm{rad}=180^{\circ}$
Comprimento do arco	$s=r\theta$
Área do setor	$A=\tfrac12r^{2}\theta$
Declive do seno, θ em radianos	$\frac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta$

Exemplo resolvido — Por que os ângulos são medidos em radianos

θ em graus	57,2958°
Comprimento do arco s	1
Área do setor A	0,5
sen θ	0,841471
Segmento circular entre arco e corda	0,079265
Inclinação do seno em θ	0,540302
Erro em sen θ ≈ θ	18,84%

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Por que os ângulos são medidos em radianos

Um ângulo de um radiano delimita um arco cujo comprimento é exatamente igual ao raio. A medida de um ângulo em radianos é, portanto, uma razão entre dois comprimentos: o do arco e o do raio. Uma volta completa corresponde a 2π.

O que significa cada símbolo

r: o raio
θ: o ângulo ao centro, em radianos, salvo se tiver o símbolo de grau
s: o arco delimitado pelo ângulo
A: a área do setor, a região delimitada pelos dois raios e pelo arco

De onde vem a fórmula

O arco. Por definição, θ = s/r, logo s = rθ. Numa volta completa, o arco percorre toda a circunferência, de comprimento 2πr. Assim, uma volta completa corresponde a 2π radianos e meia volta, 180°, corresponde a π.
$\begin{aligned}&\theta=\frac{s}{r}\ \Rightarrow\ s=r\theta\\ &s=2\pi r\ \Rightarrow\ \theta=2\pi,\quad\pi\ \mathrm{rad}=180^{\circ}\end{aligned}$
O setor. A área do setor representa a mesma fração da área do círculo que o comprimento do arco representa do comprimento da circunferência: θ de um total de 2π. Essa fração de πr² é ½r²θ. Subtrai a área do triângulo formado pelos dois raios, ½r² sin θ, e obténs a área do segmento circular entre o arco e a corda, representada a ponteado na figura.
$\begin{aligned}&A=\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^{2}=\tfrac12r^{2}\theta\\ &\tfrac12r^{2}\theta-\tfrac12r^{2}\sin\theta=\tfrac12r^{2}\left(\theta-\sin\theta\right)\end{aligned}$
Porque é que o seno começa com declive 1. Numa circunferência de raio 1, para um ângulo entre 0 e π/2, há três regiões contidas umas nas outras: o triângulo interior ao setor, o próprio setor e o triângulo que se estende até à reta tangente. Divide as respetivas áreas por ½ sin θ. Obténs θ/sin θ entre 1 e 1/cos θ. Como 1/cos θ tende para 1, sin θ/θ tende para 1 pela direita. A razão sin θ/θ é uma função par, pelo que o limite pela esquerda é o mesmo: o declive do seno em 0 é exatamente 1.
$\begin{aligned}&\tfrac12\sin\theta<\tfrac12\theta<\tfrac12\tan\theta\ \Rightarrow\ 1<\frac{\theta}{\sin\theta}<\frac{1}{\cos\theta}\\ &\Rightarrow\ \lim_{\theta\to0^{+}}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\\ &\frac{\sin(-\theta)}{-\theta}=\frac{\sin\theta}{\theta}\ \Rightarrow\ \lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\end{aligned}$
O fator que os graus introduzem. x graus correspondem a πx/180 radianos. Medir em graus alonga o eixo horizontal por um fator de 180/π, pelo que todos os declives ficam multiplicados por π/180. Esse fator surge sempre que se deriva uma função trigonométrica cujo argumento está em graus.
$\frac{d}{dx}\sin x^{\circ}=\frac{d}{dx}\sin\frac{\pi x}{180}=\frac{\pi}{180}\cos x^{\circ}$

Problemas resolvidos na íntegra

De graus para radianos e de radianos para graus 2 passos
Exprime 150° em radianos, como múltiplo de π, e 2,5 radianos em graus.

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1. 180° correspondem a π radianos, pelo que um grau corresponde a π/180 radianos. Multiplica e simplifica a fração antes de usares a calculadora:
  
  $150^{\circ}=150\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}\approx2.61799$
2. Para converter de radianos para graus, multiplica por 180/π:
  
  $2.5\times\frac{180}{\pi}=\frac{450}{\pi}\approx143.24^{\circ}$
Resposta

150° = 5π/6 ≈ 2,61799 rad e 2,5 rad ≈ 143,24°. Num exame, a primeira resposta deve ficar na forma 5π/6; o valor decimal representa o mesmo ângulo, com arredondamento.
Arco, área e perímetro de um setor 3 passos
Um setor de um círculo de raio 8 cm tem um ângulo ao centro de 1,2 radianos. Determina o comprimento do arco, a área e o perímetro do setor.

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1. Com θ em radianos, o comprimento do arco é o produto do raio pelo ângulo:
  
  $s=r\theta=8\times1.2=9.6\ \mathrm{cm}$
2. A área corresponde à mesma fração da área do círculo:
  
  $A=\tfrac12r^{2}\theta=\tfrac12\times64\times1.2=38.4\ \mathrm{cm^{2}}$
3. O perímetro é a soma do comprimento do arco com os comprimentos dos dois raios. Esquecer os raios é um erro frequente:
  
  $P=2r+s=16+9.6=25.6\ \mathrm{cm}$
Resposta

s = 9,6 cm, A = 38,4 cm² e o perímetro é 25,6 cm.
Determinar o raio e o ângulo a partir do arco e da área 3 passos
Um setor tem um arco de comprimento 12 cm e uma área de 48 cm². Determina o raio e o ângulo.

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1. Escreve os dois dados em função de r e θ:
  
  $r\theta=12,\qquad\tfrac12r^{2}\theta=48$
2. A área é metade do produto do raio pelo comprimento do arco, ½r·(rθ) = ½rs. Assim, podes determinar o raio sem conhecer θ:
  
  $\tfrac12r^{2}\theta=\tfrac12r\cdot r\theta:\qquad48=\tfrac12\times r\times12\ \Rightarrow\ r=8\ \mathrm{cm}$
3. Depois, usa o comprimento do arco para obter o ângulo:
  
  $\theta=\frac{s}{r}=\frac{12}{8}=1.5\ \mathrm{rad}\approx85.94^{\circ}$
Resposta

r = 8 cm e θ = 1,5 rad, cerca de 85,94°. Com o raio em 8 e o ângulo em 1,5 na página, voltas a obter um arco de comprimento 12 e uma área de 48.
O segmento circular delimitado por uma corda 3 passos
Numa circunferência de raio 6 cm, uma corda subtende um ângulo ao centro de 120°. Determina a área do menor segmento circular, em valor exato e com três algarismos significativos.

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1. Começa pela conversão. As duas fórmulas de área usadas aqui exigem o ângulo em radianos:
  
  $120^{\circ}=120\times\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$
2. A área do segmento circular é a área do setor menos a do triângulo formado pelos dois raios, que é ½r² sin θ:
  
  $A=\tfrac12r^{2}\theta-\tfrac12r^{2}\sin\theta=\tfrac12\times36\times\frac{2\pi}{3}-\tfrac12\times36\times\frac{\sqrt3}{2}$
3. Simplifica cada parcela e calcula depois o valor aproximado:
  
  $A=12\pi-9\sqrt3\approx37.6991-15.5885=22.1107$
Resposta

12π − 9√3 cm², aproximadamente 22,1 cm². A página usa ½r²(θ − sin θ): a mesma diferença, com ½r² em evidência.

$A=12\pi-9\sqrt3\approx22.1\ \mathrm{cm^{2}}$
sin 3° sem calculadora 3 passos
Estima sin 3° sem calculadora e indica o erro da estimativa.

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1. Converte o ângulo. A aproximação sin θ ≈ θ só é válida em radianos:
  
  $3^{\circ}=3\times\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{60}\approx0.0523599$
2. Para um ângulo pequeno, o seno é aproximadamente igual ao próprio ângulo:
  
  $\sin3^{\circ}\approx\frac{\pi}{60}\approx0.05236$
3. O primeiro termo omitido é −θ³/6, pelo que a estimativa excede o valor verdadeiro em cerca de θ³/6. Isso corresponde a uma fração de aproximadamente θ²/6 do resultado:
  
  $\frac{\theta^{3}}{6}\approx2.39\times10^{-5},\qquad\frac{\theta^{2}}{6}\approx0.000457\approx0.046\%$
Resposta

sin 3° ≈ 0,05236, uma estimativa por excesso com um erro de cerca de 0,046%. A página apresenta o valor do seno, 0,052336, e o mesmo erro de 0,046%.
Diâmetro da Lua: 0,5181° no céu a 384 400 km de distância 6 passos
A Lua ocupa 0,5181° no céu e está a 384 400 km de distância. Calcula o seu diâmetro e o efeito de te esqueceres de converter a unidade.

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1. Para um objeto pequeno e distante, a fórmula é dimensão = distância × ângulo. É a relação s = rθ, com a distância à Lua no lugar do raio. θ tem de estar em radianos.
  
  $s = r\theta \quad (\theta \text{ in radians})$
2. Converte: 0,5181 × π/180 = 0,0090426 radianos.
  
  $0.5181^\circ \times \tfrac{\pi}{180} = 0.0090426$
3. Multiplica. 384 400 × 0,0090426 = 3 476 km, face a um diâmetro médio medido de 3 474,8 km.
  
  $384{,}400 \times 0.0090426 = 3{,}476 \text{ km}$
4. Agora ignora a conversão e multiplica diretamente por 0,5181. Obténs 199 158 km: uma Lua cujo diâmetro já seria uma boa parte da distância entre a Terra e a Lua.
  
  $384{,}400 \times 0.5181 = 199{,}158 \text{ km}$
5. A razão entre os dois resultados é 57,30, ou seja, 180/π. Sempre que se omite esta conversão, o resultado fica errado por esse mesmo fator, quaisquer que sejam os números usados.
  
  $\tfrac{199{,}158}{3{,}476} = 57.30 = \tfrac{180}{\pi}$
6. Antes de confiar no resultado, convém verificar a aproximação. A fórmula trata o diâmetro da Lua como um arco, em vez de um segmento de reta que a atravessa. Para este ângulo, a diferença é de 12 metros em 3 476 km, ou 3 partes por milhão. A precisão do resultado não é limitada por esta aproximação.
  
  $\text{arc} - \text{chord} = 12 \text{ m in } 3{,}476 \text{ km}$
Resposta

3 476 km; esquecer a conversão para radianos introduz um fator de 57,3. A precisão do quarto algarismo depende dos dados que se combinam. Ao longo de um mês, a distância à Lua varia entre cerca de 363 300 km e 405 500 km, uma variação de 11%, acompanhada por uma mudança no seu diâmetro angular. Mesmo combinando um ângulo médio com uma distância média, o resultado fica desviado em 1,2 km: é a diferença entre os 3 476 acima e os 3 474,8 medidos. Isto acontece porque o diâmetro angular varia como 1/d, e a média dos inversos não é o inverso da média. Se combinares esse ângulo médio com a distância desta noite, o erro chega a 190 km no perigeu, mesmo com todas as contas certas. A equação não tem como detetar que os dois valores introduzidos correspondem a momentos diferentes.
O declive do seno em graus 4 passos
Uma calculadora no modo de graus calcula f(x) = sin x, com x em graus. Determina f′(60) e compara o resultado com o declive do seno em π/3 radianos.

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1. x graus correspondem a πx/180 radianos, pelo que f é o seno de uma variável com uma mudança de escala:
  
  $f(x)=\sin x^{\circ}=\sin\frac{\pi x}{180}$
2. A mudança de escala do eixo multiplica todos os declives pelo mesmo fator, π/180:
  
  $f'(x)=\frac{\pi}{180}\cos\frac{\pi x}{180}=\frac{\pi}{180}\cos x^{\circ}$
3. Em x = 60, cos 60° = ½:
  
  $f'(60)=\frac{\pi}{180}\times\frac12=\frac{\pi}{360}\approx0.008727$
4. O mesmo ponto em radianos é π/3, onde o declive é cos(π/3) = ½. Os dois resultados diferem apenas pelo fator π/180:
  
  $\frac{d}{d\theta}\sin\theta\,\Big|_{\theta=\pi/3}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$
Resposta

f′(60) = π/360 ≈ 0,008727 por grau, face a ½ por radiano.

$f'(60)=\frac{\pi}{360}\approx0.008727$
θ fica entre o seno e a tangente, mas não a meio 6 passos
A 10°, o painel apresenta um arco de comprimento 0,174533, um seno de 0,173648 e um erro de 0,51%. Calcula a tangente do mesmo ângulo e verifica se 0,51% é o menor erro que se pode obter com estes dois valores trigonométricos.

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1. 10 graus correspondem a 10 × π/180 = 0,174533 radianos. Numa circunferência de raio 1, o comprimento do arco é igual à medida do ângulo. É precisamente o que diz s = rθ.
  
  $\theta = 10^\circ \times \frac{\pi}{180} = 0.174533\ \mathrm{rad}, \qquad s = r\theta = \theta \quad (r = 1)$
2. O seno fica um pouco abaixo, em 0,173648. O painel divide essa diferença pelo seno e apresenta um erro de 0,51%.
  
  $\sin\theta = 0.173648, \qquad \frac{\theta - \sin\theta}{\sin\theta} = \frac{0.000885}{0.173648} = 0.51\%$
3. É possível prever a ordem de grandeza da diferença. Como sin θ = θ − θ³/6 + …, θ − sin θ deve ser aproximadamente θ³/6 = 0,000886, face ao valor medido de 0,000885.
  
  $\sin\theta = \theta - \frac{\theta^{3}}{6} + \cdots \;\Longrightarrow\; \theta - \sin\theta \approx \frac{\theta^{3}}{6} = 0.000886$
4. A tangente fica acima de θ por um termo do mesmo tipo, mas com o dobro do coeficiente: tan θ = θ + θ³/3 + …, o que dá tan θ − θ = 0,001794. Assim, sin θ < θ < tan θ. É este enquadramento que, pelo teorema das sucessões enquadradas, permite provar que o declive do seno em zero é exatamente 1 quando o ângulo está em radianos. A página só apresenta a metade inferior desse enquadramento.
  
  $\tan\theta = \theta + \frac{\theta^{3}}{3} + \cdots = 0.176327 \;\Longrightarrow\; \tan\theta - \theta = 0.001794 \approx \frac{\theta^{3}}{3}$
5. O intervalo não é simétrico. A diferença entre a tangente e θ é 2,03 vezes a diferença entre θ e o seno. Por isso, θ fica a cerca de um terço do caminho entre o seno e a tangente.
  
  $\sin\theta < \theta < \tan\theta, \qquad \frac{\tan\theta - \theta}{\theta - \sin\theta} = 2.03 \;\Longrightarrow\; \theta \ \text{lies one third of the way up}$
6. Uma média ponderada nessa proporção anula os termos cúbicos, pois 2(−⅙) + ⅓ = 0. Obtém-se (2 sin θ + tan θ)/3 = 0,1745411, com um erro de 8,2 × 10⁻⁶, ou 0,0047%. Com os mesmos dois valores, o erro fica mais de cem vezes menor do que usando apenas o seno.
  
  $2\left(-\tfrac{1}{6}\right) + \tfrac{1}{3} = 0: \qquad \frac{2\sin\theta + \tan\theta}{3} = 0.1745411, \quad \text{out by } 8.2\times10^{-6} = 0.0047\%$
Resposta

A tangente é 0,176327, acima do comprimento do arco, e é possível fazer muito melhor do que 0,51%. Esta ponderação tem uma longa história sob outra forma. Um polígono regular inscrito numa circunferência de raio unitário tem perímetro 2n sin(π/n), e o circunscrito tem perímetro 2n tan(π/n). São o mesmo seno e a mesma tangente, com θ = π/n. Dividindo os perímetros pelo diâmetro, obtêm-se os limites clássicos para π. Com 96 lados, esses limites são 3,14103195 e 3,14271460, que, por si só, permitem fixar π em 3,14. Combinados na forma (2 × 3,14103195 + 3,14271460)/3, dão 3,14159283, face ao valor verdadeiro de 3,14159265. A tangente já fazia parte do modelo da ferramenta; só o seno tem um cartão próprio, porque é a aproximação para ângulos pequenos que se usa nas aulas de Física.

$n = 96: \quad \frac{2(3.14103195) + 3.14271460}{3} = 3.14159283 \qquad (\pi = 3.14159265)$

Problemas suplementares, só com a resposta

Converta 225° em radianos, dando o valor exato, e 0,6 rad em graus.

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225° = 5π/4 rad e 0,6 rad ≈ 34,38°.

$225^{\circ}=\frac{5\pi}{4},\qquad0{.}6\ \mathrm{rad}\approx34{.}38^{\circ}$
Um setor circular de raio 6 cm tem área 15 cm². Determine a amplitude do seu ângulo e o comprimento do arco.

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θ = 2A/r² = 5/6 rad, aproximadamente 47,75°, e s = rθ = 5 cm.

$\theta=\frac{2A}{r^{2}}=\frac56,\qquad s=r\theta=5\ \mathrm{cm}$
Uma roda de bicicleta com 0,35 m de raio dá 3 voltas completas. Que distância percorre a bicicleta?

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2,1π ≈ 6,597 m: 3 voltas completas correspondem a 6π rad e s = rθ.

$s=0{.}35\cdot6\pi=2{.}1\pi\approx6{.}597\ \mathrm{m}$

A derivada do seno só é o cosseno em radianos

Prima O cálculo do declive depende de. Em θ = 0, o declive do seno é exatamente 1. Mude agora a unidade: o mesmo ponto da mesma curva passa a indicar 0,017453, pois um grau é um passo menor do que um radiano e, a cada passo, o seno aumenta proporcionalmente menos. A regra simples d/dx sen x = cos x só é válida, portanto, quando x está em radianos. O mesmo vale para a série do seno, para cada termo de Fourier e para o resultado da aproximação de ângulos pequenos apresentado abaixo. É perfeitamente possível fazer cálculo diferencial e integral em graus, mas o fator permanece sempre presente: a primeira derivada traz π/180, a segunda traz o quadrado desse fator e a integral traz o seu inverso. Por isso, ninguém adota esse sistema.

A aproximação resiste muito mais do que seria esperado

Para um ângulo pequeno, sin θ ≈ θ. O termo seguinte da série é −θ³/6, pelo que o erro relativo cresce aproximadamente como θ²/6, ou seja, com o quadrado do ângulo. Por isso, mantém-se pequeno durante bastante tempo. A 1°, o erro é de 0,005%; a 5°, de 0,127%; mesmo a 10°, é de apenas 0,51%. Aos 30°, a aproximação já falha de forma apreciável: o erro chega a 4,72%. É esta aproximação que permite tratar o movimento de um pêndulo como harmónico simples: na equação, substitui-se sin θ por θ. Num relógio de pêndulo real, quanto maior for a amplitude da oscilação, mais o relógio se atrasa. Esse atraso relativo também cresce com o quadrado do ângulo.

Percurso de aprendizagem

Por que tudo parece reto de perto

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.