Explorador de Derivadas e Tangentes

Escolhe uma curva e um ponto. A corda laranja liga esse ponto a outro, cuja abcissa difere de h. À medida que h diminui, o declive da corda aproxima-se do declive da tangente, que é a derivada.

A derivada	$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
A tangente em a	$y=f(a)+f'(a)(x-a)$
Derivadas nesta página	$\begin{aligned}&(x^{n})'=nx^{n-1}\\ &(e^{x})'=e^{x},\quad(\ln x)'=\tfrac{1}{x}\\ &(\sin x)'=\cos x,\quad(\cos x)'=-\sin x\end{aligned}$

Exemplo resolvido — Explorador de Derivadas e Tangentes

A curva em x	1
A curva em x + h	1,21
O declive da corda	2,1
A derivada, declive da tangente	2
Declive da corda menos a derivada	0,1
A tangente	2x − 1
A normal	−0,5x + 1,5

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Explorador de Derivadas e Tangentes

A derivada de f em x é o declive da curva nesse ponto. Define-se como o limite do declive de uma corda: f′(x) = lim (f(x + h) − f(x))/h quando h → 0, se esse limite existir.

O que significa cada símbolo

h: o incremento na abcissa entre x e o segundo extremo da corda
f′(x): a derivada: o declive da tangente em x

De onde vem a fórmula

Uma corda. Dois pontos da curva, de abcissas x e x + h, determinam a reta que contém a corda laranja. O seu declive é o quociente entre a variação da ordenada e a variação da abcissa.
$m_{\text{chord}}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
Reduz h. Para f(x) = x², o declive da corda é exatamente 2x + h. Quando h tende para 0, esse declive aproxima-se de 2x. Não podemos substituir h por 0, pois obteríamos o quociente 0/0; calculamos o limite quando h se aproxima de 0.
$\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x+h\ \xrightarrow{h\to0}\ 2x$
A tangente e a normal. A tangente em a passa por (a, f(a)) e tem declive f′(a). A normal é perpendicular à tangente nesse ponto, pelo que o seu declive é o simétrico do inverso, −1/f′(a). Quando f′(a) = 0, a normal é a reta vertical x = a.
$\begin{aligned}&y=f'(a)(x-a)+f(a)\\ &y=-\frac{1}{f'(a)}(x-a)+f(a)\end{aligned}$
Quando não existe derivada. Se os declives das cordas pela esquerda e pela direita se aproximarem de valores diferentes, não existe derivada. No ponto anguloso de |x| em 0, esses valores são −1 e 1.
$\lim_{h\to0^{-}}\frac{|h|}{h}=-1\neq1=\lim_{h\to0^{+}}\frac{|h|}{h}$

Um ponto plano não é sempre um máximo ou um mínimo

Uma derivada nula significa que a tangente é horizontal. Por si só, não garante um máximo nem um mínimo. Carrega em Inflexão de x³: o declive indicado é 0, mas a curva cresce de ambos os lados, apenas com uma pausa nesse ponto. É um ponto de inflexão. Num problema de otimização, encontrar os pontos onde a derivada se anula é apenas metade do trabalho. Falta examinar o sinal do declive de cada lado: a derivada num único ponto não permite distinguir um cume de um patamar numa escadaria.

A curva que não tem tangente em ponto algum

As seis curvas disponíveis têm tangente em todos os pontos, mas uma função contínua pode não ter tangente em ponto algum. Em 1872, Karl Weierstrass construiu uma função contínua em toda a parte e sem derivada em nenhum ponto. A curva é irregular a qualquer escala, pelo que o declive das cordas nunca estabiliza. O exemplo surpreendeu os matemáticos, que julgavam que uma curva contínua teria tangente, salvo em pontos isolados, como Ampère tentara demonstrar em 1806. Mais tarde, encontrou-se a mesma irregularidade na natureza: a trajetória de uma partícula em movimento browniano não tem tangente em ponto algum, e uma linha de costa apresenta um comportamento semelhante numa vasta gama de escalas.

DERIVADAS — QUAL REGRA SE APLICA E O QUE A INCLINAÇÃO REALMENTE DIZ

Em que caso de derivada você está?

A derivada é uma ideia só — a inclinação da tangente, o limite de (f(x+h) − f(x))/h — mas como calculá-la depende do tipo de função que lhe deram, e como ler a resposta depende de ela sair positiva, negativa ou zero. Três regras padrão cobrem quase todas as funções que você verá; o quarto caso é aquele em que inclinação nula não significa o que todo mundo supõe.

Regra da potência — um termo polinomial d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Trigonométrica — seno e cosseno trocam de lugar d/dx sin x = cos x

Exponencial — a função é a própria derivada d/dx e^x = e^x

Inclinação zero que não é máximo nem mínimo f′ = 0, f″ = 0

Regra da potência — um termo polinomial

O que você sabe: A função é xⁿ, ou uma soma de termos assim. Traga o expoente para a frente e subtraia um dele.

Regra: d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Exemplo resolvido: f(x) = x² em x = 1 → f′(x) = 2x → f′(1) = 2, então a tangente é y = 2x − 1

Abrir este caso: x² em x=1

Regra da potência — um termo polinomial. A tangente em x = 1 tem inclinação 2 e toca a parábola num único ponto. A função é xⁿ, ou uma soma de termos assim. Traga o expoente para a frente e subtraia um dele. — A tangente em x = 1 tem inclinação 2 e toca a parábola num único ponto.

Trigonométrica — seno e cosseno trocam de lugar

O que você sabe: A função é sin x ou cos x. Derivar gira você pelo ciclo: sin → cos → −sin → −cos → sin.

Regra: d/dx sin x = cos x

Exemplo resolvido: f(x) = sin x em x = 0 → f′(x) = cos x → f′(0) = 1, então a tangente é y = x

Abrir este caso: sin em x=0

Trigonométrica — seno e cosseno trocam de lugar. Na origem sin x tem inclinação 1, então a tangente é a reta y = x. A função é sin x ou cos x. Derivar gira você pelo ciclo: sin → cos → −sin → −cos → sin. — Na origem sin x tem inclinação 1, então a tangente é a reta y = x.

Exponencial — a função é a própria derivada

O que você sabe: A função é eˣ. Derivar não muda absolutamente nada: f′(x) = f(x) em todo ponto.

Regra: d/dx e^x = e^x

Exemplo resolvido: f(x) = eˣ em x = 0 → f′(x) = eˣ → f′(0) = 1, então a tangente é y = x + 1

Abrir este caso: eˣ em x=0

Exponencial — a função é a própria derivada. Altura e inclinação são o mesmo número em cada ponto da curva. A função é eˣ. Derivar não muda absolutamente nada: f′(x) = f(x) em todo ponto. — Altura e inclinação são o mesmo número em cada ponto da curva.

Inclinação zero que não é máximo nem mínimo

O que você sabe: f′ = 0 no ponto, então ele é estacionário — mas o sinal de f′ é o mesmo dos dois lados, então não é um ponto de retorno.

Regra: f′ = 0, f″ = 0

Exemplo resolvido: f(x) = x³ em x = 0 → f′(x) = 3x² → f′(0) = 0, e ainda assim f′ > 0 dos dois lados: a curva achata e segue subindo

Abrir este caso: inflexão x³

Inclinação zero que não é máximo nem mínimo. A tangente é horizontal na origem, mas a curva continua subindo dos dois lados. f′ = 0 no ponto, então ele é estacionário — mas o sinal de f′ é o mesmo dos dois lados, então não é um ponto de retorno. — A tangente é horizontal na origem, mas a curva continua subindo dos dois lados.

Referências (1)

Insight block 3 — continuous everywhere, differentiable nowhere: K. Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen." Read to the Berlin Academy, 18 July 1872; printed in Mathematische Werke, vol. 2, 71–74.

Problemas resolvidos na íntegra

O declive e a tangente de f(x) = x² em x = 1 5 passos
f(x) = x², em x = 1. Calcula o declive nesse ponto a partir da definição, escreve a equação da tangente e determina a distância vertical exata entre a tangente e a curva um décimo de unidade mais à direita.
1. Um ponto, por si só, não tem declive. Para medir uma variação precisamos de dois pontos: escolhe o segundo com um incremento h na abcissa e divide a variação da ordenada por esse incremento. Todo o cálculo diferencial assenta neste quociente e na passagem ao limite.
  
  $\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^{2}-1^{2}}{h}$
2. Desenvolve o quadrado. Os termos constantes anulam-se e todos os termos que restam têm h em fator, permitindo simplificar o h do denominador. Repara na condição desta simplificação: é válida para qualquer h diferente de 0, precisamente o valor de que nos estamos a aproximar.
  
  $=\frac{1+2h+h^{2}-1}{h}=\frac{h(2+h)}{h}=2+h\qquad(h\neq0)$
3. É por isso que calculamos um limite em vez de fazer uma substituição direta. A expressão 2 + h é afim em h, e o valor de que se aproxima pode ler-se sem qualquer aproximação numérica. Obtemos assim o declive 2 em x = 1, sem recorrer à regra 2x.
  
  $\lim_{h\to0}\,(2+h)=2\quad\Longrightarrow\quad f'(1)=2$
4. Para determinar uma tangente, precisamos de um ponto e de um declive. Já temos ambos: a curva passa por (1, 1) e tem aí declive 2.
  
  $y-1=2(x-1)\quad\Longrightarrow\quad y=2x-1$
5. Subtrai a expressão da reta à da curva. A diferença fatoriza-se exatamente: para qualquer x, a parábola está (x − 1)² acima da tangente. A um incremento h corresponde, portanto, uma diferença de altura h².
  
  $x^{2}-(2x-1)=(x-1)^{2}\quad\Longrightarrow\quad h=0.1:\ 0.01,\quad h=0.01:\ 0.0001$
Resposta

f′(1) = 2 e a tangente é y = 2x − 1. A diferença de altura é exatamente h²: ao dividir o incremento por 10, o erro da aproximação pela tangente fica dividido por 100, passando de 0,01 para 0,0001. É esta relação quadrática que justifica aproximar uma curva por uma reta nas proximidades de um ponto. O sinal da diferença revela ainda mais do que o seu tamanho. Como (x − 1)² nunca é negativo, a parábola toca nas suas tangentes sem nunca as atravessar. Compara com f(x) = x³ em x = 0: a tangente é o eixo das abcissas e a diferença é o próprio x³, negativo à esquerda e positivo à direita. A tangente atravessa, por isso, a curva. Ambas as funções têm uma tangente horizontal num ponto, mas só uma tem aí um extremo. Para reconhecer um mínimo, a derivada nula não basta; é o sinal da diferença que permite concluir.

$f(1+h)-\bigl[2(1+h)-1\bigr]=h^{2}\ \ \forall h$
1/x a partir da definição 3 passos
Calcula a derivada de f(x) = 1/x a partir da definição e determina a tangente em x = 2.

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1. Escreve o declive da corda e reduz as duas frações do numerador ao mesmo denominador:
  
  $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{h}\left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{h}\cdot\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}$
2. O fator h simplifica-se, e na expressão resultante já podemos substituir h por 0:
  
  $=\frac{-1}{x(x+h)}\ \xrightarrow{h\to0}\ -\frac{1}{x^{2}}$
3. Em x = 2, a curva tem ordenada ½ e desce à razão de ¼ por unidade:
  
  $f(2)=\tfrac12,\quad f'(2)=-\tfrac14,\qquad y=-\tfrac14(x-2)+\tfrac12=-\tfrac14x+1$
Resposta

f′(x) = −1/x² para x ≠ 0, e a tangente em x = 2 é y = −x/4 + 1.
√x a partir da definição, com a tangente e a normal 3 passos
Calcula a derivada de f(x) = √x a partir da definição e determina a tangente e a normal em x = 4.

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1. O declive da corda tem uma diferença de raízes quadradas no numerador. Multiplica o numerador e o denominador pela soma dessas raízes para eliminar os radicais do numerador:
  
  $\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{(x+h)-x}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$
2. Faz agora h tender para 0:
  
  $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad f'(4)=\frac14$
3. A tangente passa por (4, 2) e tem declive ¼. A normal passa pelo mesmo ponto e tem declive −4, o simétrico do inverso:
  
  $y=\tfrac14(x-4)+2=\tfrac14x+1,\qquad y=-4(x-4)+2=-4x+18$
Resposta

f′(x) = 1/(2√x) para x > 0. Em x = 4, a tangente é y = x/4 + 1 e a normal é y = −4x + 18. Em x = 0, o declive das cordas cresce sem limite e não existe derivada. Podes observá-lo na página, deslocando x para esse valor.
Porque é que a derivada de sen x é cos x 3 passos
Demonstra, a partir da definição, que a derivada de sen x é cos x, usando os limites da página anterior, e determina o declive em x = π/3.

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1. Desenvolve sen(x + h) com a fórmula do seno da soma e agrupa os termos em sen x e cos x:
  
  $\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$
2. Quando h → 0, sen h / h → 1 e (cos h − 1)/h → 0, pois esta última expressão é o produto de h por (cos h − 1)/h², que tende para −½:
  
  $\frac{\cos h-1}{h}=h\cdot\frac{\cos h-1}{h^{2}}\to0\cdot\left(-\tfrac12\right)=0,\qquad\frac{\sin h}{h}\to1$
3. A derivada é, portanto, cos x, cujo valor em π/3 é ½:
  
  $(\sin x)'=\sin x\cdot0+\cos x\cdot1=\cos x,\qquad\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$
Resposta

(sen x)′ = cos x, e o declive em π/3 é ½. O limite sen h / h → 1 pressupõe que h está em radianos. Se estiver em graus, o limite é π/180, e esse fator aparece também na derivada.
Onde a tangente é horizontal 3 passos
Determina os pontos em que f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 tem tangente horizontal.

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1. Deriva termo a termo pela regra de derivação das potências e fatoriza:
  
  $f'(x)=3x^{2}-6x-9=3\left(x^{2}-2x-3\right)=3(x-3)(x+1)$
2. Uma tangente horizontal tem declive 0:
  
  $f'(x)=0\iff x\in\{-1,\ 3\}$
3. Calcula as ordenadas correspondentes:
  
  $f(-1)=-1-3+9+2=7,\qquad f(3)=27-27-27+2=-25$
Resposta

As tangentes são horizontais em (−1, 7) e (3, −25).
Uma tangente paralela a uma reta dada 2 passos
Determina o ponto de y = x² + 3x em que a tangente é paralela a y = 7x − 2 e escreve a equação dessa tangente.

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1. Retas paralelas têm o mesmo declive, pelo que impomos f′(x) = 7:
  
  $f'(x)=2x+3=7\ \Rightarrow\ x=2$
2. Determina o ponto e escreve a equação da reta:
  
  $f(2)=4+6=10,\qquad y=7(x-2)+10=7x-4$
Resposta

O ponto é (2, 10) e a tangente é y = 7x − 4.
Um ponto anguloso: continuidade sem derivada 3 passos
Mostra que f(x) = |x| não tem derivada em 0, embora seja contínua nesse ponto.

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1. A partir de 0, uma corda para a direita tem declive h/h e uma corda para a esquerda tem declive −h/h:
  
  $\frac{|0+h|-|0|}{h}=\frac{|h|}{h}=\begin{cases}1,&h>0\\-1,&h<0\end{cases}$
2. Os limites laterais são 1 e −1. Como são diferentes, o limite que definiria f′(0) não existe:
  
  $\lim_{h\to0^{+}}\frac{|h|}{h}=1\neq-1=\lim_{h\to0^{-}}\frac{|h|}{h}$
3. A continuidade exige menos. |x| tende para 0 = f(0) de ambos os lados:
  
  $\lim_{x\to0}|x|=0=f(0)$
Resposta

|x| é contínua em 0, mas não tem derivada nesse ponto: a curva tem um ponto anguloso e não há uma única reta tangente. Uma função derivável é contínua; este é o exemplo habitual de que a recíproca é falsa.
Velocidade média e velocidade instantânea 3 passos
Uma pedra em queda percorre s(t) = 4,9t² metros em t segundos. Calcula a velocidade média entre t = 2 e t = 2,1 e a velocidade instantânea em t = 2.

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1. A velocidade média num intervalo é o declive da corda:
  
  $\frac{s(2.1)-s(2)}{0.1}=\frac{21.609-19.6}{0.1}=20.09\ \mathrm{m/s}$
2. A velocidade instantânea é o limite desse declive, ou seja, a derivada:
  
  $s'(t)=9.8t,\qquad s'(2)=19.6\ \mathrm{m/s}$
3. A diferença entre as duas velocidades é 4,9h, pelo que diminui proporcionalmente à duração do intervalo:
  
  $\frac{s(2+h)-s(2)}{h}=\frac{4.9\left(4h+h^{2}\right)}{h}=19.6+4.9h$
Resposta

A velocidade média nesse décimo de segundo é 20,09 m/s e a velocidade instantânea em t = 2 é 19,6 m/s. Na página, a variável t aparece como x.

Problemas suplementares, só com a resposta

Usa a definição de derivada para calcular f′(x), sendo f(x) = 3x² − x.

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f′(x) = 6x − 1. O quociente incremental reduz-se a 6x + 3h − 1.

$f'(x)=\lim_{h\to0}(6x+3h-1)=6x-1$
A função x^1/3 é derivável em 0?

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Não. O quociente incremental é h^−2/3 e cresce sem limite: a tangente ao gráfico em 0 é vertical.

$\frac{h^{1/3}}{h}=h^{-2/3}\to\infty$
Determina as retas tangentes ao gráfico de y = x² que passam pelo ponto (0, −1).

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y = 2x − 1 e y = −2x − 1, com pontos de tangência em (1, 1) e (−1, 1), respetivamente. A tangente em x = a tem equação y = 2ax − a² e passa por (0, −1) quando a² = 1.

$y=2x-1,\qquad y=-2x-1$
A função f(x) = x|x| é derivável em 0?

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Sim, e a derivada nesse ponto é 0. O quociente incremental é |h|, que tende para 0 tanto pela esquerda como pela direita. Compara com |x|, cujas derivadas laterais em 0 são −1 e 1.

$\frac{h|h|}{h}=|h|\to0$
Usa a tangente ao gráfico de y = √x em x = 4 para obter uma aproximação de √4,1.

Mostrar resposta

2,025, a partir de 2 + 0,1/4. O valor verdadeiro é 2,024846.

$\sqrt{4{.}1}\approx2+\frac{0{.}1}{4}=2{.}025$

Percurso de aprendizagem

Por que tudo parece reto de perto

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.