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Verificador de Equações Irracionais

Eleve os dois lados ao quadrado, resolva o polinômio resultante e depois verifique cada candidato na equação original.

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Lição

A teoria — Verificador de Equações Irracionais

Uma raiz estranha é uma solução que surge quando se eleva ambos os membros de uma equação ao quadrado e que não satisfaz a equação original. Não se trata de um erro de cálculo: elevar ao quadrado não é uma operação reversível, pelo que a equação elevada ao quadrado é genuinamente uma equação diferente, satisfeita por mais valores do que aquela com que se começou.

O que significa cada símbolo

a, b
os números sob o radical, dando √(ax + b) — 2 e 3 nas predefinições.
c, d
a reta à direita, cx + d — ambos 1 aqui, pelo que a equação é √(2x+3) = x+1.
candidate
uma raiz da equação elevada ao quadrado. Existem duas aqui, x ≈ −1.4142 e x ≈ 1.4142.
valid
uma candidata que sobrevive à substituição na equação original. Apenas x ≈ 1.4142 a satisfaz.

De onde vem a fórmula

  1. O radical √(2x+3) é, por definição, a raiz quadrada não negativa. Assim, a equação original traz implicitamente uma condição que a notação não mostra: o membro da direita não pode ser negativo.
  2. Elevar ambos os membros ao quadrado descarta essa condição. √(2x+3) = x+1 e 2x+3 = (x+1)² não são equivalentes — a segunda também é satisfeita sempre que √(2x+3) = −(x+1), o ramo negativo.
  3. Assim, as raízes da equação elevada ao quadrado são as soluções de ambos os ramos misturadas. Substituir cada candidata de volta não é uma formalidade, é o passo que as separa: para x ≈ −1.4142, o membro da direita é negativo, pelo que resolve o ramo negativo e não a equação original.
Pressupõe
Apenas números reais, com a raiz quadrada a significar a principal (não negativa) e um membro da direita linear. Se se admitirem números complexos, todo o conceito de raiz estranha muda de figura.
Falha quando
Elevar ao quadrado também pode não perder rigor algum, o que facilita o esquecimento deste hábito: se o membro da direita for não negativo onde quer que o radical esteja definido, todas as candidatas são válidas e a verificação parece um esforço inútil. A verificação é um seguro, e o seu valor só se torna visível nas ocasiões em que produz efeitos.

Algumas equações com radicais podem ser descartadas antes de começar

A raiz quadrada principal nunca é negativa — isso faz parte da sua definição, não é uma convenção que se possa esticar. Então √(x − 5) = −2 não tem solução nenhuma, e você pode afirmá-lo sem fazer álgebra: o lado esquerdo não consegue alcançar um valor negativo para nenhum x. Eleve os dois lados ao quadrado de qualquer forma e você obtém x = 9, uma resposta confiante e errada, sem nada que o avise. A mesma verificação prévia vale para o radicando: ele precisa ser pelo menos 0, então qualquer candidato que o torne negativo nunca esteve na disputa. Examinar a forma de uma equação antes de resolvê-la custa um olhar e pega erros que nenhuma álgebra cuidadosa pegará.

Por que verificar cada solução

Elevar ambos os lados ao quadrado é uma via de mão única: como tanto 3 quanto −3 resultam em 9, esse passo pode admitir soluções que a equação original nunca permitiu. O símbolo de raiz só devolve o valor não negativo, então o lado direito cx+d deve ser ≥ 0. Conclusão: substitua cada candidato na equação original intacta — a ferramenta faz isso automaticamente e desmascara os impostores.

Soluções estranhas resolvem a equação espelho

Uma raiz descartada não é sem sentido: é a solução exata da equação gêmea com o sinal invertido √(ax+b) = −(cx+d). Elevar ao quadrado apaga o sinal de menos, por isso ambas as equações compartilham um polinômio, e seus candidatos se separam com nitidez: os que satisfazem cx+d ≥ 0 pertencem à original, o restante ao espelho. É por isso que cada ponto estranho cai exatamente sobre o ramo negativo tracejado y = −√(ax+b) do gráfico.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

  1. As três predefinições indicam exatamente uma raiz estranha. Consegues levar a ferramenta a não indicar nenhuma?

    Mostrar a resposta
    Com facilidade. Introduz a = 1, b = 0, c = 0.5, d = 0 — isto é √x = x/2 — e o painel lista os candidatos x ≈ 0 e x ≈ 4, coloca ambos nas raízes válidas e imprime «None» nas estranhas. √x = x faz o mesmo com 0 e 1. Elevar ao quadrado apenas *arrisca* acrescentar uma solução; acrescenta uma exatamente quando um candidato torna negativo o membro direito, porque um ponto desses resolve y = −√(ax+b), o ramo tracejado que a ferramenta desenha, e não a equação de que partiste. Aqui nenhum candidato fica negativo, por isso nada se perde.

  2. A predefinição por omissão dá ao quadrado 1x² + 0x − 2 = 0 e oferece o par simétrico ±1.4142, do qual a ferramenta rejeita −1.4142. Introduz agora a = 6, b = 12, c = 1, d = 3. Obténs a mesma forma de quadrática — 1x² + 0x − 3 = 0, candidatos ±1.7321 — mas desta vez a ferramenta aceita ambos. O que é que decide isso?

    Mostrar a resposta
    O sinal do membro direito em cada candidato, e mais nada. No caso por omissão a reta é x + 1, que em x = −1.4142 vale −0.4142; uma raiz quadrada não pode ser negativa, logo esse ponto está no ramo tracejado. No segundo a reta é x + 3, que em x = −1.7321 ainda vale +1.2679, e √(6(−1.7321) + 12) = √1.6077 = 1.2679 — uma solução genuína, com x negativo e tudo. O termo linear desaparece em ambos os casos porque a = 2cd (2 = 2·1·1 e 6 = 2·1·3); é um facto da álgebra e não diz absolutamente nada sobre que raízes sobrevivem. As raízes estranhas não são as que parecem erradas, nem as que ficam fora do domínio — são aquelas em que a reta desceu abaixo do eixo.

Problema resolvido na íntegra

  1. O caso da raiz espúria para √(x − 1) = x − 2 7 passos

    Resolva √(x − 1) = x − 2, e indique o passo que produziu a raiz que não a resolve. Este é o caso da raiz estranha: a = 1, b = −1, c = 1, d = −2.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. O símbolo no membro esquerdo representa a raiz quadrada principal, pelo que o seu valor nunca é negativo. Isto condiciona o membro direito antes de qualquer álgebra: apenas x de 2 para cima pode eventualmente funcionar.

      x−1=x−2, ⋅ ≥0 ⟹ x≥2\sqrt{x-1}=x-2,\qquad \sqrt{\ \cdot\ }\ge 0\ \Longrightarrow\ x\ge 2

    2. Elevar ao quadrado é o passo onde a informação se perde. Quantidades iguais têm quadrados iguais, mas quadrados iguais apenas determinam as quantidades a menos de um sinal. Tudo o que se segue a esta linha responde a uma questão mais ampla do que aquela que foi formulada.

      u=v ⟹ u2=v2,u2=v2 ⟺ u=±vu=v\ \Longrightarrow\ u^{2}=v^{2},\qquad u^{2}=v^{2}\ \Longleftrightarrow\ u=\pm v

    3. Expandir o membro direito dá origem a uma equação do segundo grau, e essa é a razão estrutural para haver margem para surgir uma segunda raiz — a equação original tinha um ramo, a equação ao quadrado tem dois.

      x−1=(x−2)2=x2−4x+4⟹x2−5x+5=0x-1=(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-5x+5=0

    4. O discriminante é 25 − 20 = 5, pelo que ambos os candidatos são irracionais. Estes dois números são exatamente os que o painel lista sob candidatos polinomiais, e ambos são raízes genuínas da equação ao quadrado.

      x=5±25−202=5±52≈1.382,  3.618x=\frac{5\pm\sqrt{25-20}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}\approx 1.382,\ \ 3.618

    5. Teste o candidato maior. O radicando é 2,618 e a sua raiz principal é 1,618; o membro direito é também 1,618. Ambos os membros coincidem, pelo que 3,618 se mantém.

      3.618−1=2.618=1.618=3.618−2\sqrt{3.618-1}=\sqrt{2.618}=1.618=3.618-2

    6. Agora o menor. O membro esquerdo resulta em 0,618 e o membro direito em −0,618: mesmo valor absoluto, sinal oposto. Isso não é uma falha de arredondamento — 1,382 é uma raiz exata de √(x − 1) = −(x − 2), a metade inferior da parábola deitada que o sinal de radical descarta, razão pela qual vai parar à linha das raízes estranhas.

      1.382−1=0.382=0.618,1.382−2=−0.618\sqrt{1.382-1}=\sqrt{0.382}=0.618,\qquad 1.382-2=-0.618

    7. Note o que a verificação do domínio que provavelmente lhe ensinaram diria neste caso. Em qualquer raiz da equação ao quadrado, o radicando é igual a (x − 2)², um quadrado, pelo que é não negativo em ambos os candidatos e não rejeita nenhum. Em toda esta família de equações, o teste do radicando não desempenha qualquer papel; apenas o sinal do membro direito o faz.

      x2−5x+5=0 ⟺ x−1=(x−2)2 ≥0x^{2}-5x+5=0\ \Longleftrightarrow\ x-1=(x-2)^{2}\ \ge 0

    Resposta

    x ≈ 3,618, e 1,382 não é um erro por pouco — é a solução exata de uma equação diferente. Pergunte-se quando é que a complicação pode ser totalmente evitada. Mantenha o radicando em x − 1 e defina o membro direito como x + d, de modo que elevar ao quadrado resulte em f(x) = x² + (2d − 1)x + (d² + 1) = 0 com discriminante −4d − 3: acima de d = −0,75 não existem candidatos reais de todo. Um candidato passa no teste do sinal quando x ≥ −d, o vértice da parábola situa-se sempre à direita de −d, pelo que ambas as raízes superam o limite exatamente quando f(−d) ≥ 0 — e f(−d) reduz-se a d + 1. A família é, portanto, válida apenas no intervalo estreito −1 ≤ d ≤ −0,75: ao aumentar d para além de −0,75 as raízes desaparecem, ao reduzi-lo para baixo de −1 uma delas torna-se estranha. Em d = −2 está muito fora desse intervalo, razão pela qual exatamente um dos candidatos tinha de falhar.

    Δ=−4d−3≥0,f(−d)=d+1≥0⟹−1≤d≤−34\Delta=-4d-3\ge 0,\quad f(-d)=d+1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad -1\le d\le-\tfrac{3}{4}
Referências (2)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.