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Momento Angular

Suba para uma plataforma que gira sem atrito, segure um haltere em cada mão, comece a girar e puxe-os para dentro. Defina a rotação, os halteres, o momento de inércia do seu próprio corpo e a distância a que as mãos vão e vêm. A página integra o movimento em tempo real, indica o que se mantém fixo e o que muda, e soma o trabalho que os seus braços realizam.

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Lição

A teoria — Momento Angular

O momento angular de um corpo que gira em torno de um eixo fixo é L = Iω, o seu momento de inércia em relação a esse eixo multiplicado pela sua velocidade angular. O momento de inércia soma cada pedaço de massa vezes o quadrado da sua distância ao eixo, portanto um haltere cujo centro está em r carrega m r² + Iown, o teorema dos eixos paralelos; para duas anilhas a uma distância d de cada lado da mão, Iown = m d². Sem torque externo sobre o eixo L não pode mudar, logo Iout ωout = Iin ωin, enquanto a energia cinética ½ I ω² = L²/2I muda através do trabalho que os braços realizam.

O que significa cada símbolo

I
momento de inércia em relação ao eixo da plataforma, kg·m²
ω
velocidade angular em rad/s; a página imprime f = ω/2π em rev/s
L
momento angular em relação ao eixo, Iω, em kg·m²/s
I_b
momento de inércia próprio do corpo e da plataforma, que não se altera ao puxar os braços
d
metade do comprimento da barra de um haltere, 0,1 m: as suas anilhas situam-se a uma distância d de cada lado da mão
Pressupõe
Uma plataforma giratória sem atrito no rolamento e mais nada a tocar no corpo, garantindo que não existe torque sobre o eixo. Os braços não têm massa; braços reais, com alguns quilogramas cada, adicionariam ao momento de inércia com as mãos afastadas e ao ganho de energia. Cada haltere consiste em duas anilhas pontuais numa barra leve, mantida nivelada e perpendicular ao braço, e o momento de inércia próprio do corpo mantém-se fixo independentemente do que os braços façam. O trabalho contabilizado é o da tração mω²r que mantém os halteres nos seus círculos; a pequena energia do movimento para dentro e para fora é nula em ambos os extremos e não é considerada.

Puxe os halteres para dentro e a energia cinética triplica

Pressione Puxar, 2 kg e observe as duas setas no eixo. L mantém o seu comprimento enquanto a rotação triplica, de 1 para 3,000 rev/s: nada no exterior exerce um torque em torno do eixo, logo L = Iω tem de sobreviver à redução do momento de inércia de 3,600 para 1,200 kg·m². A energia cinética, ½Iω² = L²/2I, não tem essa proteção e sobe pelo mesmo fator, de 71,06 J para 213,18 J. A energia extra tem uma fonte. Para manter os dois halteres a girar no raio r, as mãos têm de os puxar para dentro com 2mω²r, e recolhê-los ao longo dessa tração é trabalho: a área sombreada sob a curva no segundo painel. A tabela de resultados faz a soma ao longo de mil faixas e obtém 142,12 J, o ganho até ao último dígito impresso. Empurre as mãos de volta para fora e a mesma tração realiza, em vez disso, trabalho sobre os braços, e a rotação cai de volta para 1 rev/s.

Mãos quatro vezes mais próximas, e apenas o triplo da rotação

Se os halteres fossem tudo o que há, como pontos nas mãos, L = 2mr²ω ditaria que trazê-los de 0,8 m para 0,2 m o faria girar dezesseis vezes mais rápido. A página indica 3,000. A maior parte do que gira não se move quando você puxa os braços. O seu corpo e a plataforma mantêm o seu 1 kg·m², e cada haltere conserva a parte do seu momento que diz respeito ao seu próprio tamanho, md² pelo teorema dos eixos paralelos, por mais que os aproxime do centro. Portanto, existe um teto: com os dois halteres no eixo, a linha sob a rotação indica 3,462 rev/s, e nenhum puxão consegue ultrapassar este valor. Halteres mais pesados compõem uma fração maior do que gira. A opção Mais pesado, 10 kg multiplica a rotação por 7,000, mas mesmo começando com apenas um quarto de volta por segundo, as mãos já têm de segurar 483,6 N no final.

Mesmo sem nenhum momento angular, você consegue girar

Pressione Do repouso, braçada. L é zero do início ao fim, e cada braçada ainda deixa o corpo girado em 25,00°. Varra os braços em 45° com as mãos afastadas e o corpo gira 32,50° para o outro lado, já que os halteres representam 2,600 dos 3,600 kg·m² que giram. Recolha-os e varra de volta, e o corpo regressa apenas 7,50°, porque agora representam 0,200 dos 1,200. Os braços terminam onde começaram, em relação ao corpo; o corpo não. O momento angular nulo impede uma rotação que perdure: entre as varreduras o corpo fica parado, e Braçada, mãos afastadas traz o corpo de volta a 0,00°. Um gato solto de costas a partir do repouso também não tem momento angular, e ainda assim cai de pé. Thomas Kane e M. P. Scher publicaram uma explicação dinâmica para esse fenómeno em 1969 e, em 1970, um estudo sobre como uma pessoa pode girar o próprio corpo ao mover os membros.

Problema resolvido na íntegra

  1. Onde é que a tração é mais forte ao longo do percurso? 4 passos

    Os halteres de 2 kg movem-se de 0,8 m para 0,2 m com L = 22,62 kg·m²/s. A tração que as duas mãos seguram é de 126,3 N no início e 284,2 N no final. Será mais forte no final? Se não, onde, e com que intensidade? Pressione Puxar, 2 kg para verificar o primeiro passo.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. As mãos mantêm os halteres no seu círculo com 2mω²r, e ω = L/I(r), portanto a tração depende apenas de r:

      F(r)=2m(LI(r))2r=2×2×22.622 r(1.04+4r2)2F(0.8)=126.3 N,F(0.2)=284.2 NF(r)=2m\left(\dfrac{L}{I(r)}\right)^2 r=\dfrac{2\times2\times22{.}62^2\,r}{(1{.}04+4r^2)^2}\qquad F(0{.}8)=126{.}3\ \mathrm{N},\quad F(0{.}2)=284{.}2\ \mathrm{N}

    2. A linha de 0,30 m na tabela, 313,2 N, está acima de ambos os extremos, logo a tração máxima encontra-se em algum lugar no meio. Defina a derivada de r/I² a zero, com I′ = 4mr:

      ddr rI2=I−2rI′I3=I−8mr2I3=0⇒I=8mr2\dfrac{d}{dr}\,\dfrac{r}{I^2}=\dfrac{I-2rI'}{I^3}=\dfrac{I-8mr^2}{I^3}=0\quad\Rightarrow\quad I=8mr^2

    3. Escreva I por extenso e resolva em ordem a r:

      Ib+2md2+2mr2=8mr2 ⇒ r∗2=Ib+2md26m=1.0412=0.08667 ⇒ r∗=0.2944 mI_b+2md^2+2mr^2=8mr^2\ \Rightarrow\ r^{*2}=\dfrac{I_b+2md^2}{6m}=\dfrac{1{.}04}{12}=0{.}08667\ \Rightarrow\ r^*=0{.}2944\ \mathrm{m}

    4. Substitua r* de volta em I e na equação da tração:

      I(r∗)=8×2×0.08667=1.3867 kg m2F(r∗)=4×22.622×0.29441.38672=313.3 NI(r^*)=8\times2\times0{.}08667=1{.}3867\ \mathrm{kg\,m^2}\qquad F(r^*)=\dfrac{4\times22{.}62^2\times0{.}2944}{1{.}3867^2}=313{.}3\ \mathrm{N}

    Resposta

    A tração é mais forte com as mãos a 0,2944 m do eixo: 313,3 N nas duas mãos, 156,7 N em cada uma, aproximadamente o peso de uma massa de 16 kg. Mais perto do centro a rotação continua a subir, mas r diminui mais rápido do que ω² cresce, e os últimos 9 cm requerem menos tração.

    r∗=0.2944 m:Fmax⁡=313.3 N=2×156.7 N  (≈16 kg a hand)r^*=0{.}2944\ \mathrm{m}:\quad F_{\max}=313{.}3\ \mathrm{N}=2\times156{.}7\ \mathrm{N}\ \ (\approx 16\ \mathrm{kg}\ \text{a hand})

Percurso de aprendizagem

Rotação e momento angular

Referências (3)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.