A lei de Biot–Savart

Uma corrente elétrica cria um campo magnético. A lei de Biot–Savart dá a contribuição de cada pequeno troço de fio: dB = (μ₀/4π) I dl × r̂/r², perpendicular tanto ao fio como à reta que une o elemento ao ponto de observação. Somando estas contribuições, obtém-se o campo de qualquer fio. Escolha uma configuração, ajuste a corrente e compare a expressão analítica com a soma das contribuições de N elementos retilíneos.

O campo de um elemento de corrente	$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}}$
A força numa corrente e entre dois fios	$\vec F=I\vec L\times\vec B,\qquad\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}$

Exemplo resolvido — A lei de Biot–Savart

B em P	22,48 μT
O mesmo campo, com 12 elementos de corrente	23,32 μT
B no centro da espira	31,42 μT
Campo distante do dipolo neste z	251,3 μT

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — A lei de Biot–Savart

A lei de Biot–Savart dá o campo magnético produzido por um elemento de corrente I dl num ponto à distância r: dB = (μ₀/4π) I dl × r̂/r², com μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. O campo do fio completo resulta da soma das contribuições dos seus elementos, expressa por um integral ao longo do fio.

O que significa cada símbolo

I dl: um pequeno troço de fio multiplicado pela corrente, representado por um vetor com o sentido da corrente
r̂: o vetor unitário que aponta do elemento para o ponto
φ: o ângulo entre dl e r̂; o campo do elemento é proporcional a sin φ

De onde vem a fórmula

Um elemento. O campo de I dl é perpendicular a dl e a r̂, com o sentido dado pela regra da mão direita, e tem módulo (μ₀/4π) I dl sin φ/r². Um elemento alinhado com P não contribui para o campo nesse ponto.
$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}},\qquad dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl\,\sin\varphi}{r^{2}}$
Um segmento retilíneo. Em P, os campos de todos os elementos têm o mesmo sentido. Fazendo x = d tan θ, obtém-se r = d/cos θ e sin φ = cos θ, e o integral reduz-se a ∫cos θ dθ. Para um fio infinito, θ varia de −90° a 90°.
$B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta\,d\theta=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)\ \to\ \frac{\mu_0I}{2\pi d}$
Uma espira no seu eixo. Todos os elementos estão à mesma distância √(R² + z²) de P e são perpendiculares à reta que os une a esse ponto. Ao somar ao longo da espira, as componentes perpendiculares ao eixo anulam-se; de cada contribuição, resta a fração R/√(R² + z²) na direção do eixo.
$B_z=\oint\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl}{R^{2}+z^{2}}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}$
Um arco no seu centro. Cada elemento está à distância R e é perpendicular ao raio, pelo que o integral é igual ao ângulo do arco multiplicado por μ₀I/(4πR).
$B=\int_{0}^{\theta_0}\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{IR\,d\theta}{R^{2}}=\frac{\mu_0I\theta_0}{4\pi R}$
A força num fio. Um campo exerce sobre um elemento de corrente a força dF = I dl × B, que resulta da soma das forças nas suas cargas em movimento. Colocando um fio longo no campo do outro, obtém-se a força por metro.
$d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B,\qquad\frac{F}{L}=I_2\,\frac{\mu_0I_1}{2\pi d}$

Pressupõe: Admitem-se correntes estacionárias em fios finos, no vácuo ou no ar. Os fios retilíneos de ligação a um arco consideram-se alinhados com o centro, onde os seus elementos não produzem campo; um fio de ligação que passe a uma certa distância de P acrescenta o campo do respetivo segmento.

Problemas resolvidos na íntegra

Um segmento retilíneo, junto ao ponto médio 3 passos
Um fio retilíneo de 20 cm é percorrido por uma corrente de 5,0 A. Determine B num ponto situado na perpendicular ao fio pelo seu ponto médio, a 5,0 cm deste, e compare com o campo de um fio infinito.

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1. Cada extremidade fica a 10 cm do pé da perpendicular:
  
  $\sin\theta_{2}=-\sin\theta_{1}=\frac{0{.}10}{\sqrt{0{.}10^{2}+0{.}05^{2}}}\approx0{.}8944$
2. Pela fórmula do segmento:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}\,(1{.}789)\approx1{.}789\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. Para um fio infinito à mesma distância:
  
  $B_{\infty}=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=\frac{(2\times10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}=2{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Resposta

17,89 μT, face a 20 μT para um fio infinito: o segmento abrange um ângulo de 126,9°, dos 180° correspondentes ao fio infinito.

$B\approx17{.}89\ \mu\mathrm{T},\qquad B_{\infty}=20\ \mu\mathrm{T}$
Um fio que termina no pé da perpendicular 1 passos
Um fio retilíneo longo, percorrido por uma corrente de 5,0 A, termina no pé da perpendicular traçada de um ponto situado a 5,0 cm do fio. Determine B nesse ponto.

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1. O fio estende-se de θ₁ = 0 até θ₂ = 90°:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(1-0\right)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}=1{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Resposta

10 μT, metade dos 20 μT do fio infinito.

$B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}=10\ \mu\mathrm{T}$
Uma espira, no eixo e no centro 2 passos
Uma espira de raio 10 cm é percorrida por uma corrente de 5,0 A. Determine B no centro e num ponto do eixo a 5,0 cm do centro.

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1. No centro, z = 0:
  
  $B_{0}=\frac{\mu_0I}{2R}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\,(0{.}10)}\approx3{.}142\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Em z = 5,0 cm:
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)}{2\,(0{.}0125)^{3/2}}\approx2{.}248\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Resposta

31,42 μT no centro e 22,48 μT a 5,0 cm.

$B_{0}\approx31{.}42\ \mu\mathrm{T},\qquad B(5\ \mathrm{cm})\approx22{.}48\ \mu\mathrm{T}$
Um quarto de circunferência 1 passos
Um fio em forma de quarto de circunferência de raio 10 cm é percorrido por uma corrente de 5,0 A; os fios retilíneos de ligação estão alinhados com o centro. Determine B no centro.

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1. Os fios de ligação estão alinhados com P, pelo que sin φ = 0 para todos os seus elementos. No arco, cada elemento está à distância R, com dl perpendicular a r̂:
  
  $B=\frac{\mu_0I\theta_0}{4\pi R}=\frac{(10^{-7})(5{.}0)(\pi/2)}{0{.}10}\approx7{.}854\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
Resposta

7,854 μT, um quarto dos 31,42 μT da espira completa.

$B=\frac{\mu_0I}{8R}\approx7{.}854\ \mu\mathrm{T}$
Um fio em U 3 passos
Um fio longo, percorrido por uma corrente de 5,0 A, segue em linha reta, descreve uma semicircunferência de raio 10 cm e regressa paralelamente ao troço de entrada. Determine B no centro da semicircunferência.

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1. A semicircunferência corresponde a metade de uma espira:
  
  $B_{1}=\frac{\mu_0I}{4R}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{4\,(0{.}10)}\approx1{.}571\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Cada fio retilíneo termina no pé da perpendicular traçada do centro, à distância R. Assim, cada um contribui com metade do campo de um fio infinito, e ambos os campos têm o mesmo sentido que o da semicircunferência:
  
  $B_{2}=2\cdot\frac{\mu_0I}{4\pi R}=2\cdot\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}=1{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. Somando as contribuições:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4R}\Bigl(1+\frac{2}{\pi}\Bigr)\approx2{.}571\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Resposta

25,71 μT, com as três contribuições no mesmo sentido: a sair da página quando a corrente percorre a semicircunferência no sentido anti-horário.

$B\approx25{.}71\ \mu\mathrm{T}$
Uma espira quadrada, no seu centro 2 passos
Uma espira quadrada de lado 20 cm é percorrida por uma corrente de 5,0 A. Determine B no centro.

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1. Cada lado é um segmento com d = 10 cm e extremidades em x = ±10 cm, pelo que sin θ = ±1/√2:
  
  $B_{1}=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\Bigl(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}\,\sqrt2\approx7{.}071\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
2. Os campos dos quatro lados têm o mesmo sentido:
  
  $B=4B_{1}=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}\approx2{.}828\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Resposta

28,28 μT, um pouco menos que os 31,42 μT de uma espira circular de raio 10 cm inscrita no quadrado.

$B=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}\approx28{.}28\ \mu\mathrm{T}$
A força entre dois fios paralelos 2 passos
Dois fios longos e paralelos, separados por 5,0 cm, são percorridos por correntes de 10 A no mesmo sentido. Determine a força num metro de qualquer dos fios e indique o seu sentido.

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1. O campo do fio 1 no fio 2:
  
  $B_1=\frac{\mu_0I_1}{2\pi d}=\frac{(2\times10^{-7})(10)}{0{.}05}=4{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. A força num comprimento L do fio 2 é I₂L × B₁, perpendicular ao fio e dirigida para o fio 1:
  
  $\frac{F}{L}=I_2B_1=(10)(4{.}0\times10^{-5})=4{.}0\times10^{-4}\ \mathrm{N/m}$
Resposta

0,40 mN por metro, de atração. Invertendo uma das correntes, a força passa a ser de repulsão, com o mesmo módulo.

$\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=0{.}40\ \mathrm{mN/m}$
Um par de Helmholtz 2 passos
Duas espiras coaxiais de raio 10 cm, separadas por 10 cm, são percorridas por correntes de 5,0 A no mesmo sentido. Determine B no ponto médio.

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1. Cada espira está à distância s/2 = R/2 do ponto médio:
  
  $B=2\cdot\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+R^{2}/4\right)^{3/2}}$
2. Simplificando:
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{\left(\tfrac{5}{4}R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{8}{5\sqrt5}\,\frac{\mu_0I}{R}=\frac{8}{5\sqrt5}\cdot\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}\approx4{.}496\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Resposta

44,96 μT, 1,431 vezes o campo de uma só espira no seu próprio centro.

$B=\frac{8}{5\sqrt5}\,\frac{\mu_0I}{R}\approx44{.}96\ \mu\mathrm{T}$
Uma espira vista de longe 3 passos
Determine o momento magnético da espira do problema 3 e estime B num ponto do eixo a 50 cm do centro, usando a fórmula do dipolo. Qual é a precisão desta estimativa?

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1. O momento magnético:
  
  $m=I\pi R^{2}=(5{.}0)\,\pi\,(0{.}10)^{2}\approx0{.}1571\ \mathrm{A\,m^{2}}$
2. Pela fórmula do dipolo:
  
  $B\approx\frac{\mu_0m}{2\pi z^{3}}=\frac{(2\times10^{-7})(0{.}1571)}{(0{.}50)^{3}}\approx2{.}513\times10^{-7}\ \mathrm{T}$
3. O campo exato:
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)}{2\,(0{.}26)^{3/2}}\approx2{.}370\times10^{-7}\ \mathrm{T}$
Resposta

m = 0,1571 A·m²; a fórmula do dipolo dá 0,2513 μT, face ao valor exato de 0,237 μT, uma sobrestimação de 6% à distância de 5 raios.

$B_{m}\approx0{.}2513\ \mu\mathrm{T},\qquad B\approx0{.}2370\ \mu\mathrm{T}$
A força num fio num campo uniforme 1 passos
Um fio retilíneo de 20 cm é percorrido por uma corrente de 5,0 A e faz um ângulo de 30° com um campo uniforme de 0,30 T. Determine a força no fio.
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1. F = IL × B, com módulo ILB sin θ:
  
  $F=ILB\sin\theta=(5{.}0)(0{.}20)(0{.}30)\sin30^{\circ}=0{.}15\ \mathrm{N}$
Resposta

0,15 N, perpendicular tanto ao fio como ao campo.

$F=0{.}15\ \mathrm{N}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Um fio retilíneo longo é percorrido por uma corrente de 20 A. Determine B a 4,0 cm do fio.

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100 μT.

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=100\ \mu\mathrm{T}$
Uma bobina plana com 50 espiras de raio 5,0 cm é percorrida por uma corrente de 2,0 A. Determine B no centro.

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1,257 mT: 50 vezes o campo de uma só espira.

$B=N\,\frac{\mu_0I}{2R}\approx1{.}257\ \mathrm{mT}$
Determine B no centro de uma espira quadrada de lado a percorrida por uma corrente I.

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2√2 μ₀I/(πa).

$B=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}$
Dois fios longos e paralelos, separados por 5,0 cm, são percorridos por correntes de 10 A em sentidos opostos. Determine B a meio dos fios.

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160 μT: nesse ponto, os dois campos têm o mesmo sentido.

$B=2\cdot\frac{\mu_0I}{2\pi\,(d/2)}=160\ \mu\mathrm{T}$
Uma espira retangular de 10 cm por 5,0 cm é percorrida por uma corrente de 3,0 A num campo uniforme de 0,20 T, paralelo ao plano da espira. Determine o momento das forças que atuam na espira.

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3,0 × 10⁻³ N·m, usando τ = mB sin 90° com m = IA.

$\tau=IAB=3{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{N\,m}$
Um protão move-se a 1,0 × 10⁵ m/s, paralelamente a um fio longo percorrido por uma corrente de 10 A, a 2,0 cm deste e no sentido da corrente. Determine a força no protão.

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1,602 × 10⁻¹⁸ N, dirigida para o fio.

$F=qvB=qv\,\frac{\mu_0I}{2\pi d}\approx1{.}602\times10^{-18}\ \mathrm{N}$

Correntes no mesmo sentido atraem-se

Selecione Fios no mesmo sentido: com 10 A em cada fio e uma separação de 5 cm, cada metro de fio é atraído pelo outro com uma força de 0,4 mN. Selecione agora Fios em sentidos opostos: os fios repelem-se com a mesma força. Com as cargas elétricas acontece o contrário: cargas do mesmo sinal repelem-se. A força no fio 2 é dada por I₂ multiplicado pelo produto vetorial entre o vetor orientado ao longo do fio e o campo do fio 1, μ₀I₁/(2πd). Quando as correntes têm o mesmo sentido, esse produto vetorial aponta para o fio 1. Até 20 de maio de 2019, esta força definia o ampere: 1 A era a corrente que produzia 2 × 10⁻⁷ N por metro entre dois fios separados por 1 m, o que fixava μ₀ em exatamente 4π × 10⁻⁷ N/A². Hoje, o ampere é definido a partir da carga do eletrão, e μ₀ é uma grandeza medida: o valor recomendado pelo CODATA 2022 é 1,25663706127(20) × 10⁻⁶ N/A², compatível com o antigo valor dentro da sua incerteza.

Uma espira percorrida por corrente é um íman e, ao longe, o seu campo é igual ao de qualquer outro

Selecione Espira vista de longe. No eixo de uma espira de raio 10 cm, a 50 cm do centro, o campo é de 0,237 μT. A expressão μ₀m/(2πz³), com momento m = IπR², dá 0,2513 μT; a distâncias maiores, os valores aproximam-se. É o campo de um dipolo. Um dipolo elétrico de momento p produz um campo de 2kp/z³ ao longo do seu eixo, e a espira produz (μ₀/4π)·2m/z³: a mesma lei, com μ₀/4π no lugar de k e m no lugar de p. A grande distância, basta conhecer o momento da espira, o produto da corrente pela área. A forma e os pormenores do fio só introduzem correções relevantes mais perto, razão pela qual uma pequena bobina e uma agulha de bússola podem desempenhar o mesmo papel.

Duas espiras separadas por um raio produzem o campo mais uniforme

Selecione Um par de Helmholtz. Com as espiras separadas por 10 cm, uma distância igual ao seu raio, o campo no ponto médio é (8/5√5)μ₀I/R = 44,96 μT. Um deslocamento de 1 cm ao longo do eixo altera-o em 0,011%. Para uma só espira, a variação no mesmo centímetro é de 1,5%. O gráfico do campo de uma espira ao longo do eixo tem concavidade voltada para baixo perto da espira e para cima longe dela, com mudança em z = R/2. Ao escolher s = R, o ponto médio coincide com esse ponto de inflexão para ambas as espiras, pelo que a segunda derivada é nula. Por simetria, as contribuições das espiras para a primeira e a terceira derivadas anulam-se; assim, o primeiro termo da variação do campo em torno do ponto médio é proporcional a z⁴. Com s igual a 8 cm, a curva do gráfico apresenta uma elevação no meio; com 12 cm, apresenta uma depressão.

Percurso de aprendizagem

De onde vêm os campos

Referências (6)

The law dB = (μ₀/4π) I dl sin θ/r², and the field at the centre of an arc, μ₀Iθ/(4πR) (Example 12.2): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.1, “The Biot-Savart Law”.
The infinite straight wire, μ₀I/(2πR), from the integral over θ (Eq. 12.8): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.2, “Magnetic Field Due to a Thin Straight Wire”.
F/l = μ₀I₁I₂/(2πr), attractive for currents in the same direction and repulsive for opposite ones: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.3, “Magnetic Force between Two Parallel Currents”.
The loop on its axis, its centre, the far field as a magnetic dipole (Eq. 12.19), and Helmholtz coils (Example 12.5): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.4, “Magnetic Field of a Current Loop”.
Insight block 1: the pre-2019 definition (“…would produce between these conductors a force equal to 2 × 10⁻⁷ newton per meter of length”) and the new definition's date, 20 May 2019: National Institute of Standards and Technology, “SI Redefinition: Ampere”.
Insight block 1: μ₀ = 1.256 637 061 27(20) × 10⁻⁶ N A⁻², relative standard uncertainty 1.6 × 10⁻¹⁰, CODATA 2022: National Institute of Standards and Technology, CODATA Internationally Recommended 2022 Values of the Fundamental Physical Constants, “vacuum magnetic permeability”.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.