A Fronteira Eficiente, Fora da Amostra

A fronteira é traçada a partir de uma amostra de retornos, e a carteira colocada no seu melhor ponto foi escolhida por ter parecido a melhor nessa amostra. Mantenha-a ao longo dos anos seguintes e veja o que sobrevive.

Exemplo resolvido — A Fronteira Eficiente, Fora da Amostra

O otimizador previu	0,829
O otimizador entregou	0,494
Os pesos iguais entregaram	0,757
Janelas ganhas, pesos iguais	48 de 63

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Um otimizador não distingue um prémio de risco de uma amostra com sorte

Ajuste estas cinco classes de ativos a 1928–1957 e a carteira de melhor Sharpe põe 93,4% em obrigações do Tesouro a 10 anos. Isso não é um juízo sobre obrigações; é aritmética. Os bilhetes pagaram 1,19% ao ano nesse período e as obrigações bateram-nos com um nono da volatilidade das ações, pelo que as obrigações tinham a maior recompensa por unidade de risco na amostra — e encontrar exatamente isso é todo o trabalho do otimizador. Mantida ao longo de 1958–1987 — três décadas de inflação e de juros a subir — marcou 0,029 contra os 0,700 que prometera, enquanto os pesos iguais marcaram 0,484. O seu retorno bruto até subiu, de 3,50% para 6,36%, e é por isso que o retorno bruto é a coisa errada para olhar: os bilhetes subiram ainda mais depressa, até 6,10%, pelo que uma carteira que prometera 2,31% ao ano acima dos bilhetes entregou 0,25% enquanto a sua volatilidade quase triplicava. O otimizador não se enganou sobre o passado. Foi-lhe feita uma pergunta sobre o futuro e respondeu a uma pergunta sobre a amostra, e nada no método distingue as duas.

As três carteiras terminam exatamente em ordem inversa

Na janela com que a página abre, a tabela promete um rácio de Sharpe de 0,829 para a carteira de tangência otimizada, 0,777 para a variância mínima e 0,565 para os pesos iguais. Mantidas ao longo dos 16 anos seguintes entregam 0,494, 0,524 e 0,757: as mesmas três carteiras, em ordem inversa. A ordem não é sorte, é o quanto da amostra serviu para ajustar cada uma delas — tangência usa as médias estimadas e as covariâncias estimadas, variância mínima usa apenas as covariâncias, pesos iguais não usa nenhuma das duas. Na média de todas as 59 janelas de vinte anos de ajuste e manutenção a classificação é a mesma: 0,297, 0,460, 0,558.

A carteira construída para ser calma foi a agitada

A variância mínima prometia 5,32% de volatilidade nesta janela — inferior aos 5,67% da carteira de tangência — e entregou 8,60%, superior aos 7,93% da tangência. Promessa mais baixa, resultado mais alto. Não é uma única janela: varra todas as durações de ajuste de 10 a 30 anos contra todas as durações de manutenção de 5 a 30 e a volatilidade realizada da carteira de tangência sai acima da sua volatilidade ajustada em 22.203 de 33.579 delas. Um otimizador caça o canto da matriz de covariância estimada onde o risco parece menor, e os cantos onde uma estimativa é menor são exatamente aqueles em que é mais provável que seja pequena demais.

Problema resolvido na íntegra

A combinação com melhor Sharpe de ações dos EUA e obrigações do Tesouro a 10 anos 7 passos
Dois ativos, uma janela: ações dos EUA e obrigações do Tesouro a 10 anos ajustadas a 1928–1976. Derive à mão a combinação com o melhor rácio de Sharpe, verifique-a com o painel — e determine depois quantos dos seus dígitos apresentados os dados conseguem efetivamente suportar.

Abrir este problema na ferramenta
1. Clique em Apenas ações e obrigações para ajustar a fronteira a esta janela. Entram seis números e nada mais: o retorno anual médio de cada componente, a volatilidade de cada componente, a sua correlação e a taxa dos bilhetes do Tesouro que define a taxa sem risco.
  
  $\mu_s=10.76\%,\quad \mu_b=3.23\%,\quad r_f=2.47\%,\quad \sigma_s=22.351\%,\quad \sigma_b=4.2537\%,\quad \rho=-0.0379$
2. Os rácios de Sharpe são medidos acima da liquidez, pelo que se subtrai a taxa dos bilhetes do Tesouro a ambas as médias. As ações obtiveram cerca de onze vezes o excesso da componente de obrigações. A covariância é ligeiramente negativa — um valor pequeno que desempenha um papel crucial dois passos mais à frente.
  
  $e_s=\mu_s-r_f=8.285\%,\qquad e_b=\mu_b-r_f=0.758\%,\qquad \sigma_{sb}=\rho\,\sigma_s\sigma_b=-0.00036058$
3. Uma combinação que detenha w em ações obtém a média ponderada dos dois excessos. A sua volatilidade não é uma média ponderada: o termo cruzado representa a totalidade da diversificação e, com uma covariância negativa, subtrai.
  
  $e(w)=we_s+(1-w)e_b,\qquad \sigma(w)=\sqrt{w^2\sigma_s^2+(1-w)^2\sigma_b^2+2w(1-w)\sigma_{sb}}$
4. Antes de confiar na fórmula, teste-a onde a resposta já se encontra na página. Defina w = ½ e a própria linha Ponderações iguais (1/N) da ferramenta apresenta 4,52% acima da liquidez a 11,30% de volatilidade. Ambos coincidem, pelo que os seis dados de entrada são os seis corretos.
  
  $w=\tfrac12:\quad e=4.52\%,\qquad \sigma=\sqrt{0.0127613}=11.30\%$
5. Agora maximize. Como o rácio de Sharpe é um rácio, o seu máximo não tem de se situar em nenhuma das extremidades — e, com uma covariância negativa, tal não acontece. Igualar a derivada a zero elimina a raiz quadrada e deixa uma fórmula em função dos mesmos seis dados de entrada.
  
  $S(w)=\frac{e(w)}{\sigma(w)},\qquad S'(w)=0\iff w^{*}=\frac{e_s\sigma_b^2-e_b\sigma_{sb}}{e_s\sigma_b^2+e_b\sigma_s^2-(e_s+e_b)\sigma_{sb}}$
6. Substitua. Abra As ponderações escolhidas por cada método e a linha da tangência indica 27,2% em ações e 72,8% em obrigações; a tabela acima indica 6,72% de volatilidade prevista e um rácio de Sharpe previsto de 0,418. Uma carteira com um quarto em ações é 4,6 pontos mais calma do que a combinação 50/50.
  
  $w^{*}=\frac{0.00015264}{0.00056096}=0.2721\ \Rightarrow\ 27.2\%\,/\,72.8\%,\qquad \sigma(w^{*})=6.72\%,\qquad S=\frac{2.81\%}{6.72\%}=0.418$
7. Avalie agora a incerteza dos dados de entrada, algo que a ferramenta nunca faz. μ_s não é um facto indiscutível sobre o mundo; é a média de 49 retornos anuais cuja dispersão é de 22,351%, pelo que carrega o seu próprio erro padrão. Coloque μ_s um erro padrão para cada lado e resolva novamente a mesma fórmula.
  
  $\mathrm{SE}(\mu_s)=\frac{\sigma_s}{\sqrt{n}}=\frac{22.351\%}{\sqrt{49}}=3.19\%\ \Rightarrow\ w^{*}\in[19.3\%,\ 33.4\%]$
Resposta

27,2% de ações, 72,8% de obrigações — impresso até à décima de ponto numa grandeza que os dados apenas fixam em cerca de ±7 pontos. Um único erro padrão na média das ações faz oscilar a ponderação ótima de 19,3% para 33,4%, e isto mantendo as duas volatilidades, a correlação e a taxa dos bilhetes do Tesouro tratadas como exatamente conhecidas. A função objetivo não ajuda a estreitar o intervalo: avalie S(w) a 24,1% e a 30,9% e ambos arredondam para 0,417, pelo que as próprias três casas decimais do painel não conseguem separar ponderações com sete pontos de diferença. Essa é a ironia discreta da fronteira — o seu resultado de aspeto mais confiante é o menos determinado. É por isso que as ponderações iguais, sem estimar absolutamente nada, obtiveram 0,551 aqui contra os 0,440 do otimizador.

$w^{*}=27.2\%\qquad \mu_s\pm\mathrm{SE}(\mu_s)\Rightarrow w^{*}\in[19.3\%,\ 33.4\%]$

Percurso de aprendizagem

O risco, medido

Referências (6)

The frontier itself, in the paper that defined it: H. Markowitz, "Portfolio Selection." The Journal of Finance 7(1), 77–91, 1952.
The result this page reproduces — across fourteen datasets, no optimised rule reliably beat equal weights out of sample: V. DeMiguel, L. Garlappi and R. Uppal, "Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy?" Review of Financial Studies 22(5), 1915–1953, 2009.
Why the optimiser behaves this way — it maximises over estimation error as readily as over return: R. O. Michaud, "The Markowitz Optimization Enigma: Is 'Optimized' Optimal?" Financial Analysts Journal 45(1), 31–42, 1989.
And how far the weights move for a small change in the estimated means, which is the mechanism behind everything above: M. J. Best and R. R. Grauer, "On the Sensitivity of Mean-Variance-Efficient Portfolios to Changes in Asset Means: Some Analytical and Computational Results." Review of Financial Studies 4(2), 315–342, 1991.
One of the standard repairs — shrink the covariance estimate rather than trust the sample one. This tool does not apply it, so the frontier shown is the raw sample frontier: O. Ledoit and M. Wolf, "Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix." The Journal of Portfolio Management 30(4), 110–119, 2004.
The older warning that a mean-variance optimum is only as meaningful as the set of assets you fed it: R. Roll, "A critique of the asset pricing theory's tests Part I: On past and potential testability of the theory." Journal of Financial Economics 4(2), 129–176, 1977.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

A Fronteira Eficiente, Fora da Amostra

Um otimizador não distingue um prémio de risco de uma amostra com sorte 🖖

As três carteiras terminam exatamente em ordem inversa 🖖

A carteira construída para ser calma foi a agitada 🖖

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As três carteiras terminam exatamente em ordem inversa

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