Dispersão e desvio

A predefinição one outlier contém sete valores entre 4 e 7 e um em 20. Calcule a pontuação z desse último a partir do desvio padrão amostral e decida depois se uma regra que assinala tudo o que passe de três desvios padrão alguma vez o teria apanhado.

Abrir este problema na ferramenta

1. Some os oito valores e reparta-os: 60 por 8 dá 7,50. Sete dos oito ficam abaixo desse valor, pelo que o único valor elevado já está a deslocar o centro antes sequer de tocar na dispersão.

   $$\bar{x} = \frac{4+5+5+6+6+7+7+20}{8} = \frac{60}{8} = 7.50$$

2. Subtraia 7,50 a cada um. Os sete valores agrupados ficam a distâncias entre 0,5 e 3,5; o oitavo fica a 12,5. O painel apresenta essa coluna, e ela soma zero, como acontece com qualquer coluna de desvios.

   $$x_i - \bar{x}: \; -3.5,\, -2.5,\, -2.5,\, -1.5,\, -1.5,\, -0.5,\, -0.5,\, 12.5$$

3. Ao elevar ao quadrado, o total desequilibra-se. Os sete juntos contribuem com 29,75, e o valor em 20 contribui sozinho com 156,25, mais de cinco vezes todo o resto da amostra. É o quadrado a fazer aquilo para que ali está.

   $$\sum (x_i - \bar{x})^2 = \underbrace{29.75}_{i \le 7} + \underbrace{156.25}_{i = 8} = 186.00$$

4. Esta predefinição carrega o modo amostral, pelo que o divisor é 7 e não 8. O painel mostra a fração além do resultado: 186,00 sobre 7 dá uma variância de 26,57 e um desvio padrão de 5,15. Leve a divisão mais uma casa e s é 5,1547, que é o que o passo seguinte precisa.

   $$s^2 = \frac{186.00}{8-1} = 26.57, \qquad s = \sqrt{26.57} = 5.1547$$

5. Uma pontuação z conta desvios padrão a contar da média, portanto aqui é 12,5 sobre 5,1547, ou seja, 2,4249. O valor mais notório do conjunto não chega a três, e nem sequer anda perto.

   $$z_8 = \frac{20 - 7.50}{5.1547} = 2.4249$$

6. Pergunte agora se isso é um facto sobre esta lista ou sobre oito números em geral. Uma coisa decide: os desvios somam zero, pelo que, sejam quais forem os outros sete, somam exatamente o simétrico do oitavo.

   $$d_k = x_k - \bar{x}, \quad \sum_i d_i = 0 \;\Longrightarrow\; \sum_{i \ne k} d_i = -d_k$$

7. Números com soma fixa atingem a menor soma de quadrados possível quando são todos iguais. Logo, os sete desvios restantes não podem ser todos pequenos: o mais económico que conseguem fazer é repartir a carga por igual, e isso coloca um piso na soma dos quadrados.

   $$\begin{aligned}\sum_{i \ne k} d_i^2 &\ge \frac{\left(\sum_{i \ne k} d_i\right)^2}{n-1} = \frac{d_k^2}{n-1} \\ \sum_i d_i^2 &\ge d_k^2 + \frac{d_k^2}{n-1} = \frac{n}{n-1}\,d_k^2\end{aligned}$$

8. Um piso na soma dos quadrados é um piso em s, e um piso em s é um teto para z. Nenhum valor de uma lista de n pode ficar a mais de (n − 1)/√n desvios padrão amostrais da média. Com n = 8, esse teto é 2,4749. Suba o 20 para 100 e o painel dá um desvio de 82,50 contra um desvio padrão de 33,35, logo z é 2,474. Suba-o para um milhão e z chega a 2,4749 à quarta casa, e aí fica.

   $$\begin{aligned}s^2 &= \frac{\sum_i d_i^2}{n-1} \ge \frac{n\,d_k^2}{(n-1)^2} \\ |z_k| &= \frac{|d_k|}{s} \le \frac{n-1}{\sqrt{n}} = \frac{7}{\sqrt{8}} = 2.4749\end{aligned}$$

9. O teto depende de n e de mais nada, e ultrapassa 3 pela primeira vez com onze valores: dez chegam a 2,846, onze chegam a 3,015. Aqui a lista aceita doze, pelo que o caso extremo está ao alcance. Escreva dez zeros e um 1000, ainda em modo amostral. O painel dá uma média de 90,91 e um desvio padrão de 301,51, e o maior desvio, 909,09, dividido por 301,51 dá 3,015, que é o próprio teto.

   $$\frac{n-1}{\sqrt{n}} \ge 3 \iff n \ge 11; \qquad n = 10: 2.846, \quad n = 11: 3.015$$