Doppelwinkelformeln

Gib A in Grad an oder wie in einer Prüfung üblich über den Wert einer Winkelfunktion samt Quadrant. Das Dreieck im Halbkreis veranschaulicht sin 2A, 1 + cos 2A und 1 − cos 2A unmittelbar als Streckenlängen. Für ganzzahlige Vielfache von 7,5° berechnet die Tabelle exakte Wurzelwerte. Unter Gleichungen löst du Ausdrücke mit cos 2x oder sin 2x gegen sin x oder cos x in einem Intervall – exakt in der Form, wie Prüfungen sie verlangen.

Sinus	$\sin2A=2\sin A\cos A$
Kosinus, drei Formen	$\begin{aligned}\cos2A&=\cos^{2}A-\sin^{2}A\\&=2\cos^{2}A-1\\&=1-2\sin^{2}A\end{aligned}$
Tangens	$\tan2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}$

Rechenbeispiel — Doppelwinkelformeln

Doppelter Winkel	60°
Sinus von A	0,5
Kosinus von A	0,866
Sinus von 2A	0,866
Kosinus von 2A, drei Formen	0,5
Tangens von 2A	1,7321
Tangens von A, über 2A	0,5774
Kosinus von 2A, exakt	1/2

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Doppelwinkelformeln

Die Doppelwinkelformeln drücken sin 2A, cos 2A und tan 2A durch die Funktionswerte von A aus; rückwärts gelesen liefern sie die Halbwinkelformeln.

Woher die Formel kommt

Setze B = A in die Additionstheoreme ein. Beim Sinus stimmen beide Produkte überein, beim Kosinus entsteht eine Differenz von Quadraten.
$\sin2A=2\sin A\cos A,\qquad\cos2A=\cos^{2}A-\sin^{2}A$
Tausche ein Quadrat gegen das andere über sin²A + cos²A = 1. So erhältst du zwei weitere Formen für cos 2A – eine rein im Kosinus, eine rein im Sinus.
$\cos2A=2\cos^{2}A-1=1-2\sin^{2}A$
Teile für den Tangens. Zähler und Nenner durch cos²A zu teilen verlangt cos A ≠ 0. Für tan²A = 1 ist das Ergebnis nicht definiert – genau dort wird auch cos 2A = 0.
$\tan2A=\frac{2\sin A\cos A}{\cos^{2}A-\sin^{2}A}=\frac{2\tan A}{1-\tan^{2}A}$
Lies die Kosinus-Formen rückwärts für den halben Winkel. Sie liefern cos²A und sin²A. Welches Vorzeichen die Wurzel trägt, bestimmt der Quadrant von A – keine Formel nimmt dir diese Entscheidung ab.
$\cos^{2}A=\frac{1+\cos2A}{2},\qquad\sin^{2}A=\frac{1-\cos2A}{2}$
Führe Gleichungen auf eine einzige Funktion zurück. Steht dort ein sin x, ersetze cos 2x durch 1 − 2sin²x; steht dort ein cos x, wähle 2cos²x − 1. Tritt sin 2x auf, klammere den gemeinsamen Faktor aus und teile keinesfalls durch ihn.
$\cos2x=\sin x\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x+\sin x-1=0,\qquad\sin2x=\cos x\ \Rightarrow\ \cos x\,(2\sin x-1)=0$

Aufgaben vollständig gelöst

Doppelwinkel aus Tangens und Quadrant 4 Schritte
tan A = 3/4 und 180° < A < 270°. Bestimme sin 2A, cos 2A und tan 2A sowie den Quadranten von 2A.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Ein 3-4-5-Dreieck liefert die Beträge; im dritten Quadranten sind Sinus und Kosinus negativ:
  
  $\sin A=-\tfrac{3}{5},\qquad\cos A=-\tfrac{4}{5}$
2. Die Doppelwinkelformeln. Beim Sinus heben sich die beiden Minuszeichen auf:
  
  $\begin{aligned}\sin2A&=2\left(-\tfrac{3}{5}\right)\left(-\tfrac{4}{5}\right)=\tfrac{24}{25}\\ \cos2A&=\tfrac{16}{25}-\tfrac{9}{25}=\tfrac{7}{25}\end{aligned}$
3. Die Tangensformel benötigt ausschließlich tan A:
  
  $\tan2A=\frac{2\cdot\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{9}{16}}=\frac{3/2}{7/16}=\frac{24}{7}$
4. 2A liegt zwischen 360° und 540°. Da Sinus und Kosinus positiv sind, liegt der Winkel nach einer vollen Umdrehung in Quadrant I:
  
  $360^{\circ}<2A<540^{\circ},\qquad\sin2A>0,\quad\cos2A>0$
Antwort

sin 2A = 24/25 = 0,96, cos 2A = 7/25 = 0,28, tan 2A = 24/7 ≈ 3,4286 und 2A ≈ 433,7398° liegt in Quadrant I.

$\sin2A=\tfrac{24}{25},\quad\cos2A=\tfrac{7}{25},\quad\tan2A=\tfrac{24}{7}$
Ein exakter Wert über die Halbwinkelformel 3 Schritte
Bestimme cos 15° exakt mithilfe von cos 30° und zeige, dass der Wert gleich (√6 + √2)/4 ist.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Löse cos 2A = 2cos²A − 1 für A = 15° nach cos A auf:
  
  $\cos^{2}15^{\circ}=\frac{1+\cos30^{\circ}}{2}=\frac{1+\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
2. 15° ist spitz, wähle also die positive Wurzel:
  
  $\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$
3. Quadriere zum Vergleich das Ergebnis der Additionstheoreme. Beide Zahlen sind positiv, gleiche Quadrate bedeuten also gleiche Werte:
  
  $\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right)^{2}=\frac{6+2+2\sqrt{12}}{16}=\frac{8+4\sqrt{3}}{16}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
Antwort

cos 15° = √(2 + √3)/2 = (√6 + √2)/4 ≈ 0,9659.

$\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx0{.}9659$
Ein exakter Tangens über eine quadratische Gleichung 3 Schritte
Bestimme tan 22,5° exakt mithilfe von tan 45° = 1 und der Formel für tan 2A.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Setze t = tan 22,5° in die Doppelwinkelformel mit 2A = 45° ein:
  
  $\frac{2t}{1-t^{2}}=1\ \Rightarrow\ t^{2}+2t-1=0$
2. Löse die quadratische Gleichung:
  
  $t=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$
3. 22,5° ist spitz, der Tangens folglich positiv. Die zweite Lösung, −1 − √2, entspricht tan 112,5°, dessen Verdopplung ebenfalls den Tangens 1 hat. Das Dreieck im Halbkreis liefert denselben Wert auf anderem Weg:
  
  $\tan22{.}5^{\circ}=\frac{\sin45^{\circ}}{1+\cos45^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}/2}{1+\sqrt{2}/2}=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$
Antwort

tan 22,5° = √2 − 1 ≈ 0,4142.

$\tan22{.}5^{\circ}=\sqrt{2}-1\approx0{.}4142$
Die passende Form für cos 2x wählen 3 Schritte
Löse cos 2x = sin x für 0° ≤ x < 360°.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Der andere Term ist ein Sinus; wähle für cos 2x also die reine Sinusform:
  
  $1-2\sin^{2}x=\sin x\ \Rightarrow\ 2\sin^{2}x+\sin x-1=0$
2. Als quadratische Gleichung in sin x faktorisieren:
  
  $(2\sin x-1)(\sin x+1)=0\ \Rightarrow\ \sin x=\tfrac{1}{2},\quad\sin x=-1$
3. sin x = 1/2 gilt bei 30° sowie 180° − 30°; sin x = −1 nur bei 270°:
  
  $x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$
Antwort

x = 30°, 150° oder 270°. Die Form cos²x − sin²x hätte Kosinus und Sinus in derselben Gleichung belassen.

$x=30^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$
Ausklammern statt teilen 3 Schritte
Löse sin 2x = cos x für 0° ≤ x < 360°.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. sin 2x umschreiben und alles auf eine Seite bringen:
  
  $2\sin x\cos x-\cos x=0$
2. cos x steckt in beiden Termen; klammere es aus:
  
  $\cos x\,(2\sin x-1)=0$
3. Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist:
  
  $\cos x=0:\ x=90^{\circ},\ 270^{\circ},\qquad\sin x=\tfrac{1}{2}:\ x=30^{\circ},\ 150^{\circ}$
Antwort

x = 30°, 90°, 150° oder 270°. Wer gleich zu Beginn durch cos x teilt, erhält bloß 30° und 150°: Dieser Schritt setzt cos x ≠ 0 voraus und unterschlägt exakt die Lösungen mit cos x = 0.

$x=30^{\circ},\ 90^{\circ},\ 150^{\circ},\ 270^{\circ}$
Vom Quadrat zum Doppelwinkel beim Integrieren 3 Schritte
Drücke sin²x durch cos 2x aus und bestimme damit den exakten Wert des Integrals von sin²x von 0 bis π/2.
Lösung anzeigen
1. Stelle cos 2x = 1 − 2sin²x um:
  
  $\sin^{2}x=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cos2x$
2. Zu jedem Summanden kennst du nun die Stammfunktion:
  
  $\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}\right]_{0}^{\pi/2}$
3. Wegen sin π = sin 0 = 0 trägt nur x/2 bei:
  
  $=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$
Antwort

Das Integral beträgt π/4 ≈ 0,7854, die halbe Intervallbreite, da der Mittelwert von sin²x darüber genau 1/2 ist.

$\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}x\,dx=\frac{\pi}{4}\approx0{.}7854$
Beweis einer Halbwinkel-Identität 3 Schritte
Beweise, dass sin 2A/(1 + cos 2A) = tan A überall dort gilt, wo beide Seiten definiert sind, und überprüfe das Ergebnis für A = 30°.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Ersetze jeden Doppelwinkel durch jene Form, die sich mit dem anderen Term faktorisieren lässt:
  
  $\frac{\sin2A}{1+\cos2A}=\frac{2\sin A\cos A}{1+(2\cos^{2}A-1)}=\frac{2\sin A\cos A}{2\cos^{2}A}$
2. Kürze 2 cos A – überall dort, wo tan A definiert ist, ist dieser Faktor ungleich null:
  
  $=\frac{\sin A}{\cos A}=\tan A$
3. Für A = 30°:
  
  $\frac{\sin60^{\circ}}{1+\cos60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}/2}{3/2}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan30^{\circ}$
Antwort

sin 2A/(1 + cos 2A) = tan A; bei 30° ergeben beide Seiten √3/3 ≈ 0,5774. Im Halbkreis entspricht dies der Höhe von P über dem längeren Abschnitt des Durchmessers.

$\frac{\sin2A}{1+\cos2A}=\tan A$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

tan A = 2 und A ist spitz. Bestimme tan 2A.

Ergebnis anzeigen

−4/3

$\tan2A=-\tfrac{4}{3}$
Löse cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 für 0° ≤ x < 360°.

Ergebnis anzeigen

x = 120°, 180° oder 240°

$x=120^{\circ},\ 180^{\circ},\ 240^{\circ}$
Löse sin 2x = sin x für 0° ≤ x < 360°.

Ergebnis anzeigen

x = 0°, 60°, 180° oder 300°

$x=0^{\circ},\ 60^{\circ},\ 180^{\circ},\ 300^{\circ}$
Bestimme sin 22,5° exakt.

Ergebnis anzeigen

√(2 − √2)/2 ≈ 0,3827

$\sin22{.}5^{\circ}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
cos A = 1/3 und A liegt in Quadrant IV. Bestimme sin 2A und cos 2A exakt.

Ergebnis anzeigen

sin 2A = −4√2/9 ≈ −0,6285, cos 2A = −7/9

$\sin2A=-\tfrac{4\sqrt{2}}{9},\quad\cos2A=-\tfrac{7}{9}$
Zeige, dass cos 3A = 4cos³A − 3cos A gilt.

Ergebnis anzeigen

Entwickle cos(2A + A) = cos 2A cos A − sin 2A sin A, setze 2cos²A − 1 sowie 2 sin A cos A ein und nutze schließlich sin²A = 1 − cos²A.

$\cos3A=4\cos^{3}A-3\cos A$

Die Doppelwinkelformeln sind ein Dreieck im Halbkreis

Verbinde die beiden Endpunkte eines Durchmessers, W und E, mit dem Punkt P bei 2A auf dem Kreis. Die Sehne WP schließt bei W den Winkel A ein, halb so groß wie der Mittelpunktswinkel: nach dem Kreiswinkelsatz ist der Umfangswinkel über demselben Bogen halb so groß wie der Zentriwinkel (Elemente III.20). Nach dem Satz des Thales (III.31) ist das Dreieck WPE bei P rechtwinklig. Seine Hypotenuse ist der Durchmesser mit der Länge 2; daraus folgt WP = 2 cos A und EP = 2 sin A. Miss nun nach. Die Höhe von P ist WP · sin A, also 2 sin A cos A – und zugleich schlicht sin 2A. Der Fußpunkt F teilt den Durchmesser in WF = WP · cos A = 2cos²A und FE = EP · sin A = 2sin²A. Diese beiden Teilstücke entsprechen genau 1 + cos 2A und 1 − cos 2A. Das Verhältnis der Höhe zu WF ergibt tan A = sin 2A/(1 + cos 2A): die Halbwinkelformel, ganz ohne eine einzige Zeile Algebra. Wird A größer als 90°, weist die Sehne WP in die Gegenrichtung und 2 cos A wird negativ. Weil jedes Produkt sein Vorzeichen behält, gilt jede dieser Beziehungen für jeden beliebigen Winkel.

Wer durch cos x teilt, wirft die Hälfte der Lösungen weg

Klick auf sin 2x = cos x. Als 2 sin x cos x = cos x geschrieben, verleitet die Gleichung dazu, cos x einfach zu kürzen. Aus 2 sin x = 1 folgen dann 30° und 150°. Doch diese Seite findet vier Lösungen: auch 90° und 270°, denn dort ist cos x = 0 und beide Seiten verschwinden. Das Kürzen war eine Division durch cos x – erlaubt ist das aber nur dort, wo dieser Wert ungleich null ist. Der Rechenschritt blendet damit genau jene Lösungen aus, die er verliert. Bring stattdessen alles auf eine Seite und klammere den gemeinsamen Faktor aus: cos x(2 sin x − 1) = 0. Ein Produkt ist null, sobald einer der Faktoren null wird. Dieselbe Falle lauert bei sin 2x = sin x, wo sonst 0° und 180° verloren gingen.

Der Mittelwert von sin²x ist ein Halb – warum die Netzspannung unter ihrem Spitzenwert liegt

Lies cos 2x = 1 − 2sin²x rückwärts: sin²x = 1/2 − (1/2) cos 2x. Das Quadrat einer Sinusschwingung ist wieder eine Welle – mit doppelter Frequenz und halber Amplitude, angehoben um 1/2. Über jede ganzzahlige Anzahl von Perioden mittelt sich der Kosinusanteil zu null heraus; der Mittelwert von sin²x ist somit exakt 1/2. Ein Widerstand setzt Spannung proportional zu ihrem Quadrat in Wärme um. Eine Wechselspannung V₀ sin ωt heizt ihn daher genau wie eine Gleichspannung von V₀/√2. Dieses konstante Äquivalent ist der Effektivwert, und exakt diese Angabe steht auf dem Typenschild: Die europäische Netzspannung ist mit 230 V deklariert und schwingt fünfzigmal in der Sekunde auf 230√2 ≈ 325 V hinauf und zurück.

Lernpfad

Trigonometrische Identitäten und Gleichungen

Quellen (3)

The double-angle formulae with all three forms of cos 2θ, the half-angle formulae with their quadrant sign and tan(α/2) = sin α/(1 + cos α), and the power-reducing formulae: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.3, “Double-Angle, Half-Angle, and Reduction Formulas”.
Insight block 1: the angle at the centre is double the angle at the circumference on the same arc, which puts A at W when 2A is at the centre: Euclid, Elements, Book III, Proposition 20. D. E. Joyce (ed.), Clark University.
Insight block 1: the angle in a semicircle is a right angle, so WPE is right-angled at P: Euclid, Elements, Book III, Proposition 31. D. E. Joyce (ed.), Clark University.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.

Doppelwinkelformeln

Woher die Formel kommt

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Die Doppelwinkelformeln sind ein Dreieck im Halbkreis 🖖

Wer durch cos x teilt, wirft die Hälfte der Lösungen weg 🖖

Der Mittelwert von sin²x ist ein Halb – warum die Netzspannung unter ihrem Spitzenwert liegt 🖖

Die Doppelwinkelformeln sind ein Dreieck im Halbkreis

Wer durch cos x teilt, wirft die Hälfte der Lösungen weg

Der Mittelwert von sin²x ist ein Halb – warum die Netzspannung unter ihrem Spitzenwert liegt