Zahlen und Algebra
L1: Grundlagen
MATHDrei Werkzeuge für eine Lektion: Eine Maßzahl ist eine verlustbehaftete Kompression, und wie du komprimierst, bestimmt, worüber dieser Wert ehrliche Auskunft gibt. Jeder Schritt reicht dem nächsten eine spezifische Grenze einzelner Maßzahlen weiter.
L1: Grundlagen
MATHDrei Werkzeuge und ein Argument: Manche Zahlen lassen sich nicht zu Ende schreiben. Die beste kurze Fassung einer solchen Zahl kann man suchen statt raten, und das Abschneiden kostet etwas, das du messen kannst.
L1: Grundlagen
MATHSechs Werkzeuge, die das Lösen von Gleichungen in genau der Reihenfolge aufbauen, in der die Konzepte tatsächlich voneinander abhängen. Du beginnst damit, was ein Minuszeichen bewirkt, und gelangst schließlich zu einem systematischen Verfahren für drei Unbekannte gleichzeitig. Jeder Schritt gibt dem nächsten etwas Konkretes an die Hand: eine Umformung, eine Einschränkung für eine Umformung oder einen Test, ob eine Umformung zulässig war.
L2: Schule
MATHDrei Werkzeuge, eine Gewohnheit: Wenn sich Größen um Faktoren statt um Differenzen unterscheiden, hör auf zu zählen. Zähle stattdessen Exponenten. Das erste baut den Maßstab, das zweite schreitet ihn ab und das dritte liefert dir eine Zahl, ganz ohne Daten.
L2: Schule
MATHVier Werkzeuge, und jedes davon existiert, weil das vorherige an seine Grenzen stößt. Faktorisieren klappt bei glatten Nullstellen, die Formel hilft, wenn sie es nicht sind, Polynomdivision funktioniert jenseits des zweiten Grades, und eine gebrochenrationale Funktion ist das, was zwei Polynome tun, wenn eines über dem anderen steht.
L2: Schule
MATHDrei Seiten darüber, wie du Funktionen nacheinander anwendest. Einen Graphen zu verschieben und zu strecken ist bereits genau das: Die Klammern legen die Reihenfolge fest. Allgemein zeigt die Verkettung, dass die Reihenfolge das Ergebnis verändert. Die Umkehrfunktion ist jene Funktion, die mit f verkettet wieder x liefert; ihr Graph ist die Spiegelung von f an der Geraden y = x.
Geometrie und Trigonometrie
L1: Grundlagen
MATHSechs Werkzeuge, die die grundlegenden Sätze zu Dreieck und Kreis in genau der Reihenfolge herleiten, in der sie aufeinander aufbauen. Hier wird nichts einfach behauptet: Jede Regel ergibt sich direkt aus der vorangegangenen. Am Ende dieses Weges überträgst du die erste Regel wieder in ein Koordinatensystem, wo sie zur Abstandsformel wird.
L2: Schule
MATHEine Identität gilt für jeden Winkel, für den beide Seiten definiert sind. Genau das erlaubt dir, die in einer Aufgabe gegebene Funktion gegen die gesuchte einzutauschen. Das Kapitel beginnt mit den Kehrwertfunktionen und den drei pythagoreischen Identitäten, führt über die Arkusfunktionen deines Taschenrechners zu den ersten Gleichungen, erschließt Additions- wie Doppelwinkelsätze und die harmonische Form. Am Ende beweist du Identitäten, Zeile für Zeile.
L2: Schule
MATHDrei Werkzeuge. Der entscheidende Punkt dieser Abfolge ist, dass es sich nicht um drei Themen handelt. Eine Sinuskurve ist das, was du siehst, wenn du eine gleichförmige Kreisbewegung von der Seite betrachtest, und ein schwingendes Pendel zeigt dir dasselbe Bild, wenn die Schwerkraft für die Drehung sorgt.
Analysis
L2: Schule
MATHFünf Werkzeuge, ein Gedanke: Vergrößerst du eine glatte Kurve stark genug, ist sie von einer Geraden nicht zu unterscheiden. Genau diese Tatsache misst die Ableitung. Die Taylorreihe denkt sie weiter. Der Gradient wendet sie in mehr als einer Richtung an. Der Weg beginnt mit dem Winkelmaß, das die Rechnungen glatt aufgehen lässt, und endet an einem Hang, an dem der steilste Anstieg jede Richtung übertrifft, die du tatsächlich gemessen hast.
L2: Schule
MATHEine Ableitung ist eine Änderungsrate. Jede Ableitungsregel zeigt, wie solche Raten zusammenwirken: im Produkt, wenn eine Funktion in einer anderen steckt, oder in einer Gleichung, die niemand nach y aufgelöst hat. Die letzten beiden Seiten wenden diese Regeln auf die Fragen an, die dir im Kurs tatsächlich begegnen: Wie schnell ändert sich etwas in einem einzigen Augenblick? Und welche Wahl ist die beste?
L3: Grundstudium
MATHAm Vorzeichen von f′ erkennst du, wo ein Graph steigt und fällt, an dem von f″ seine Krümmung. Mathematisch abgesichert werden solche Folgerungen erst durch den Mittelwertsatz. Mit ihm beginnt dieses Kapitel, bevor du dir die Kriterien der ersten und zweiten Ableitung erarbeitest und lernst, f direkt aus dem Graphen von f′ abzulesen.
L3: Grundstudium
MATHEine unendliche Summe ist der Grenzwert endlicher Summen. Dieser Wert hängt von Dingen ab, die bei endlichen Summen keine Rolle spielen: der Reihenfolge der Glieder und der Position der nächsten Singularität. Das gilt selbst dann, wenn diese abseits der reellen Achse liegt.
L3: Grundstudium
MATHDas Newton-Verfahren, die Simpsonregel und das Euler-Verfahren werden alle vom selben Motor angetrieben: In einem hinreichend kleinen Intervall betrachtest du die Kurve als Gerade. Jedes besitzt folglich ein Versagen, das kein Programmfehler ist. Welches Versagen gehört zu welcher Methode? Genau das ist das nützliche Wissen. Hier übergibt jeder Schritt dem nächsten einen benannten Fehler und die Rate, mit der dieser schrumpft.
L3: Grundstudium
MATHAbleiten ist ein Verfahren, Integrieren eine Suche. Die Trainer in diesem Kapitel bewerten eine Antwort deshalb auf genau eine Art: leite sie ab und vergleiche sie mit dem Integranden. Substitution und partielle Integration sind schlicht die Ketten- und Produktregel rückwärts. Die Partialbruchzerlegung deckt die einzige große Funktionsfamilie ab, in der immer eine elementare Lösung existiert. Die letzte Seite beweist, dass für e⁻ˣ² gar keine existiert.
L3: Grundstudium
MATHEin Integral summiert auf: Fläche, Wegstrecke, Volumen. Dieses Kapitel beginnt mit dem Satz, der dieses Aufsummieren an die momentane Änderungsrate knüpft. Von dort aus erschließt du dir Flächen zwischen Kurven, Bewegungsabläufe und Volumina, die du über Querschnitte bestimmst.
L3: Grundstudium
MATHEine Differentialgleichung beschreibt, wie schnell sich etwas ändert, nie den Zustand selbst. Das Richtungsfeld zeichnet genau diese Aussage und zeigt eine ganze Schar von Lösungen, genau eine durch jeden Anfangspunkt. Die Exponentialfunktion ist jene Schar, die du in einer einzigen Zeile löst. Die Laplace-Transformation wiederum verwandelt ihre Rate in einen Punkt in der s-Ebene, an dem sich der Ausgang ganz ohne Lösen ablesen lässt.
Lineare Algebra und Daten
L3: Grundstudium
MATHSieben Werkzeuge, die ein Bild aus verstreuten Punkten in eine Zahl verwandeln, die du verteidigen kannst. Danach fragen wir, wie man diese Zahl findet und wie viel Vertrauen sie verdient. Was passiert, wenn dir niemand die richtige Antwort verrät? Am Ende klären wir, wie man eine Vorhersage bewertet, die immer nur eine Wahrscheinlichkeit war. Der Weg dorthin führt über die Geometrie und nicht die Statistik. Denn erst die Geometrie macht die Statistik ehrlich.
L3: Grundstudium
MATHEine Frage, viermal mit immer weniger Anhaltspunkten gestellt: Was macht diese Matrix eigentlich mit dem Raum? Die Spalten verraten es dir unmittelbar. Die Eigenvektoren beantworten sie für die Richtungen, die erhalten bleiben. Gibt es keine, liefert die SVD die Antwort. Die PCA wendet dieselbe Maschinerie auf eine Wolke von Messwerten an.
Beweisen, Abzählen, Spiele
L2: Schule
MATHDas Geburtstagsproblem wirkt wie ein Partytrick, ist aber in Wahrheit das Standardwerkzeug zur Analyse von Kollisionen. Im zweiten Schritt begegnen Informatiker ihm erneut, unter einem anderen Namen.
L2: Schule
MATHEin Beweis ist eine Begründung, die jeden Fall abdeckt, auch jene, die nie jemand überprüfen wird. Diese Seiten erarbeiten eine solche Begründung auf vier Wegen: durch vollständige Induktion, durch das Verteilen in Schubladen, durch eine Größe, die kein Zug verändern kann, und durch Paarbildung. Die erste Methode beginnt mit einer Formel, die 40-mal in Folge eine Primzahl liefert und dann 41 × 41 ergibt.
L3: Grundstudium
MATHVier Spiele und eine Operation: Finde den Spielzug, der die passende Antwort auf alles liefert, was dein Gegenüber tun könnte. Im ersten Spiel entscheidet er ganz allein. Im zweiten musst du eine ganze Matrix absuchen, um ihn zu finden, und im dritten hat er seinen Preis. Im vierten berechnet ihn absolut niemand, und die Population findet die Antwort trotzdem.
Geld und Geldanlage
L2: Schule
MATHVier Werkzeuge für eine zentrale Idee: Geld ist zu verschiedenen Zeiten unterschiedlich viel wert, und eine wiederkehrende Zahlung lässt sich in einer einzigen Formel zusammenfassen. Jeder Schritt gibt hier etwas ganz Bestimmtes an den nächsten weiter.
Biologie & Chemie
L2: Schule
GEOAuf einer gekrümmten Fläche gelten die auf dem Papier bewiesenen Regeln nicht mehr, und das Ausmaß ihrer Abweichung misst die Krümmung von innen heraus. Ein gerader Weg ändert seinen Kompasskurs, ein ohne Drehung mitgeführter Pfeil kommt gedreht zurück, ein Kreis erhält die falsche Länge und in der hyperbolischen Ebene kann kein Dreieck mehr als π fassen.
Wellen, Licht und Quanten
L3: Grundstudium
PHYDrei Gleichungen, die auf einem einzigen Operator, dem Laplace-Operator, aufbauen und sich nur darin unterscheiden, was die Zeit bewirkt. Wärme vergisst, und zwar die schärfsten Details zuerst. Eine Welle trägt eine Störung fort und auf einer Fläche hört sie nie ganz auf, anzukommen. In der Laplace-Gleichung kommt die Zeit gar nicht vor. Sie ist der Zustand, auf den die Wärme durch ihr Vergessen zusteuert: Jeder Punkt entspricht genau dem Durchschnitt seiner Nachbarn.
An antiderivative with no formula, and an area of exactly ln 2
The rules of the integration chapter get nowhere with (x − 1)/ln x. The area under it from 0 to 1 is still exactly ln 2, and the route there is three lines long once you give the integral a dial to turn.
Every rule you memorised in algebra is about the same one move
There are two moves in school algebra: add something to both sides, or multiply both sides by something. Adding has never needed a warning, and every rule you had to memorise is about the other one.
The fraction for π that nothing smaller has beaten in 1,500 years
Zu Chongzhi wrote down 355/113 in the fifth century. It is still the best fraction for π that anyone can reach with three digits over three, and the reason is a single large number sitting in π’s continued fraction.
Two countries measured the same border and disagreed by 227 kilometres
Spain put its border with Portugal at 1,214 km. Portugal put the same border at 987 km. Both had measured carefully; they had used different rulers, and a shorter ruler always finds more coast.
π is in the bell curve, and there is no circle anywhere in it
Drop needles on floorboards and you can measure π. Collide two blocks and you can count it. Neither has a circle anywhere in it. π is really about rotation and the sum of two squares; circles are just where most of us meet it first.
You typed one digit. The answer came back with six.
A calculator cannot be more precise than what you fed it, and none of them say so. Here is what the extra digits actually mean, why a reciprocal is the worst place to forget it, and why this site prints them anyway.
Halving the step size should halve the error. The tool says 1.73.
"First order" is a promise about the limit, not about the step size you are running. The gap between the promise and the measurement is itself first order, which is why an error estimate built on the promise is wrong in a predictable direction.
Newton's method can double its mistake every step, and the answer was 0.01 away
The standard way to solve an equation numerically converges so fast it feels like cheating. Give it the cube root and it walks away from the answer, doubling the distance every step, forever.
Primes thin out at a rate you can name
The density of primes near a number n is about one in ln n. That one fact tells you how many primes lie below any bound, why they never run out, and how long a computer must search to find a 1024-bit one.
Twice as tall is four times the paint, and eight times the concrete
Lengths scale as k, areas as k² and volumes as k³. Getting this wrong is probably the most expensive arithmetic mistake ordinary people make.
The rule that was the ceiling of arithmetic for a thousand years
Cross-multiplication is usually dismissed as a procedural trick. It was written down in 628 CE, carried across three continents, and was the end of the mathematics syllabus for most people who ever received one.
Every football has twelve pentagons, and it could not have any other number
Any closed cage of pentagons and hexagons with three faces at each corner has exactly twelve pentagons. Always twelve, whatever size the ball, and the proof never counts a single one.
Pythagoras is not a fact about triangles
a² + b² = c² fails on a sphere and fails the other way in hyperbolic space. What the theorem actually asserts is that the surface you are standing on is flat.
