Euler-Verfahren Visualizer

Ändere die Schrittweite und beobachte, wie sich der globale Fehler ansammelt

Rechenbeispiel — Euler-Verfahren Visualizer

Euler y(xn)	7.000266
Exakt y(xn)	7.000671
Absoluter globaler Fehler	0.000405
Fehler / Schrittweite	0.002025
Endpunktfehler mit h/2	0.000234
Fehlerverhältnis	1.731285
Euler-Multiplikator	0.8

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Den Schritt zu halbieren halbiert nur den Fehler

Euler geht auf der Tangente einen Schritt vorwärts: y_n+1 = y_n + h · f(x_n, y_n). Bei jedem Schritt entsteht ein Fehler von ungefähr h²/2 mal der zweiten Ableitung der Lösung. Das ist wenig. Verkleinerst du jedoch h, steigt zugleich die Zahl der Schritte: Auf einem festen Intervall sind es 1/h. So summieren sich die Fehler der Größenordnung h² zu einem Gesamtfehler, der proportional zu h ist, nicht zu h². Genau das bedeutet Konvergenz erster Ordnung und bestimmt den Preis der Genauigkeit: Für jede weitere korrekte Dezimalstelle ist zehnmal so viel Rechenarbeit nötig.

Der Steigung Schritt für Schritt folgen

Das Euler-Verfahren ist die einfachste vernünftige Näherung: Du gehst von deinem aktuellen Punkt ein kurzes Stück h in die Richtung, die die Differentialgleichung vorgibt. Dann hältst du an und bestimmst die Richtung neu. Die exakte Kurve krümmt sich währenddessen weiter; der gerade Schritt berücksichtigt diese Krümmung nicht und weicht deshalb ab. Die Richtung der Abweichung ist immer dieselbe: unterhalb einer nach oben gekrümmten Kurve, oberhalb einer nach unten gekrümmten. Das gilt für alle sieben Vorgaben hier. Das Feld zeigt den Endpunktfehler zweimal an, für h und für h/2. So kannst du ihr Verhältnis direkt ablesen.

Wo sich die Zahl e in Euler versteckt

Wendet man das Euler-Verfahren auf die Gleichung y' = y mit Startwert y = 1 an, multipliziert jeder Schritt einfach mit (1 + h). Nimm N Schritte der Größe h = 1/N über das Intervall [0, 1], und das Ergebnis ist genau (1 + 1/N)^N — die Formel für den Zinseszins. Mit wachsendem N konvergiert sie gegen e ≈ 2.71828, sodass Eulers grobe geradlinige Schritte still die kontinuierliche Verzinsung und die Definition der Exponentialfunktion nachbilden.

EULER-VERFAHREN — DIE SCHRITTWEITE ENTSCHEIDET, OB DAS ERGEBNIS ETWAS BEDEUTET

In welchem Schrittweiten-Fall bist du?

Euler nimmt die Steigung dort, wo er gerade steht, und läuft eine Strecke h geradeaus, bevor er wieder hinsieht: yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ). Alles, was schiefgeht, hängt an h. Klein genug, und der Fehler schrumpft proportional; zu groß, und die Antwort schwingt oder explodiert; und kein h schützt dich vor einer Lösung, die ins Unendliche läuft, während die Zahlen auf dem Schirm ruhig bleiben.

Vernünftige Schrittweite — der Fehler ist da, aber klein y_n+1 = y_n + h f(x_n, y_n)

Schrittweite zu groß — die Antwort schwingt um die Wahrheit |1 + hλ| > 1

Feine Schrittweite — du zahlst mit Arbeit, nicht mit Genauigkeit ε ∝ h

Die exakte Lösung entweicht ins Unendliche — und Euler merkt es nicht y′ = y² ⇒ y → ∞, x < ∞

Vernünftige Schrittweite — der Fehler ist da, aber klein

Was du weißt: Eine glatte, stabile Gleichung mit einer Schrittweite deutlich innerhalb der Stabilitätsgrenze. Die numerische Kurve folgt der exakten und hinkt ihr leicht hinterher.

Schritt: y_n+1 = y_n + h f(x_n, y_n)

Rechenbeispiel: y′ = x − y ab y(0) = 1 mit h = 0,2 → bei x = 2 liefert Euler 1,2147 gegen exakt 1,2707, ein Fehler von 0,056

Diesen Fall öffnen: linear, stabil

Vernünftige Schrittweite — der Fehler ist da, aber klein. Die geraden Schritte bleiben nah an der wahren Kurve und weichen konsequent zur selben Seite ab. Eine glatte, stabile Gleichung mit einer Schrittweite deutlich innerhalb der Stabilitätsgrenze. Die numerische Kurve folgt der exakten und hinkt ihr leicht hinterher. — Die geraden Schritte bleiben nah an der wahren Kurve und weichen konsequent zur selben Seite ab.

Schrittweite zu groß — die Antwort schwingt um die Wahrheit

Was du weißt: Eine abklingende Gleichung, bei der h den Punkt überschritten hat, ab dem ein Schritt über die Ruhelage hinausschießt. Die exakte Lösung wechselt nie das Vorzeichen, die numerische schon.

Schritt: |1 + hλ| > 1

Rechenbeispiel: y′ = −2y mit h = 0,6 → 1, dann −0,2; 0,04; −0,008: Schon der erste Schritt springt an der Null vorbei, während der exakte Wert bei x = 0,6 bei 0,301 liegt

Diesen Fall öffnen: Zerfall, grobes h

Schrittweite zu groß — die Antwort schwingt um die Wahrheit. Ein Schritt schießt über die Achse hinaus, die Zahlen kippen also das Vorzeichen, die wahre Lösung nie. Eine abklingende Gleichung, bei der h den Punkt überschritten hat, ab dem ein Schritt über die Ruhelage hinausschießt. Die exakte Lösung wechselt nie das Vorzeichen, die numerische schon. — Ein Schritt schießt über die Achse hinaus, die Zahlen kippen also das Vorzeichen, die wahre Lösung nie.

Feine Schrittweite — du zahlst mit Arbeit, nicht mit Genauigkeit

Was du weißt: Dieselbe Gleichung mit deutlich kleinerer Schrittweite. Der Fehler fällt proportional zu h, die Zahl der Schritte steigt umgekehrt proportional.

Schritt: ε ∝ h

Rechenbeispiel: y′ = −2y bei x = 0,6: mit h = 0,1 beträgt der Fehler 0,039, mit h = 0,05 nur 0,019 — halbe Schrittweite, halber Fehler, doppelt so viele Schritte

Diesen Fall öffnen: Zerfall, feines h

Feine Schrittweite — du zahlst mit Arbeit, nicht mit Genauigkeit. Halbe Schrittweite halbiert den Abstand zur exakten Kurve und verdoppelt die Schrittzahl. Dieselbe Gleichung mit deutlich kleinerer Schrittweite. Der Fehler fällt proportional zu h, die Zahl der Schritte steigt umgekehrt proportional. — Halbe Schrittweite halbiert den Abstand zur exakten Kurve und verdoppelt die Schrittzahl.

Die exakte Lösung entweicht ins Unendliche — und Euler merkt es nicht

Was du weißt: Eine nichtlineare Gleichung, deren wahre Lösung bei endlichem x eine senkrechte Asymptote hat. Die numerische Lösung segelt daran vorbei und liefert weiter ganz gewöhnliche Zahlen.

Schritt: y′ = y² ⇒ y → ∞, x < ∞

Rechenbeispiel: y′ = y² ab y(0) = 0,18 explodiert bei x = 1/0,18 = 5,56, doch Euler meldet mit h = 0,18 bei x = 4,32 gemütliche 0,68, wo der wahre Wert schon 0,81 beträgt

Diesen Fall öffnen: quadratisches Wachstum

Die exakte Lösung entweicht ins Unendliche — und Euler merkt es nicht. Die wahre Kurve wird bei endlichem x senkrecht, die numerische spaziert daran vorbei. Eine nichtlineare Gleichung, deren wahre Lösung bei endlichem x eine senkrechte Asymptote hat. Die numerische Lösung segelt daran vorbei und liefert weiter ganz gewöhnliche Zahlen. — Die wahre Kurve wird bei endlichem x senkrecht, die numerische spaziert daran vorbei.

Quellen (1)

The method, as Euler set it out: L. Euler, Institutiones calculi integralis, Volume I. Academia Imperialis Scientiarum, Saint Petersburg, 1768.

Häufiger Denkfehler

Mehr Schritte garantieren allein noch keine Genauigkeit. Bleibt h für die Krümmung weiterhin zu groß, bleibt Euler verzerrt.

Aufgabe vollständig gelöst

Eulers Antwort bei x = 8 für y′ = x − y 5 Schritte
Schreiben Sie Eulers Antwort bei x = 8 in geschlossener Form auf, ohne einen einzigen Schritt auszuführen, und erklären Sie dann, warum die Halbierung von h den Fehler nicht halbiert. Dies ist y′ = x − y mit Startwert (0, 1), h = 0,2 und 40 Schritten.
1. Beginnen Sie mit der Antwort, die Euler anstrebt. Die Gleichung ist linear, x − 1 ist eine partikuläre Lösung, und die Anfangsbedingung legt den Koeffizienten des abklingenden Teils auf 2 fest.
  
  $y'=x-y,\ y(0)=1\ \Longrightarrow\ y=x-1+2e^{-x},\qquad y(8)=7+2e^{-8}=7.000671$
2. Eulers Regel für diese Gleichung ist kein allgemeines nichtlineares Durcheinander — sie ist eine affine Rekursion. Und dasselbe x − 1, das die Differentialgleichung gelöst hat, löst die Rekursion exakt, Schritt für Schritt. Euler trifft den linearen Teil der Antwort vollkommen exakt.
  
  $y_{n+1}=y_n+h(x_n-y_n)=(1-h)y_n+hx_n,\qquad y_n=x_n-1\ \Longrightarrow\ y_{n+1}=x_n-1+h=x_{n+1}-1$
3. Der gesamte Fehler steckt also in dem, was übrig bleibt, und was übrig bleibt, ist eine geometrische Folge mit dem Quotienten 1 − h. Vierzig Faktoren von 0,8 landen auf dem Endpunkt des Bedienfelds, ohne dass überhaupt ein Schritt ausgeführt wurde.
  
  $y_n=x_n-1+2(1-h)^n\quad\Longrightarrow\quad y_{40}=7+2(0.8)^{40}=7+2.658456\times10^{-4}=7.000266$
4. Stellen Sie nun die beiden abklingenden Teile nebeneinander: Der wahre ist e^−x, Eulers ist (1 − h)^x/h. Beide sind Exponentialfunktionen in x, und δ ist die gesamte Differenz zwischen ihren Raten. Seine Reihe beginnt bei xh/2 — dieses führende h ist der gesamte Inhalt des Begriffs “erster Ordnung”.
  
  $(1-h)^{x/h}=e^{-x-\delta},\qquad \delta=x\left(\frac{-\ln(1-h)}{h}-1\right)=\frac{xh}{2}+\frac{xh^{2}}{3}+\cdots=0.925742$
5. Der Fehler ist das, was übrig bleibt, wenn die beiden Exponentialfunktionen subtrahiert werden. Erste Ordnung sagt voraus, dass die Halbierung von h ihn halbiert, sodass das Verhältnis 2 betragen sollte.
  
  $E_h=2e^{-x}\left(1-e^{-\delta}\right):\ \ E_{0.2}=0.000405,\ \ E_{0.1}=0.000234,\qquad \frac{E_{0.2}}{E_{0.1}}=\frac{1-e^{-0.925742}}{1-e^{-0.428841}}=\frac{0.603763}{0.348737}=1.731285$
Antwort

Euler endet bei 7,000266 gegenüber einem exakten Wert von 7,000671, was einem globalen Fehler von 0,000405 entspricht; halbiert man die Schrittweite, fällt er nur auf 0,000234, ein Verhältnis von 1,731285, wo erste Ordnung 2 versprochen hatte. Das Versprechen ist nicht gebrochen — es hat noch gar nicht begonnen. Es setzt voraus, dass δ ≈ xh/2 klein ist, und bei x = 8 mit h = 0,2 beträgt diese Zahl 0,8, sodass der lineare Term des Fehlers noch immer mit jedem dahinterstehenden Term konkurriert; um das beobachtete Verhältnis auf 1,9933 anzuheben, benötigt man h = 0,005, was 1600 Schritten über dieselben acht Einheiten entspricht. Die geschlossene Form gibt die präzisere Interpretation preis: Euler approximiert diese Lösung nicht, sondern löst eine andere Gleichung exakt, wobei ein geometrisches Abklingen von 0,8ⁿ an die Stelle von e^−x tritt — und 0,8 ist der Multiplikator 1 + hλ, den das Bedienfeld bereits anzeigt. Allein an diesem abklingenden Teil gemessen liegt Euler um 60% falsch. Der globale Fehler sieht nur deshalb winzig aus, weil der Teil, den er falsch wiedergibt, nahezu abgeklungen ist, bis x 8 erreicht.

$\frac{E_h}{E_{h/2}}=\frac{1-e^{-\delta_h}}{1-e^{-\delta_{h/2}}}\longrightarrow2\quad(\delta\ll1),\qquad \delta_h\approx\frac{xh}{2}=0.8$

Lernpfad

Drei numerische Verfahren und wo sie an ihre Grenzen stoßen

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.