Implizites Differenzieren

Manche Kurven lassen sich nicht nach y auflösen und besitzen dennoch an fast jedem ihrer Punkte eine Steigung. Wähle eine Kurve und ein x: Die Seite ermittelt die Punkte über diesem x, zeichnet die Tangente an den von dir gewählten Punkt und berechnet dort −F_x/F_y. Geh anschließend die Ableitung Schritt für Schritt durch und vergleiche jede Zeile mit den Zahlen.

Implizites Differenzieren	$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\qquad F_y\neq0$

Rechenbeispiel — Implizites Differenzieren

Gewählter Punkt	(1; 2,3615)
∂F/∂x im Punkt	−11,1688
∂F/∂y im Punkt	10,7296
Steigung an dieser Stelle	1,0409
Sekante durch benachbarte Punkte desselben Asts	1,0409
Weitere Punkte über diesem x	0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Implizites Differenzieren

Auch wenn sich eine Kurve F(x, y) = 0 nicht nach y auflösen lässt, besitzt sie an jedem glatten Punkt eine Steigung: dy/dx = −F_x/F_y, eine Formel in x und y zugleich. Wo F_y = 0 ist, versagt sie.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

F_x: ∂F/∂x, die partielle Ableitung von F nach x bei festgehaltenem y
F_y: ∂F/∂y, die partielle Ableitung von F nach y bei festgehaltenem x; wo sie 0 ist, liefert die Steigungsformel keinen Wert

Woher die Formel kommt

Entlang der Kurve ableiten. Fasse y als Funktion von x auf und leite F(x, y(x)) = 0 ab. Terme mit x leitest du wie gewohnt ab; jeder y-Term erhält nach der Kettenregel einen Faktor y′. Die beiden Teile sind F_x und F_y·y′, und zusammen ergeben sie 0.
$\frac{d}{dx}F\bigl(x,y(x)\bigr)=F_x+F_y\,y'=0$
Nach y′ auflösen. Wo immer F_y nicht null ist, teilst du dadurch. Die Steigung hängt von x und y ab; du brauchst also den ganzen Punkt, nicht bloß x: Zu einem einzelnen x können mehrere Punkte und unterschiedliche Steigungen gehören.
$y'=-\frac{F_x}{F_y}\qquad(F_y\neq0)$
Wo F_y = 0 ist. Hier gibt es nichts, wodurch du teilen könntest. Ist F_x dort nicht null, steht die Tangente senkrecht; ist auch F_x gleich null, liefert die Formel 0/0 und sagt gar nichts aus, so wie am Kreuzungspunkt des Foliums.

Setzt voraus: F besitzt in einer Umgebung des Punktes stetige partielle Ableitungen. Bei den drei vorgegebenen Kurven werden die Punkte über einem x in geschlossener Form ermittelt; bei einer selbst eingegebenen Kurve geschieht das numerisch, indem F entlang y von −8 bis 8 auf Vorzeichenwechsel abgetastet wird. Punkte außerhalb dieses Bereichs oder Stellen, an denen F die 0 nur berührt, ohne sie zu schneiden, können daher übersehen werden.

Aufgaben vollständig gelöst

Die Kreistangente 3 Schritte
Bestimme dy/dx für x² + y² = 25 sowie die Tangente in (3, 4).

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1. Leite beide Seiten ab, wobei y eine Funktion von x ist. Die Kettenregel setzt ein y′ neben die Ableitung von y²:
  
  $2x+2y\,y'=0$
2. Fasse y′ zusammen und löse auf:
  
  $y'=-\frac{x}{y}$
3. In (3, 4), dann die Gerade durch diesen Punkt mit dieser Steigung:
  
  $(3,4):\ y'=-\frac34;\qquad y-4=-\frac34(x-3)\ \Rightarrow\ y=-\frac34x+\frac{25}{4}$
Antwort

y′ = −x/y und die Tangente in (3, 4) lautet y = −3x/4 + 25/4. Die Seite gibt dort F_x = 6 und F_y = 8 aus, und −6/8 ist die Steigung. Die Tangente steht senkrecht auf dem Radius, dessen Steigung 4/3 beträgt.

$y'=-\frac{x}{y},\qquad y=-\frac34x+\frac{25}{4}$
Ein Produkt in der Kurve 3 Schritte
Bestimme dy/dx für x²y + y² = 2 und den Wert in (1, 1).

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1. Leite beide Seiten ab. x²y ist ein Produkt und liefert zwei Summanden; jedes y erhält dabei ein y′:
  
  $2xy+x^{2}y'+2y\,y'=0$
2. Fasse die Terme mit y′ zusammen und löse auf:
  
  $\left(x^{2}+2y\right)y'=-2xy\ \Rightarrow\ y'=-\frac{2xy}{x^{2}+2y}$
3. In (1, 1):
  
  $(1,1):\ y'=-\frac{2}{3}$
Antwort

y′ = −2xy/(x² + 2y) und −2/3 in (1, 1). Auf der Seite: Eigene Kurve, x^2*y + y^2 = 2, x = 1. Sie gibt F_x = 2 und F_y = 3 aus.

$y'=-\frac{2xy}{x^{2}+2y}$
Die dritte Potenz von y 3 Schritte
Bestimme dy/dx für y³ + xy = 2 und den Wert in (1, 1).

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1. Leite beide Seiten ab. Aus y³ wird nach der Kettenregel 3y²y′ und aus xy nach der Produktregel y + xy′:
  
  $3y^{2}y'+y+x\,y'=0$
2. Fasse zusammen und löse auf:
  
  $\left(3y^{2}+x\right)y'=-y\ \Rightarrow\ y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$
3. In (1, 1):
  
  $(1,1):\ y'=-\frac{1}{4}$
Antwort

y′ = −y/(3y² + x) und −1/4 in (1, 1). Diese Kurve löst niemand in einer Zeile nach y auf. Für die Steigung war das auch nie nötig.

$y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$
Wo die geneigte Ellipse waagerecht verläuft 3 Schritte
Bestimme die Punkte auf x² + xy + y² = 3, an denen die Tangente waagerecht ist.

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1. Leite wie zuvor ab und löse nach y′ auf:
  
  $2x+y+x\,y'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$
2. Die Steigung ist dort null, wo der Zähler null ist. Setze also y = −2x wieder in die Kurvengleichung ein:
  
  $y'=0\iff y=-2x:\quad x^{2}-2x^{2}+4x^{2}=3\ \Rightarrow\ x=\pm1$
3. Die beiden Punkte:
  
  $(1,-2)\quad(-1,2)$
Antwort

(1, −2) und (−1, 2). Bei (1, −2) zeigt die Seite F_x = 0 und eine Steigung von 0 an. Ist stattdessen der Nenner null, also bei (2, −1) und (−2, 1), verläuft die Tangente senkrecht.

$(1,-2),\ (-1,2)$
Die Ableitung von ln x 3 Schritte
Bestimme mit eʸ = x die Ableitung von y = ln x.

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1. Leite beide Seiten von eʸ = x ab. Links greift die Kettenregel und liefert eʸ mal y′:
  
  $e^{y}\,y'=1$
2. Löse nach y′ auf und setze eʸ = x noch einmal ein:
  
  $y'=\frac{1}{e^{y}}=\frac{1}{x}$
3. Damit hat y = ln x die Steigung 1/x:
  
  $y=\ln x\ \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x;\qquad x=2:\ \frac12$
Antwort

(ln x)′ = 1/x. Bei x = 2 zeigt die Seite eine Steigung von 0,5 an. Die Herleitung kommt allein mit der Ableitung von eˣ aus. Genau so beweist man die Regel für ln x meist zum ersten Mal.

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$
Die zweite Ableitung des Kreises 3 Schritte
Bestimme y″ für x² + y² = 25 und den Wert bei (3, 4).

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1. Beginne mit der ersten Ableitung:
  
  $y'=-\frac{x}{y}$
2. Leite mit der Quotientenregel nochmals ab. Ersetze dann y′ durch −x/y und nutze x² + y² = 25:
  
  $y''=-\frac{y-x\,y'}{y^{2}}=-\frac{y+\frac{x^{2}}{y}}{y^{2}}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{3}}=-\frac{25}{y^{3}}$
3. Bei (3, 4):
  
  $(3,4):\ y''=-\frac{25}{64}\approx-0{.}3906$
Antwort

y″ = −25/y³ und −25/64 ≈ −0,3906 bei (3, 4). Die zweite Ableitung berechnet die Seite nicht selbst. Sie zeigt aber die Steigung −0,75 an, von der die Rechnung ausgeht.

$y''=-\frac{25}{y^{3}}$
Die Spitze des Foliums 3 Schritte
Bestimme die Steigung von x³ + y³ = 6xy an der Spitze der Schleife bei (3, 3).

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1. Leite beide Seiten ab. Rechts steht ein Produkt:
  
  $3x^{2}+3y^{2}y'=6y+6x\,y'$
2. Fasse die Terme mit y′ zusammen und teile beim Auflösen durch 3:
  
  $\left(3y^{2}-6x\right)y'=6y-3x^{2}\ \Rightarrow\ y'=\frac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}$
3. Bei (3, 3):
  
  $(3,3):\ y'=\frac{6-9}{9-6}=-1$
Antwort

y′ = −1 bei (3, 3). Die Kurve ist symmetrisch zur Geraden y = x. Ihre Tangente muss diese Gerade dort also im rechten Winkel schneiden. Die Seite zeigt F_x = F_y = 9 an.

$y'(3,3)=-1$
Ein Sinus von xy 3 Schritte
Bestimme dy/dx für sin(xy) + y = 1 und den Wert im Punkt (0, 1).

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1. Leite beide Seiten ab. sin(xy) ist eine Verkettung mit einem Produkt im Inneren; das ergibt cos(xy) mal die Ableitung von xy:
  
  $\cos(xy)\cdot\left(y+x\,y'\right)+y'=0$
2. Klammere y′ aus:
  
  $\begin{aligned}\left(x\cos(xy)+1\right)y'&=-y\cos(xy)\\y'&=-\dfrac{y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1}\end{aligned}$
3. Im Punkt (0, 1) ist der Kosinus cos 0 = 1:
  
  $(0,1):\quad y'=-\dfrac{1\cdot\cos0}{0+1}=-1$
Antwort

y′ = −y cos(xy)/(x cos(xy) + 1) und y′ = −1 im Punkt (0, 1). Für den Sinus brauchst du die Kettenregel, für das innere xy die Produktregel. Deshalb taucht y′ an zwei Stellen auf, bevor du es zusammenfasst.

$y'=-\dfrac{y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1},\qquad y'(0,1)=-1$
Wo die gekippte Ellipse senkrecht steht 3 Schritte
Bestimme die Punkte auf x² + xy + y² = 3, an denen die Tangente senkrecht steht, und gib die Gleichungen dieser Tangenten an.

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1. Wie in Aufgabe 4 liefert das Differenzieren die Steigung als Bruch:
  
  $y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$
2. Die Tangente steht dort senkrecht, wo der Nenner null wird, der Zähler aber nicht. Setze x = −2y in die Kurvengleichung ein:
  
  $\begin{aligned}&x+2y=0\ \Rightarrow\ x=-2y\\&4y^{2}-2y^{2}+y^{2}=3\ \Rightarrow\ y=\pm1\end{aligned}$
3. An keinem der beiden Punkte ist der Zähler null. Beide Tangenten stehen also wirklich senkrecht, und keine liefert ein 0/0:
  
  $\begin{aligned}(2,-1):&\quad2x+y=3\neq0\\(-2,1):&\quad2x+y=-3\neq0\end{aligned}$
Antwort

Die Tangente ist senkrecht in (2, −1) sowie in (−2, 1), und die Tangenten sind die Geraden x = 2 und x = −2. Sie berühren die Ellipse an ihrem äußersten rechten und linken Punkt. In Aufgabe 4 ging es um die waagerechten Stellen; hier siehst du, wo sie am breitesten ist.

$(2,-1):\ x=2;\qquad(-2,1):\ x=-2$
Der höchste Punkt des Blatts 4 Schritte
Bestimme den höchsten Punkt des Blatts exakt und entscheide, ob es sich um die Spitze (3, 3) handelt, an der das Blatt auf die Gerade y = x trifft. Klicke auf Höchster Punkt: Bei x = 2,52 zeigt der obere Punkt die Steigung −0,0002, nahe bei 0; ein Schieberegler mit Schrittweite 0,01 kann die exakte Antwort jedoch nur einkreisen.

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1. Die Tangente verläuft waagerecht, wo y′ = 0 ist. Dazu muss der Zähler 2y − x² null werden, während der Nenner ungleich null bleibt:
  
  $y'=\dfrac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}=0\ \Rightarrow\ y=\tfrac{x^{2}}{2}$
2. Setze y = x²/2 in die Kurvengleichung ein. x = 0 ist der Ursprung, an dem die Formel 0/0 ergibt; teile deshalb durch x³:
  
  $x^{3}+\tfrac{x^{6}}{8}=6x\cdot\tfrac{x^{2}}{2}=3x^{3}\ \Rightarrow\ \tfrac{x^{6}}{8}=2x^{3}\ \Rightarrow\ x^{3}=16$
3. Damit ist x die dritte Wurzel aus 16, und der Nenner ist dort nicht 0:
  
  $x=2^{4/3}=2{.}5198,\quad y=\tfrac{x^{2}}{2}=2^{5/3}=3{.}1748,\quad y^{2}-2x=2^{10/3}-2^{7/3}=2^{7/3}=5{.}0397\neq0$
4. An der Spitze (3, 3) beträgt die Steigung −1; links davon steigt das Blatt also noch an:
  
  $y'(3,3)=\dfrac{2\cdot3-3^{2}}{3^{2}-2\cdot3}=\dfrac{-3}{3}=-1,\qquad 3{.}1748-3=0{.}1748$
Antwort

Der höchste Punkt des Blatts ist (2^4/3, 2^5/3) ≈ (2,5198, 3,1748), um 0,1748 höher als die Spitze. Seine Höhe entspricht dem x-Wert der senkrechten Tangente aus Faltstelle: Vertauscht man x und y, bleibt x³ + y³ = 6xy unverändert, während waagerechte Tangenten zu senkrechten werden. Die Seite liest die Steigung an jedem beliebigen Punkt ab; die Gleichung y′ = 0 exakt zu lösen, nimmt sie dir nicht ab.

$\left(2^{4/3},\,2^{5/3}\right)\approx\left(2{.}5198,\ 3{.}1748\right)$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Bestimme dy/dx für xy = 6 und den Wert im Punkt (2, 3).

Ergebnis anzeigen

y′ = −y/x, also −3/2 im Punkt (2, 3)

$y'=-\dfrac{y}{x},\qquad y'(2,3)=-\tfrac32$
Bestimme dy/dx für x² − y² = 16.

Ergebnis anzeigen

y′ = x/y

$y'=\dfrac{x}{y}$
Bestimme die Steigung von x³ + y³ = 9 im Punkt (1, 2).

Ergebnis anzeigen

y′ = −x²/y², also −1/4

$y'=-\dfrac{x^{2}}{y^{2}},\qquad y'(1,2)=-\tfrac14$
Bestimme die Normale an x² + y² = 25 im Punkt (4, −3).

Ergebnis anzeigen

Die Steigung der Tangente ist 4/3, die der Normalen folglich −3/4; die Normale lautet also y = −3x/4. Sie verläuft durch den Mittelpunkt, wie jede Kreisnormale.

$y=-\tfrac34x$
Bestimme mithilfe von tan y = x die Ableitung von y = arctan x.

Ergebnis anzeigen

sec²y · y′ = 1 und sec²y = 1 + tan²y = 1 + x², also y′ = 1/(1 + x²)

$\dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}$
Bestimme y″ für xy = 1 und den Wert im Punkt (1, 1).

Ergebnis anzeigen

y′ = −y/x und y″ = 2y/x², also 2 im Punkt (1, 1)

$y''=\dfrac{2y}{x^{2}},\qquad y''(1,1)=2$

Drei Punkte über x = 1 und drei Steigungen

Klick auf Drei Steigungen: x = 1. Über x = 1 hat das Folium drei Punkte, und durch jeden läuft die Kurve mit einer anderen Steigung. Eine Formel, die allein von x abhängt, liefert für jedes x stets nur einen Wert — die Steigung dieser Kurve kann sie also gar nicht erfassen. Die implizite Ableitung y′ = (2y − x²)/(y² − 2x) verlangt deshalb auch die y-Koordinate des Punktes. Die Tabelle unter der Kurve berechnet sie für alle drei. Descartes, der die Kurve 1638 erstmals beschrieb, dachte noch, das Blatt wiederhole sich in jedem Quadranten wie die Blütenblätter einer Blume. In Wirklichkeit gibt es nur ein einziges Blatt und zwei Ausläufer.

Die Formel versagt genau dort, wo Kurvenpunkte hinzukommen oder verschwinden

Klick auf Wo sie sich faltet. Hier ist der Nenner F_y null und die Tangente steht senkrecht. Links liegen drei Punkte über x; hier fallen die oberen beiden zusammen; rechts bleibt nur einer übrig. Bei allen drei Kurven ändert sich die Anzahl der Punkte über x genau dort, wo F_y = 0 ist, und nirgendwo sonst. Das ist der Satz über implizite Funktionen, am Schieberegler beobachtet: Wo F_y ≠ 0 ist, bildet die Kurve in der Umgebung eines Punktes den Graphen einer einzelnen Funktion. Wo F_y = 0 gilt, garantiert der Satz nichts; bei diesen drei Kurven laufen genau dort zwei dieser Funktionen zusammen.

Im Ursprung liefert die Formel 0/0 – und die Kurve hat zwei Tangenten

Klick auf Kreuzungspunkt. Im Ursprung sind F_x und F_y beide null. Die Formel liefert also 0/0, was mehr ist als nur eine senkrechte Tangente. Die Kurve läuft zweimal durch diesen Punkt: einmal flach am unteren Rand des Blattes, einmal steil quer hindurch. Näherst du dich dem Ursprung über x = 0,1, 0,01, 0,001, zeigt die Tabelle, wie eine Steigung gegen 0 strebt und zwei über alle Grenzen wachsen. Keine einzelne Steigung könnte hier stimmen, und die Zeichenfläche zeichnet beide Tangenten.

Lernpfad

Differenzieren: Wie Änderungsraten ineinandergreifen

Quellen (2)

The method as the page steps it (differentiate both sides with y a function of x, then solve for dy/dx), the circle x² + y² = 25 with its tangent at (3, −4) (Example 3.71), and the folium in the form x³ + y³ − 3xy = 0 with slope −1 at (3/2, 3/2) (Example 3.72), the a = 1 version of the page's tip (3, 3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.8, “Implicit Differentiation”.
That Descartes first discussed the folium in 1638 and believed the leaf was repeated in each quadrant like the petals of a flower (insight block 1), and the asymptote x + y + a = 0 (here a = 2): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Folium of Descartes”, Famous Curves Index, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.