Funciones trigonométricas inversas

Escribe x en forma decimal, como fracción o con una raíz: obtendrás el único ángulo del rango principal cuyo seno, coseno o tangente es x, o bien la explicación de por qué no existe. También puedes arrastrar θ para observar cómo f⁻¹(f(θ)) se repliega dentro de ese rango.

Seno inverso	$\sin^{-1}x\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\quad -1\le x\le 1$
Coseno inverso	$\cos^{-1}x\in[0,\pi],\quad -1\le x\le 1$
Tangente inversa	$\tan^{-1}x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),\quad x\in\mathbb{R}$
Deshacer el seno	$\begin{gathered}\sin\left(\sin^{-1}x\right)=x\\ \sin^{-1}(\sin\theta)=\theta\iff-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\end{gathered}$

Ejemplo resuelto — Funciones trigonométricas inversas

Valor de partida	−0,5
Valor principal, en radianes	−0,5236
En grados	−30°
cos(sin⁻¹ x), según el triángulo	0,866

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Funciones trigonométricas inversas

Las funciones trigonométricas inversas sin⁻¹ x, cos⁻¹ x y tan⁻¹ x (también escritas como arcsin, arccos y arctan) devuelven el único ángulo dentro de un intervalo fijo, llamado valor principal, cuyo seno, coseno o tangente es x. El superíndice −1 indica función inversa, no exponente: sin⁻¹ x no es 1/sin x.

De dónde viene la fórmula

El seno no es inyectivo. Infinitos ángulos comparten un mismo valor de seno; decir «el ángulo cuyo seno vale ½» no define nada concreto hasta fijar un criterio de elección.
$\sin\tfrac{\pi}{6}=\sin\tfrac{5\pi}{6}=\sin\left(-\tfrac{7\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}$
Restringir y luego invertir. Entre −π/2 y π/2 el seno crece de −1 a 1 pasando por cada valor una sola vez, por lo que en ese tramo sí admite inversa. Por la misma razón, el coseno se restringe a 0 ≤ y ≤ π y la tangente a −π/2 < y < π/2.
$y=\sin^{-1}x\iff\sin y=x,\quad-\tfrac{\pi}{2}\le y\le\tfrac{\pi}{2}$
Solo deshace el seno en un sentido. Se cumple sin(sin⁻¹ x) = x para cualquier x admisible, pero sin⁻¹(sin θ) únicamente devuelve θ si este ya se encontraba en el rango. Si no, devuelve el ángulo de dicho rango que tiene ese mismo seno.
$\sin\left(\sin^{-1}x\right)=x\quad(-1\le x\le1),\qquad\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}$
Las composiciones se deducen con un triángulo rectángulo. Tomando y = sin⁻¹ x, resulta sin y = x. El teorema de Pitágoras da el cateto restante y el rango determina su signo.
$\cos\left(\sin^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^{2}}$

Supone: sin⁻¹ y cos⁻¹ solo admiten −1 ≤ x ≤ 1; tan⁻¹ admite cualquier número real.

Problemas resueltos al detalle

Un seno negativo 2 pasos
Calcula el valor exacto de sin⁻¹(−1/2).

Abre este problema en la herramienta
1. El resultado debe pertenecer al rango de sin⁻¹:
  
  $-\tfrac{\pi}{2}\le\sin^{-1}x\le\tfrac{\pi}{2}$
2. El seno de π/6 vale 1/2 y la función seno es impar, así que el ángulo del rango es −π/6:
  
  $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12\ \Rightarrow\ \sin\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac12$
Respuesta

sin⁻¹(−1/2) = −π/6. Aunque 7π/6 y 11π/6 tienen ese mismo seno, quedan fuera del rango.

$\sin^{-1}\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}\approx-0{.}5236$
Un coseno negativo 2 pasos
Calcula el valor exacto de cos⁻¹(−√3/2).

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. El rango va de 0 a π, y el ángulo de referencia es π/6:
  
  $0\le\cos^{-1}x\le\pi,\qquad\cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2}$
2. Dentro del rango, el coseno solo es negativo a partir de π/2, de modo que el ángulo es π − π/6:
  
  $\cos\left(\pi-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt3}{2}$
Respuesta

cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6.

$\cos^{-1}\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)=\tfrac{5\pi}{6}\approx2{.}618$
Una tangente inversa 2 pasos
Calcula el valor exacto de tan⁻¹(−√3).

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. tan⁻¹ admite cualquier número real y devuelve valores estrictamente entre −π/2 y π/2:
  
  $-\tfrac{\pi}{2}<\tan^{-1}x<\tfrac{\pi}{2},\qquad x\in\mathbb{R}$
2. Como tan(π/3) = √3 y la tangente es impar:
  
  $\tan\tfrac{\pi}{3}=\sqrt3\ \Rightarrow\ \tan\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3$
Respuesta

tan⁻¹(−√3) = −π/3.

$\tan^{-1}\left(-\sqrt3\right)=-\tfrac{\pi}{3}\approx-1{.}0472$
Qué inversas existen 2 pasos
¿Cuáles de las expresiones sin⁻¹ 1,5, cos⁻¹(−1,2) y tan⁻¹ 1,5 existen? Calcula las que estén definidas.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. El seno y el coseno son coordenadas de un punto en la circunferencia unidad, por lo que sin⁻¹ y cos⁻¹ solo admiten valores de −1 a 1:
  
  $\sin^{-1}x,\ \cos^{-1}x:\ -1\le x\le1;\qquad1{.}5\notin[-1,1],\quad-1{.}2\notin[-1,1]$
2. La tangente toma cualquier valor real, por lo que tan⁻¹ 1,5 sí existe. Al no ser un ángulo notable, se obtiene con calculadora en radianes:
  
  $\tan^{-1}1{.}5\approx0{.}9828\approx56{.}3099^{\circ}$
Respuesta

Solo existe tan⁻¹ 1,5 ≈ 0,9828, unos 56,3099°. sin⁻¹ 1,5 y cos⁻¹(−1,2) no están definidas.

$\tan^{-1}1{.}5\approx0{.}9828$
Deshacer el seno fuera del rango 2 pasos
Calcula sin⁻¹(sin 5π/6).

Abre este problema en la herramienta
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1. Como 5π/6 queda fuera del rango, el resultado no puede ser 5π/6:
  
  $\tfrac{5\pi}{6}>\tfrac{\pi}{2}$
2. π − θ tiene el mismo seno que θ, y π − 5π/6 sí está dentro del rango:
  
  $\sin\left(\pi-\tfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\tfrac{5\pi}{6},\qquad\pi-\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{\pi}{6}\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$
Respuesta

sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6.

$\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}$
Deshacer el coseno fuera del rango 2 pasos
Calcula cos⁻¹(cos 4π/3).

Abre este problema en la herramienta
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1. 4π/3 es mayor que π, por lo que queda fuera del rango:
  
  $\tfrac{4\pi}{3}>\pi$
2. 2π − θ tiene el mismo coseno que θ porque el coseno es par y periódico con periodo 2π, y 2π − 4π/3 sí pertenece al rango:
  
  $\cos\left(2\pi-\tfrac{4\pi}{3}\right)=\cos\tfrac{4\pi}{3},\qquad2\pi-\tfrac{4\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}\in[0,\pi]$
Respuesta

cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3.

$\cos^{-1}\left(\cos\tfrac{4\pi}{3}\right)=\tfrac{2\pi}{3}$
Una composición con valor negativo 3 pasos
Calcula el valor exacto de tan(cos⁻¹(−3/5)).

Abre este problema en la herramienta
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1. Llamemos y al ángulo. Su coseno vale −3/5, de modo que el rango lo sitúa por encima de π/2:
  
  $y=\cos^{-1}\left(-\tfrac35\right):\quad\cos y=-\tfrac35,\quad\tfrac{\pi}{2}<y\le\pi$
2. Allí el seno es positivo, así que a partir de sin²y + cos²y = 1
  
  $\sin y=+\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac45$
3. y como tan y = sin y / cos y:
  
  $\tan y=\frac{4/5}{-3/5}=-\tfrac43$
Respuesta

tan(cos⁻¹(−3/5)) = −4/3.

$\tan\left(\cos^{-1}\left(-\tfrac35\right)\right)=-\tfrac43\approx-1{.}3333$
Una composición en función de x 3 pasos
Expresa cos(sin⁻¹ x) en función de x y compruébalo para x = −3/5.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Llamemos y al ángulo. El rango de sin⁻¹ mantiene y entre −π/2 y π/2, donde el coseno nunca es negativo:
  
  $y=\sin^{-1}x:\quad\sin y=x,\quad-\tfrac{\pi}{2}\le y\le\tfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \cos y\ge0$
2. por lo que la raíz toma signo positivo:
  
  $\cos y=+\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}}$
3. Para x = −3/5:
  
  $\cos\left(\sin^{-1}\left(-\tfrac35\right)\right)=\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac45$
Respuesta

cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²), sin ±, para todo x entre −1 y 1.

$\cos\left(\sin^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^{2}},\qquad-1\le x\le1$
Una ecuación con funciones inversas 2 pasos
Resuelve cos⁻¹ x = 2π/3, y después cos⁻¹ x = −π/3.

Abre este problema en la herramienta
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1. Tomando el coseno en ambos lados y como 2π/3 está en el rango, esta es la única solución:
  
  $\cos^{-1}x=\tfrac{2\pi}{3}\ \Rightarrow\ x=\cos\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac12$
2. cos⁻¹ nunca devuelve −π/3, que queda fuera de su rango:
  
  $-\tfrac{\pi}{3}\notin[0,\pi]$
Respuesta

x = −1/2 para la primera; la segunda no tiene solución. cos(−π/3) = 1/2, pero cos⁻¹(1/2) vale π/3.

$x=-\tfrac12;\qquad-\tfrac{\pi}{3}\notin[0,\pi]\Rightarrow\varnothing$

Problemas complementarios, solo con la respuesta

Calcula tan⁻¹(tan 2π/3).

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−π/3, que equivale a 2π/3 − π.

$\tan^{-1}\left(\tan\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{\pi}{3}$
Calcula cos⁻¹(cos(−2π/5)).

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2π/5, ya que el coseno es par.

$\cos^{-1}\left(\cos\left(-\tfrac{2\pi}{5}\right)\right)=\tfrac{2\pi}{5}$
Calcula sin⁻¹(sin 4), con 4 en radianes.

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π − 4 ≈ −0,8584, porque 4 está entre π/2 y 3π/2.

$\sin^{-1}(\sin4)=\pi-4\approx-0{.}8584$
Calcula el valor exacto de sin(cos⁻¹(−12/13)).

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5/13: el ángulo supera π/2, donde el seno es positivo.

$\sin\left(\cos^{-1}\left(-\tfrac{12}{13}\right)\right)=\tfrac{5}{13}$
Expresa tan(sin⁻¹ x) en función de x.

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x/√(1 − x²), para −1 < x < 1.

$\tan\left(\sin^{-1}x\right)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad-1<x<1$
Demuestra que sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 para −1 ≤ x ≤ 1 y compruébalo en x = −1/2.

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Si y = sin⁻¹ x, entonces cos(π/2 − y) = sin y = x; como además π/2 − y está entre 0 y π, se deduce que π/2 − y = cos⁻¹ x.

$\sin^{-1}\left(-\tfrac12\right)+\cos^{-1}\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\pi}{2}$

sin⁻¹(sin θ) retrocede en media circunferencia

Pulsa sin⁻¹(sin 150°): el resultado es 30°. Ahora arrastra θ de 90° a 270°. A medida que θ sube, sin⁻¹(sin θ) baja de 90° a −90° con una pendiente exacta de −1, ya que en ese tramo equivale a 180° − θ. El seno alcanza 1 en 90° y cambia de sentido, de modo que cualquier función que pretenda deshacerlo debe retroceder con él. El coseno cambia de sentido en 0° y en 180°; por eso, entre −180° y 180°, cos⁻¹(cos θ) coincide con |θ| y forma una V. La tangente jamás da la vuelta. Al ser siempre creciente entre sus asíntotas, tan⁻¹(tan θ) nunca retrocede: cae 180° cada vez que θ rebasa un múltiplo impar de 90°, sin más rodeos. tan⁻¹(tan 135°) da 135° − 180° = −45°.

cos⁻¹ no puede tomar prestado el rango de sin⁻¹

Entre −90° y 90°, el coseno jamás es negativo y pasa dos veces por cada valor estrictamente comprendido entre 0 y 1: una en θ y otra en −θ. Una función inversa exige justo lo contrario en ambos sentidos: cubrir cada valor de −1 a 1 exactamente una vez. De ahí que cos⁻¹ responda de 0° a 180°, en la mitad superior de la circunferencia, donde el coseno cae sin descanso desde 1 hasta −1. La consecuencia se hace notar con los valores negativos. Mientras que sin⁻¹(−1/2) da −30°, por debajo del eje x, cos⁻¹(−√3/2) vale 150°: un coseno negativo no produce jamás un ángulo negativo, sino uno situado más allá de 90°.

cos(sin⁻¹ x) nunca necesita un ±

Al aplicar la identidad pitagórica, √(1 − sin²θ) solo indicaba el valor absoluto de cos θ, y el cuadrante decidía el signo. Aquí el rango zanja la cuestión de antemano. Como sin⁻¹ x está confinado entre −90° y 90°, donde el coseno jamás es negativo, cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) es válida para todo x de −1 a 1. Si x = −3/5, el resultado es +4/5, aunque el ángulo en sí sea negativo. Pasa exactamente igual con sin(cos⁻¹ x), pues el seno nunca resulta negativo entre 0° y 180°. La tangente sí puede quedar negativa porque el rango de cos⁻¹ incluye el segundo cuadrante, pero tan(cos⁻¹ x) = √(1 − x²)/x traslada ese signo directamente en x y tampoco necesita ningún ±. Pulsa tan(cos⁻¹(−3/5)): verás que el ángulo es 126,8699° y su tangente, −4/3.

Ruta de aprendizaje

Identidades y ecuaciones trigonométricas

Referencias (1)

The domains and principal ranges of sin⁻¹, cos⁻¹ and tan⁻¹, sin⁻¹(sin x) = x only for −π/2 ≤ x ≤ π/2, the warning that sin⁻¹ x is not 1/sin x, and compositions such as cos(sin⁻¹ x) by a right triangle: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 6.3, “Inverse Trigonometric Functions”.

Por el equipo de 7 Raven Room · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.

Funciones trigonométricas inversas

De dónde viene la fórmula

Problemas complementarios, solo con la respuesta

sin⁻¹(sin θ) retrocede en media circunferencia 🖖

cos⁻¹ no puede tomar prestado el rango de sin⁻¹ 🖖

cos(sin⁻¹ x) nunca necesita un ± 🖖

sin⁻¹(sin θ) retrocede en media circunferencia

cos⁻¹ no puede tomar prestado el rango de sin⁻¹

cos(sin⁻¹ x) nunca necesita un ±