Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid

Sisesta x kümnendmurruna, hariliku murruna või juurena: leht leiab peaväärtuste vahemikust ainsa nurga, mille siinus, koosinus või tangens on x, või selgitab, miks sellist nurka pole. Teine võimalus on lohistada nurka θ ning vaadata, kuidas f⁻¹(f(θ)) murdub tagasi lubatud vahemikku.

Arkussiinus	$\sin^{-1}x\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\quad -1\le x\le 1$
Arkuskoosinus	$\cos^{-1}x\in[0,\pi],\quad -1\le x\le 1$
Arkustangens	$\tan^{-1}x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),\quad x\in\mathbb{R}$
Siinuse pöördtehe	$\begin{gathered}\sin\left(\sin^{-1}x\right)=x\\ \sin^{-1}(\sin\theta)=\theta\iff-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\end{gathered}$

Näidisarvutus — Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid

Antud väärtus	−0,5
Peaväärtus radiaanides	−0,5236
Kraadides	−30°
cos(sin⁻¹ x) kolmnurga abil	0,866

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid sin⁻¹ x, cos⁻¹ x ja tan⁻¹ x (tähistatakse ka arcsin, arccos ja arctan) annavad kindlast vahemikust ainsa nurga ehk peaväärtuse, mille siinus, koosinus või tangens on x. Märk −1 tähistab siin pöördfunktsiooni, mitte astendajat: sin⁻¹ x ei tähenda 1/sin x.

Kust valem tuleb

Siinus ei ole üksühene. Üks ja sama siinuse väärtus kuulub lõpmata paljudele nurkadele, mistõttu „nurk, mille siinus on ½“ ei määra ühtki kindlat nurka enne, kui pole tehtud valikut.
$\sin\tfrac{\pi}{6}=\sin\tfrac{5\pi}{6}=\sin\left(-\tfrac{7\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}$
Kitsenda ja alles siis pööra. Lõigus −π/2 kuni π/2 kasvab siinus väärtusest −1 väärtuseni 1 ja läbib iga väärtuse täpselt ühe korra, mistõttu seal saabki rääkida pöördfunktsioonist. Samal põhjusel piiratakse koosinust vahemikuga 0 ≤ y ≤ π ja tangensit vahemikuga −π/2 < y < π/2.
$y=\sin^{-1}x\iff\sin y=x,\quad-\tfrac{\pi}{2}\le y\le\tfrac{\pi}{2}$
Pööramine toimib vaid ühes suunas. Seos sin(sin⁻¹ x) = x kehtib iga lubatud x korral, kuid sin⁻¹(sin θ) annab tulemuseks nurga θ vaid siis, kui θ juba asub selles vahemikus. Vastasel juhul annab see lubatud vahemikust selle nurga, mille siinus on sama.
$\sin\left(\sin^{-1}x\right)=x\quad(-1\le x\le1),\qquad\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}$
Liitfunktsioonid tulevad täisnurkselt kolmnurgalt. Võta y = sin⁻¹ x, millest sin y = x. Pythagorase teoreem annab teise kaateti ning funktsiooni vahemik määrab selle märgi.
$\cos\left(\sin^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^{2}}$

Eeldab: Funktsioonid sin⁻¹ ja cos⁻¹ on määratud vaid lõigus −1 ≤ x ≤ 1; tan⁻¹ on määratud kõigi reaalarvude hulgal.

Ülesanded täielikult lahendatud

Negatiivne siinus 2 sammu
Leia sin⁻¹(−1/2) täpne väärtus.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Vastus peab jääma arkussiinuse vahemikku:
  
  $-\tfrac{\pi}{2}\le\sin^{-1}x\le\tfrac{\pi}{2}$
2. Nurga π/6 siinus on 1/2 ning siinusfunktsioon on paaritu, seega on vahemikku kuuluv nurk −π/6:
  
  $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12\ \Rightarrow\ \sin\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac12$
Vastus

sin⁻¹(−1/2) = −π/6. Nurkadel 7π/6 ja 11π/6 on küll sama siinus, kuid need jäävad vahemikust välja.

$\sin^{-1}\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}\approx-0{.}5236$
Negatiivne koosinus 2 sammu
Leia cos⁻¹(−√3/2) täpne väärtus.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Peaväärtuste vahemik on 0 kuni π ning vastav teravnurk on π/6:
  
  $0\le\cos^{-1}x\le\pi,\qquad\cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2}$
2. Lubatud vahemikus on koosinus negatiivne üksnes pärast nurka π/2, seega on otsitav nurk π − π/6:
  
  $\cos\left(\pi-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt3}{2}$
Vastus

cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6.

$\cos^{-1}\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)=\tfrac{5\pi}{6}\approx2{.}618$
Arkustangens 2 sammu
Leia tan⁻¹(−√3) täpne väärtus.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. tan⁻¹ on määratud kõigi reaalarvude korral ja annab vastuseid rangelt vahemikust −π/2 kuni π/2:
  
  $-\tfrac{\pi}{2}<\tan^{-1}x<\tfrac{\pi}{2},\qquad x\in\mathbb{R}$
2. tan(π/3) = √3 ja tangens on paaritu funktsioon:
  
  $\tan\tfrac{\pi}{3}=\sqrt3\ \Rightarrow\ \tan\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3$
Vastus

tan⁻¹(−√3) = −π/3.

$\tan^{-1}\left(-\sqrt3\right)=-\tfrac{\pi}{3}\approx-1{.}0472$
Millised väärtused on olemas 2 sammu
Millised avaldistest sin⁻¹ 1,5, cos⁻¹(−1,2) ja tan⁻¹ 1,5 on määratud? Arvuta need, mis on olemas.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Siinus ja koosinus on ühikringjoone punkti koordinaadid, mistõttu võtavad sin⁻¹ ja cos⁻¹ sisendiks vaid väärtusi vahemikust −1 kuni 1:
  
  $\sin^{-1}x,\ \cos^{-1}x:\ -1\le x\le1;\qquad1{.}5\notin[-1,1],\quad-1{.}2\notin[-1,1]$
2. Tangens võib omandada mis tahes reaalarvulise väärtuse, seega on tan⁻¹ 1,5 olemas. Kuna see pole tabelinurk, leiame selle taskuarvutiga radiaanides:
  
  $\tan^{-1}1{.}5\approx0{.}9828\approx56{.}3099^{\circ}$
Vastus

Määratud on vaid tan⁻¹ 1,5 ≈ 0,9828, ligikaudu 56,3099°. Avaldised sin⁻¹ 1,5 ja cos⁻¹(−1,2) pole määratud.

$\tan^{-1}1{.}5\approx0{.}9828$
Siinuse pööramine väljaspool vahemikku 2 sammu
Leia sin⁻¹(sin 5π/6).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. 5π/6 jääb vahemikust välja, seega ei saa vastus olla 5π/6:
  
  $\tfrac{5\pi}{6}>\tfrac{\pi}{2}$
2. Nurgal π − θ on sama siinus mis nurgal θ ning π − 5π/6 asub lubatud vahemikus:
  
  $\sin\left(\pi-\tfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\tfrac{5\pi}{6},\qquad\pi-\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{\pi}{6}\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$
Vastus

sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6.

$\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}$
Koosinuse pööramine väljaspool vahemikku 2 sammu
Leia cos⁻¹(cos 4π/3).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. 4π/3 on suurem kui π ehk asub väljaspool vahemikku:
  
  $\tfrac{4\pi}{3}>\pi$
2. Nurgal 2π − θ on sama koosinus mis nurgal θ, sest koosinus on paaris ja perioodiga 2π, ning 2π − 4π/3 kuulub vahemikku:
  
  $\cos\left(2\pi-\tfrac{4\pi}{3}\right)=\cos\tfrac{4\pi}{3},\qquad2\pi-\tfrac{4\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}\in[0,\pi]$
Vastus

cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3.

$\cos^{-1}\left(\cos\tfrac{4\pi}{3}\right)=\tfrac{2\pi}{3}$
Liitfunktsioon negatiivse sisendiga 3 sammu
Leia tan(cos⁻¹(−3/5)) täpne väärtus.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tähistame nurga tähega y. Kuna selle koosinus on −3/5, jääb nurk vahemiku tõttu teise veerandisse ehk üle π/2:
  
  $y=\cos^{-1}\left(-\tfrac35\right):\quad\cos y=-\tfrac35,\quad\tfrac{\pi}{2}<y\le\pi$
2. Siinus on seal positiivne, mistõttu seosest sin²y + cos²y = 1
  
  $\sin y=+\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac45$
3. ning valemist tan y = sin y / cos y:
  
  $\tan y=\frac{4/5}{-3/5}=-\tfrac43$
Vastus

tan(cos⁻¹(−3/5)) = −4/3.

$\tan\left(\cos^{-1}\left(-\tfrac35\right)\right)=-\tfrac43\approx-1{.}3333$
Liitfunktsioon muutuja x kaudu 3 sammu
Avalda cos(sin⁻¹ x) muutuja x kaudu ja kontrolli seda kohal x = −3/5.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Olgu see nurk y. Funktsiooni sin⁻¹ vahemik hoiab nurga y vahemikus −π/2 kuni π/2, kus koosinus pole kunagi negatiivne:
  
  $y=\sin^{-1}x:\quad\sin y=x,\quad-\tfrac{\pi}{2}\le y\le\tfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \cos y\ge0$
2. seega võtame ruutjuure ees positiivse märgi:
  
  $\cos y=+\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}}$
3. Kohal x = −3/5:
  
  $\cos\left(\sin^{-1}\left(-\tfrac35\right)\right)=\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac45$
Vastus

cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²), ilma märgita ±, iga x korral lõigus −1 kuni 1.

$\cos\left(\sin^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^{2}},\qquad-1\le x\le1$
Võrrand pöördfunktsiooniga 2 sammu
Lahenda võrrand cos⁻¹ x = 2π/3 ja seejärel cos⁻¹ x = −π/3.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Võtame mõlemast poolest koosinuse. Kuna 2π/3 kuulub vahemikku, on see ainus lahend:
  
  $\cos^{-1}x=\tfrac{2\pi}{3}\ \Rightarrow\ x=\cos\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac12$
2. cos⁻¹ ei anna kunagi tulemust −π/3, sest see jääb vahemikust välja:
  
  $-\tfrac{\pi}{3}\notin[0,\pi]$
Vastus

Esimese lahend on x = −1/2; teisel lahend puudub. cos(−π/3) = 1/2, kuid cos⁻¹(1/2) = π/3.

$x=-\tfrac12;\qquad-\tfrac{\pi}{3}\notin[0,\pi]\Rightarrow\varnothing$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Leia tan⁻¹(tan 2π/3).

Näita vastust

−π/3, mis on 2π/3 − π.

$\tan^{-1}\left(\tan\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{\pi}{3}$
Leia cos⁻¹(cos(−2π/5)).

Näita vastust

2π/5, sest koosinus on paaris funktsioon.

$\cos^{-1}\left(\cos\left(-\tfrac{2\pi}{5}\right)\right)=\tfrac{2\pi}{5}$
Leia sin⁻¹(sin 4), kus 4 on radiaanides.

Näita vastust

π − 4 ≈ −0,8584, sest 4 jääb väärtuste π/2 ja 3π/2 vahele.

$\sin^{-1}(\sin4)=\pi-4\approx-0{.}8584$
Leia sin(cos⁻¹(−12/13)) täpne väärtus.

Näita vastust

5/13: nurk on suurem kui π/2, kus siinus on positiivne.

$\sin\left(\cos^{-1}\left(-\tfrac{12}{13}\right)\right)=\tfrac{5}{13}$
Avalda tan(sin⁻¹ x) muutuja x kaudu.

Näita vastust

x/√(1 − x²), kui −1 < x < 1.

$\tan\left(\sin^{-1}x\right)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad-1<x<1$
Näita, et sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2, kui −1 ≤ x ≤ 1, ja kontrolli seda kohal x = −1/2.

Näita vastust

Kui y = sin⁻¹ x, siis cos(π/2 − y) = sin y = x ning π/2 − y jääb vahemikku 0 kuni π, seega π/2 − y = cos⁻¹ x.

$\sin^{-1}\left(-\tfrac12\right)+\cos^{-1}\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\pi}{2}$

sin⁻¹(sin θ) liigub poolel ringjoonel tagurpidi

Klõpsa sin⁻¹(sin 150°): vastus on 30°. Lohista nüüd nurka θ väärtusest 90° väärtuseni 270°. Sel ajal kui θ kasvab, kahaneb sin⁻¹(sin θ) väärtusest 90° väärtuseni −90° täpse tõusuga −1, sest sellel lõigul on tema väärtuseks 180° − θ. Siinus jõuab 90° juures väärtuseni 1 ja pöördub tagasi; nii peab ka pöördfunktsioon temaga kaasa pöörduma. Koosinus teeb pöörde 0° ja 180° juures, nii et vahemikus −180° kuni 180° on cos⁻¹(cos θ) lihtne V-kujuline |θ|. Tangens seevastu ei pöördu kordagi tagasi. Ta kasvab asümptootide vahel igal lõigul, mistõttu tan⁻¹(tan θ) ei liigu kunagi tagurpidi — iga kord, kui θ ületab 90° paaritu kordse, kukub väärtus 180° võrra. Seepärast on tan⁻¹(tan 135°) = 135° − 180° = −45°.

cos⁻¹ ei saa laenata funktsiooni sin⁻¹ vahemikku

Vahemikus −90° kuni 90° ei ole koosinus kunagi negatiivne ning ta omandab iga väärtuse 0 ja 1 vahel kaks korda: kohal θ ja kohal −θ. Pöördfunktsioon nõuab aga mõlemas osas täit vastandit: kõiki väärtusi vahemikus −1 kuni 1 ning igaüht täpselt ühe korra. Seetõttu annab cos⁻¹ vastuseid vahemikust 0° kuni 180° ehk ringjoone ülemiselt poolelt, kus koosinus kahaneb sujuvalt väärtusest 1 väärtuseni −1. Selle hinna maksad negatiivsete sisendite juures. sin⁻¹(−1/2) annab vastuseks −30°, mis jääb allapoole x-telge, kuid cos⁻¹(−√3/2) on 150°. Negatiivne koosinus ei anna kunagi negatiivset nurka — ta viib vastuse alati üle 90°.

cos(sin⁻¹ x) ei vaja iial märki ±

Tavalise trigonomeetria põhiseose korral andis avaldis √(1 − sin²θ) vaid koosinuse absoluutväärtuse ning sobiv märk tuli tuletada veerandist. Siin määrab lubatud vahemik märgi juba enne, kui keegi küsidagi jõuab. Kuna sin⁻¹ x jääb alati vahemikku −90° kuni 90°, kus koosinus pole kunagi negatiivne, kehtib cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) eranditult iga x korral lõigus −1 kuni 1. Kohal x = −3/5 on vastuseks +4/5, kuigi nurk ise on negatiivne. Sama kehtib seose sin(cos⁻¹ x) kohta, sest vahemikus 0° kuni 180° ei ole siinus kordagi negatiivne. Tangens võib muidugi tulla negatiivne, sest funktsiooni cos⁻¹ vahemik hõlmab ka II veerandit, ent valem tan(cos⁻¹ x) = √(1 − x²)/x kannab seda märki juba muutuja x kaudu ega vaja samuti mingit märki ±. Klõpsa tan(cos⁻¹(−3/5)): nurk on ligikaudu 126,8699°, mistõttu tangens on täpselt −4/3.

Õpitee

Trigonomeetrilised samasused ja võrrandid

Allikad (1)

The domains and principal ranges of sin⁻¹, cos⁻¹ and tan⁻¹, sin⁻¹(sin x) = x only for −π/2 ≤ x ≤ π/2, the warning that sin⁻¹ x is not 1/sin x, and compositions such as cos(sin⁻¹ x) by a right triangle: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 6.3, “Inverse Trigonometric Functions”.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid

Kust valem tuleb

Lisaülesanded, ainult vastustega

sin⁻¹(sin θ) liigub poolel ringjoonel tagurpidi 🖖

cos⁻¹ ei saa laenata funktsiooni sin⁻¹ vahemikku 🖖

cos(sin⁻¹ x) ei vaja iial märki ± 🖖

sin⁻¹(sin θ) liigub poolel ringjoonel tagurpidi

cos⁻¹ ei saa laenata funktsiooni sin⁻¹ vahemikku

cos(sin⁻¹ x) ei vaja iial märki ±