Õhutakistuse ja Tuulega Visketrajektoori Simulaator

Võrdle ideaalset trajektoori õhutakistusest mõjutatud trajektooriga.

Ruuttakistus kiirusele õhu suhtes	$\begin{gathered}\mathbf F=-k\,\|\mathbf v_{\mathrm{rel}}\|\,\mathbf v_{\mathrm{rel}},\qquad \mathbf v_{\mathrm{rel}}=\mathbf v-\mathbf w\\ k=\tfrac12\rho\,C_dA\end{gathered}$
Piirkiirus: takistusjõud võrdub raskusjõuga	$v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}$
Otse alla paigalseisust ja otse üles	$\begin{gathered}v^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2ky/m}\right)\\ H=\frac{m}{2k}\ln\!\left(1+\frac{v_0^{2}}{v_t^{2}}\right)\end{gathered}$

Näidisarvutus — Õhutakistuse ja Tuulega Visketrajektoori Simulaator

Piirkiirus	18,083 m/s
Kiirus õhu suhtes heitmisel	25 m/s
Takistusjõud heitmisel	18,75 N
Lennukaugus vaakumis	63,71 m
Suurim kõrgus vaakumis	15,928 m
Lennukaugus	28,283 m
Suurim kõrgus	9,643 m
Horisontaalkaugus tipus	16,259 m

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Õhutakistuse ja Tuulega Visketrajektoori Simulaator

Ruuttakistus on õhutakistus, mis mõjub igale käega visatud kehale: see on jõud k|v_rel|², mis on suunatud vastu palli kiirust õhu suhtes, v_rel = v − w, kus k = ½ρC_dA. Kuna |v_rel| sisaldab mõlemat komponenti, seob see omavahel horisontaalse ja vertikaalse liikumise ning kogu lennujoonele ei leidu enam ainsatki suletud valemit. See leht integreerib liikumist ülimalt 5 ms pikkuste sammudega.

Mida iga sümbol tähendab

θ: väljalaskenurk. Takistuseta on selle parim väärtus 45° iga algkiiruse ja iga massi korral — ülesande konstant. Takistusega pole ta midagi sellest, ja just sellest see õppetükk räägibki.
k/m: takistustegur jagatud massiga. See on ainus kombinatsioon, mis võrrandites üldse esineb: mitte kunagi k üksi, mitte kunagi m üksi. Kaks kuuest sisestuskastist on kaks käepidet ühe ja sama arvu küljes.
v_rel: kiirus õhu suhtes, v − w. Takistusjõud mõjub just sellele, mitte kunagi kiirusele maapinna suhtes.
R: lennukaugus. Lehel on neid kaks: vaakumvalemist saadav R₀ ja integreeritud R; nendevaheline vahe ongi see, mille õhk ära võttis.

Kust valem tuleb

Alusta õhuta, kus kaks telge omavahel kunagi ei suhtle. Rõhtkiirus on jääv, püstasend on ajas parabool, ja aja kõrvaldamine jätab alles R = v₀² sin(2θ)/g. Maksimeeri: sin(2θ) on suurim, kui 2θ = 90°. Pane tähele, mis välja langes — selles tingimuses pole ei v₀-d ega massi, seega on 45° parim nurk iga väljalaske jaoks, mis eales aset on leidnud. Sellepärast jäetakse see meelde faktina, mitte tulemusena.
$R=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}\le\frac{v_0^{2}}{g}\ \Rightarrow\ \theta^{*}=45^\circ$
Lisa takistus ja teljed pole enam sõltumatud. Kiirendus on −g ŷ − (k/m)|v_rel|v_rel ning kuna |v_rel| sisaldab mõlemat komponenti, sõltub horisontaalne võrrand sellest, kui kiiresti pall tõuseb, ja vertikaalne sellest, kui kiiresti see edasi lendab. See võrrandisüsteem on mittelineaarne ja muutujad ei eraldu, mistõttu ei leidu R jaoks ühtki elementaarvalemit. Tulemuste tabel esitabki lennukauguse integraalina, mis see ju tegelikult on.
$\frac{d\mathbf v}{dt}=-g\,\hat{\mathbf y}-\frac{k}{m}\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|\,\mathbf v_{\mathrm{rel}},\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=\sqrt{(v_x-w)^{2}+v_y^{2}}$
Jaga m-iga läbi ja alles jääb vaid k/m. Raske pall käitub täpselt nagu kerge pall hõredamas õhus. Sea k = 0.03 ning m = 3 ja saad viimse numbrini sama trajektoori kui k = 0.01 ja m = 1 puhul. Nõnda on eelseadistus raske kuul vaid teise nimega madala takistuse juht ning massiväli ei reeda midagi sellist, mida takistuse väli juba ei näitaks.
$\frac{k}{m}=\frac{0.03}{3}=\frac{0.01}{1}=0.01\ \mathrm{m^{-1}}$
Parim nurk langeb alla 45°. Järsem heide viibib õhus kauem ning õhk röövib kiirust igal lennusekundil. Vaikse ilmaga maapinnalt heites jääb parim nurk seetõttu alla 45° ning kuna takistus kasvab koos kiirusega, nihkub see nurk seda madalamale, mida kõvemini heita. Vaakumis ei juhtunud seda iial. Vaikimisi määratud takistusega lendab 25 m/s kaugeimale 38,939° nurga all (28,743 m, võrreldes 28,283 m-ga 45° puhul) ning 90 m/s juba 29,34° all (72,117 m, võrreldes 66,493 m-ga). Tabeli viimane rida arvutab selle nurga välja mis tahes valitud algandmetele. Tuul muudab seisu uuesti: kui 25 m/s heitele puhub taganttuul 20 m/s, tõuseb parim nurk 47,093° peale.
$v_0=25:\ \ R(45^\circ)=28.283<R(38.939^\circ)=28.743\ \mathrm{m};\qquad v_0=90:\ \ R(45^\circ)=66.493<R(29.34^\circ)=72.117\ \mathrm{m}$

Kuidas nähtut lugeda

Katkendjoon tähistab sedasama heidet ilma õhuta, eelmiselt lehelt tuttavat parabooli, ning kahe kõvera vahele jääv ruum näitabki õhu võetud lõivu. Sea takistus nulli ja pidevjoon langeb täpselt katkendjoone peale: integreeritud lennukaugus langeb vaakumvalemiga kokku iga numbrini, mida tabel näitab. Seega tuleb mis tahes vahe takistuse korral puhtalt õhust, mitte arvutusest.

Eeldab: Seisev õhk, välja arvatud ühtlane rõhttuul, mis puhub igal kõrgusel sama kiirusega, ühtlane tihedus kogu tõusu ulatuses ja takistustegur, mis kiirusega ei muutu. Punktmass: ei tõstejõudu, ei pöörlemist, ei Magnuse jõudu — lõigatud golfipall ja kõrvale triiviv mürsk jäävad mõlemad väljapoole seda, mida see mudel öelda oskab.

Ülesanded täielikult lahendatud

Lineaarne või ruuttakistus? 4 sammu
Õhus kiirusega v liikuvale läbimõõduga D kerale mõjub kahte liiki takistus: viskoosustakistus 3πηDv (Stokesi seadus) ja rõhutakistus ½ρC_d(πD²/4)v². Olgu η = 1,8 × 10⁻⁵ Pa·s, ρ = 1,2 kg/m³ ning C_d = 0,47. Kumb neist on määrav pesapalli (D = 7,4 cm) korral kiirusel 40 m/s ja kumb kiirusega 0,10 mm/s triiviva õlitilga (D = 1,5 µm) puhul?
1. Jagame ühe jõu teisega. Enamik tegureid taandub ning allesjääv osa kasvab nii keha mõõtmete kui ka kiirusega:
  
  $\frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=\frac{\tfrac12\rho C_d\,\tfrac{\pi D^{2}}{4}\,v^{2}}{3\pi\eta Dv}=\frac{\rho C_d}{24\eta}\,Dv$
2. Õhu parameetritest saame konstandi:
  
  $\frac{\rho C_d}{24\eta}=\frac{1.2\times0.47}{24\times1.8\times10^{-5}}=1305.6\ \mathrm{s/m^{2}}$
3. Pesapall:
  
  $1305.6\times0.074\times40=3864.4$
4. Õlitilk:
  
  $1305.6\times(1.5\times10^{-6})\times(1.0\times10^{-4})=1.9583\times10^{-7}$
Vastus

Pesapallil valitseb ruuttakistus, kus rõhutakistus ületab viskoosse takistuse 3864 korda; tilga puhul kehtib lineaarne seadus, mille ruutliige moodustab viskoossest vaid 2,0 × 10⁻⁷. Kõik käega visatu allub ruuttakistusele – just seda seadust siinne leht rakendabki. Stokesi seadus jääb tolmu, udu ja Millikani õlitilkade pärusmaaks.

$\frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=3864\ \ (D=7.4\ \mathrm{cm}),\qquad \frac{F_{\mathrm{quad}}}{F_{\mathrm{lin}}}=2.0\times10^{-7}\ \ (D=1.5\ \mu\mathrm{m})$
Takistusjõud viskehetkel ja piirkiirus 4 sammu
Tuulevaikuses visatakse 1,0 kg pall, mille takistustegur on k = 0,030 kg/m, kiirusega 25 m/s 45° nurga all horisondi suhtes. Leidke pallile viskehetkel mõjuv takistusjõud ning võrrelge seda palli raskusjõuga. Kui suur on palli piirkiirus?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tuulevaikuses on liikumiskiirus õhu suhtes võrdne palli enda kiirusega:
  
  $|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=|\mathbf v|=25\ \mathrm{m/s}\qquad(w=0)$
2. Ruuttakistus on k korrutatuna selle kiiruse ruuduga:
  
  $F=k\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|^{2}=0.030\times25^{2}=18.75\ \mathrm{N}$
3. Võrdleme seda raskusjõuga:
  
  $mg=1.0\times9.81=9.81\ \mathrm{N},\qquad \frac{F}{mg}=\frac{18.75}{9.81}=1.9113$
4. Piirkiirus on kiirus, mille juures takistusjõud tasakaalustab raskusjõu:
  
  $k\,v_t^{2}=mg\ \Rightarrow\ v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{1.0\times9.81}{0.030}}=18.083\ \mathrm{m/s}$
Vastus

Viskehetkel 18,75 N ehk 1,9113 raskusjõust; piirkiirus 18,083 m/s. Pall väljub käest kiiremini, kui see iial vabalt langeda suudaks. Seetõttu surub õhk pallile tugevamini vastu kui gravitatsioon, kuni kiirus kahaneb alla 18,083 m/s.

$F=18.75\ \mathrm{N}=1.9113\,mg,\qquad v_t=18.083\ \mathrm{m/s}$
Vastutuult ja pärituult 4 sammu
Sama vise tehakse 8,0 m/s vastutuules. Leidke palli kiirus õhu suhtes viskehetkel ja sellele mõjuv takistusjõud. Seejärel korrake sama, kui tuul puhub viskajale selga.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kiiruskomponendid maapinna suhtes, nagu eespool:
  
  $v_x=25\cos45^\circ=17.678\ \mathrm{m/s},\qquad v_y=25\sin45^\circ=17.678\ \mathrm{m/s}$
2. Vastutuule korral liigub õhk kiirusega w = −8,0 m/s. Lahutame palli kiirusest õhu kiiruse:
  
  $\mathbf v_{\mathrm{rel}}=(v_x-w,\ v_y)=(17.678+8.0,\ 17.678)=(25.678,\ 17.678),\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=31.174\ \mathrm{m/s}$
3. Takistusjõud on võrdeline selle kiiruse ruuduga:
  
  $F=k\,|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|^{2}=0.030\times31.174^{2}=29.155\ \mathrm{N}$
4. Pärituulega on w = +8,0 m/s ning lahutamine toimub vastupidi:
  
  $w=+8.0:\quad \mathbf v_{\mathrm{rel}}=(9.6777,\ 17.678),\quad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=20.153\ \mathrm{m/s},\quad F=12.185\ \mathrm{N}$
Vastus

Vastutuult 31,174 m/s õhu suhtes ja 29,155 N takistusjõudu; pärituult 20,153 m/s ja 12,185 N. Pall lahkub käest mõlemal korral kiirusega 25 m/s. Õhu jaoks loeb vaid suhteline kiirus ning takistusjõud kahe juhu vahel enam kui kahekordistub. Teise olukorra nägemiseks vajutage pärituul.

$|\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=31.174\ \mathrm{m/s},\ F=29.155\ \mathrm{N}\ \ (w=-8.0);\qquad |\mathbf v_{\mathrm{rel}}|=20.153\ \mathrm{m/s},\ F=12.185\ \mathrm{N}\ \ (w=+8.0)$
Kukkumine 100 m kõrguselt 4 sammu
Sama pall (m = 1,0 kg, k = 0,030 kg/m) vabastatakse paigalseisust 100 m kõrgusel maapinnast. Kui kiiresti liigub see maapinnale jõudes? Võrdle tulemust palli piirkiirusega ja kiirusega, mille see saavutaks vaakumis.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Olgu langemisteepikkus y ja allasuunatud kiirus v. Kirjutades kiirenduse kujul v dv/dy, saame aja asemel teepikkusest sõltuva võrrandi:
  
  $v\frac{dv}{dy}=g-\frac{k}{m}v^{2}=g\left(1-\frac{v^{2}}{v_t^{2}}\right)$
2. Eraldame muutujad ja integreerime paigalseisust:
  
  $\int_0^{v}\frac{v\,dv}{1-v^{2}/v_t^{2}}=\int_0^{y}g\,dy\ \Rightarrow\ v^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2ky/m}\right)$
3. Asendame arvud, võttes 2. ülesandest piirkiiruse väärtuseks 18,083 m/s:
  
  $\frac{2ky}{m}=\frac{2(0.030)(100)}{1.0}=6.0,\qquad v=18.083\sqrt{1-e^{-6.0}}=18.061\ \mathrm{m/s}$
4. Õhutakistuseta annab sama langemine:
  
  $v_{\mathrm{vac}}=\sqrt{2gy}=\sqrt{2(9.81)(100)}=44.294\ \mathrm{m/s}$
Vastus

18,061 m/s: 99,88% piirkiirusest ja 41% vaakumis saadavast 44,294 m/s. Leht integreerib sama langemise ilma valemita ja jõuab 6,8066 s järel täpselt sama tulemuseni: 18,061 m/s.

$v=18.061\ \mathrm{m/s}=0.9988\,v_t=0.41\,v_{\mathrm{vac}}$
Vise otse üles 4 sammu
Sama pall visatakse otse üles algkiirusega 25 m/s. Kui kõrgele see tõuseb ja kui kaua tõus kestab? Kui kiiresti liigub pall tagasi maapinnale jõudes ning kas allatulek on tõusust kiirem või aeglasem?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Ülesliikumisel on nii takistusjõud kui ka raskusjõud suunatud alla. Võttes kiirenduseks taas v dv/dy, saab tõusukõrguseks:
  
  $v\frac{dv}{dy}=-g\left(1+\frac{v^{2}}{v_t^{2}}\right)\ \Rightarrow\ H=\frac{v_t^{2}}{2g}\ln\!\left(1+\frac{v_0^{2}}{v_t^{2}}\right)=\frac{327}{19.62}\ln\!\left(1+\frac{625}{327}\right)=17.810\ \mathrm{m}$
2. Aja leiame aga seosest dv/dt = −g(1 + v²/v_t²):
  
  $t_{\mathrm{up}}=\frac{v_t}{g}\arctan\frac{v_0}{v_t}=\frac{18.083}{9.81}\arctan\frac{25}{18.083}=1.7412\ \mathrm{s}$
3. Allatulek vastab 4. ülesandele 17,810 m kõrguselt. Kuna e^−2kH/m = (1 + v₀²/v_t²)⁻¹, lihtsustub maapinnale naasmise kiirus:
  
  $v_{\mathrm{back}}^{2}=v_t^{2}\left(1-e^{-2kH/m}\right)\ \Rightarrow\ v_{\mathrm{back}}=\frac{v_0v_t}{\sqrt{v_0^{2}+v_t^{2}}}=\frac{25\times18.083}{\sqrt{625+327}}=14.652\ \mathrm{m/s}$
4. Ning langemisaeg seosest dv/dt = g(1 − v²/v_t²):
  
  $t_{\mathrm{down}}=\frac{v_t}{g}\operatorname{artanh}\frac{v_{\mathrm{back}}}{v_t}=\frac{18.083}{9.81}\operatorname{artanh}\frac{14.652}{18.083}=2.0789\ \mathrm{s}$
Vastus

17,810 m kõrgusele 1,7412 sekundiga ning alla tagasi kiirusel 14,652 m/s veel 2,0789 sekundi pärast. Pall naaseb aeglasemalt kui startis ja allatulek võtab kauem aega: tõusul aitas õhutakistus raskusjõudu, langemisel töötas sellele vastu. Vaakumis tõuseks pall 31,855 m ning naaseks kiirusega 25 m/s. Leht näitab koguajaks 3,8201 s.

$H=17.810\ \mathrm{m},\quad t_{\mathrm{up}}=1.7412\ \mathrm{s},\quad v_{\mathrm{back}}=14.652\ \mathrm{m/s},\quad t_{\mathrm{down}}=2.0789\ \mathrm{s}$
Miks vaakumis saadud 63,71 meetrist saab 28,283 m 5 sammu
Algkiirus 25 m/s 45° nurga all, palli mass 1,0 kg ja k = 0,030 kg/m. Vaakumi valem annab tulemuseks 63,71 m. Selgita välja, miks tegelik vastus on 28,283 m ning miks tõusukõrgus peab takistusele vastu tunduvalt paremini kui lennukaugus.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Alusta vastusest, mille õhk ära rikub. Mõlemad vaakumivalemid on täpsed, üherealised ning selle probleemi ainus analüütiline alus.
  
  $R_0=\frac{v_0^{2}\sin2\theta}{g}=\frac{25^{2}\sin90^{\circ}}{9.81}=63.71\ \mathrm{m},\qquad y_{0,\max}=\frac{v_0^{2}\sin^{2}\theta}{2g}=15.928\ \mathrm{m}$
2. Kirjutame nüüd tegeliku liikumisvõrrandi. Takistusjõud on suunatud kiirusele vastu, mistõttu horisontaalkomponent sõltub vertikaalsest kiirusest ja vastupidi: teljed pole enam sõltumatud ning parabooli ei ole enam olemas.
  
  $\frac{d\mathbf v}{dt}=-g\,\hat{\mathbf y}-\frac{k}{m}\,|\mathbf v|\,\mathbf v$
3. Loe need kaks kadu paneelilt murdudena maha. Need erinevad ning just see erinevus ongi selgitamist väärt.
  
  $R=28.283\ \mathrm{m}=0.4439\,R_0,\qquad y_{\max}=9.643\ \mathrm{m}=0.6054\,y_{0,\max}$
4. Piirkiirus on kiirus, mille juures takistusjõud tasakaalustab raskusjõu. Võrdlus algkiirusega näitab, kumb jõud alguses tooni annab.
  
  $v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}=\sqrt{\frac{1.0\times9.81}{0.030}}=18.083\ \mathrm{m/s}<v_0=25\ \mathrm{m/s}$
5. Takistuspikkus m/k on teepikkus, mille jooksul õhk võtab ära arvestatava osa kiirusest. Võrdle seda esialgu loodetud lennukaugusega.
  
  $\ell=\frac{m}{k}=\frac{1.0}{0.030}=33.3\ \mathrm{m}\approx\tfrac12R_0$
Vastus

Sest õhutakistuse pikkusskaala on 33 m ning vise tahtis lennata 64 m kaugusele, aga vaid 16 m kõrgusele. Lennukaugus säilitab 44% oma vaakumväärtusest ning tipukõrgus 61%. Kaks arvu näitavad, et õhutakistus pole siin kaugeltki väike parandus. Piirkiirus 18,083 m/s jääb alla 25 m/s algkiirusele, mistõttu kaotab pall alguses õhutakistusele rohkem kui raskusjõule; m/k = 33,3 m moodustab aga poole vaakumi lennukaugusest, kuigi tühise paranduse puhul peaks see olema mitu korda suurem. Valmis lahendivalemit siin pole: takistus seob teljed omavahel ja just seepärast leht integreerib, mitte ei asenda valemisse.

$\frac{R}{R_0}=0.44,\qquad \frac{y_{\max}}{y_{0,\max}}=0.61$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Pesapalli mass on 0,145 kg ja takistustegur k = 1,3 × 10⁻³ kg/m. Kui suur on selle piirkiirus?

Näita vastust

33,08 m/s.

$v_t=\sqrt{\frac{0.145\times9.81}{1.3\times10^{-3}}}=33.08\ \mathrm{m/s}$
Kuulitõukekuul ja pall on ühesuurused, seega on mõlema takistustegur k = 0,030 kg/m, kuid kuuli mass on 3,0 kg ja pallil 1,0 kg. Millist takistustegurit vajaks pall, et lennata kuuliga täpselt ühtemoodi?

Näita vastust

0,010 kg/m: liikumist määrab üksnes suhe k/m.

$\frac{k}{m}=\frac{0.030}{3.0}=0.010\ \mathrm{m^{-1}}\ \Rightarrow\ k=0.010\ \mathrm{kg/m}\ \ (m=1.0\ \mathrm{kg})$
Pall massiga 1,0 kg (k = 0,030 kg/m) vabastatakse paigalseisust. Kui kaugele on see langenud hetkeks, mil kiirus jõuab 90%-ni piirkiirusest?

Näita vastust

27,68 m.

$y=-\frac{m}{2k}\ln\!\left(1-0.90^{2}\right)=-\frac{1.0}{0.060}\ln0.19=27.68\ \mathrm{m}$
Pall, mille k/m = 0,010 m⁻¹, visatakse otse üles kiirusega 40 m/s. Kui kõrgele see tõuseb ja kui kiiresti tagasi alla jõuab?

Näita vastust

48,37 m ning tagasi alla jõuab see kiirusega 24,66 m/s.

$v_t^{2}=\frac{9.81}{0.010}=981,\quad H=\frac{981}{19.62}\ln\!\left(1+\frac{1600}{981}\right)=48.37\ \mathrm{m},\quad v_{\mathrm{back}}=\frac{40\times31.32}{\sqrt{1600+981}}=24.66\ \mathrm{m/s}$
Pall, mille k/m = 0,030 m⁻¹, langeb püsivas tuules kiirusega 5,0 m/s. Kui kukkumine kestab piisavalt kaua, millise kiiruse maapinna suhtes see lõpuks saavutab?

Näita vastust

18,76 m/s, 74,54° allpool horisontaali: 5,0 m/s allatuult ja 18,08 m/s otse alla.

$\mathbf v\to(w,\,-v_t)=(5.0,\,-18.08)\ \mathrm{m/s},\qquad |\mathbf v|=18.76\ \mathrm{m/s},\quad \varphi=74.54^\circ$

Miks laskumine on järsem ja aeglasem

Tõusul on nii takistusjõud kui ka raskusjõud suunatud alla ning pidurdavad tõusu üheskoos. Laskumisel töötavad need teineteisele vastu, mistõttu pall kukub aeglasemalt kui tõusis ja viibib teel kauem: vaikeheite korral kestab tõus 1,2702 s ning langemine 1,5141 s. Samal ajal võtab õhk palli edasiliikumiselt pidevalt kiirust vähemaks, nii et lennu teine pool katab lühema vahemaa kui esimene. Trajektoori tipp saabub 28,283 m pikkusest lennust alles 16,259 m kohal, selgelt pärast keskpunkti, ning 45° all teele läinud pall tabab maad 62,324° nurga all. Vaakumis kulgev parabool on tipu suhtes sümmeetriline, sest ilma õhutakistuseta võrrandid kehtivad ajas tagurpidi minnes sama hästi. Just takistusliige teab, mis suunas aeg liigub.

Loeb õhk, mitte maapind

Takistusjõud mõjub kiirusele õhu suhtes, v − w, ega püüa palli seisma panna. See sunnib palli liikuma kaasa õhuga. Kui aega on küllalt, hakkab iga pall püsivas tuules triivima allatuult tuule enda kiirusega, langedes samal ajal oma piirkiirusel. Vali vastutuul: heitele vastu puhuv 8 m/s tuul võtab pallilt kogu edasikiiruse enne maapinnani jõudmist ning see laskub rõhtsihist 92,328° allapoole, kaldudes tagasi heitja poole.

Miks lohkudega golfipall lendab kaugemale

Palli pinna karestamine võib takistusjõudu hoopis vähendada. Golfipalli lohukesed tekitavad palli pinnale õhukese turbulentse kihi, mis püsib palli tagaküljel kauem kinni enne irdumist ning jätab seetõttu seljataha kitsama madalrõhulise keerisejälje. Kera takistustegur langeb järsult, kui voolus on piisavalt kiire, et teha seda iseenesest. Seda nähtust nimetatakse takistuskriisiks ning lohukesed toovad selle languse tavapärase avalöögi kiirusteni. Siinsel lehel püsib k igal kiirusel muutumatuna, mistõttu takistuskriis on just see, mida siinne mudel ei näita.

Õpitee

Asjade viskamine

Allikad (2)

The lesson — why the coupled equations admit no elementary range formula, and how the optimum angle moves: G. W. Parker, "Projectile motion with air resistance quadratic in the speed." American Journal of Physics 45(7), 606–610, 1977.
Insight block 3 — why roughening a ball reduces its drag: P. W. Bearman and J. K. Harvey, "Golf Ball Aerodynamics." Aeronautical Quarterly 27(2), 112–122, 1976 — wind-tunnel measurements of dimpled against smooth spheres.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.