Lõbustuspargi rongi energiasimulaator

Lohista positsiooniliugurit mööda rada. Energia jäävus määrab kiiruse igas punktis.

Hõõrdumiseta: energia kilogrammi kohta on jääv	$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0\ \Rightarrow\ v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)}$
Hõõrdumisega: d on läbitud horisontaalkaugus	$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0-\mu g\,d$

Näidisarvutus — Lõbustuspargi rongi energiasimulaator

Läbitud teepikkus	0 m
Kõrgus	5 m
Alguse energia / mass	49,05 J/kg
Kadunud energia (hõõrdumine)	0 J/kg
Kiirus	0 m/s
Kineetiline energia	0 J
Potentsiaalne energia	49,05 J
Energiabilanss	49,05 J

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Lõbustuspargi rongi energiasimulaator

Hõõrdevabal rajal on mehaaniline energia jääv: kineetilise ja potentsiaalse energia summa on kõikjal ühesugune. See ainus lause määrab kiiruse sõidu igas punktis üksnes alguskõrguse põhjal — vaja ei ole jõude, ajakava ega künka kuju.

Mida iga sümbol tähendab

h: kõrgus nulltaseme kohal. See, millise taseme sa nulliks nimetad, ei muuda kunagi vastust: valemisse jõuab ainult vahe h₀ − h, nii et nulltaseme nihutamine nihutab mõlemat kõrgust korraga.
v: kiirus, mille näit tuletab energiast, mitte ühestki jõust.
KE: kineetiline energia, ½mv².
PE: potentsiaalne energia, mgh — alguses 49.05 J, mis tuleb tehtest 1 × 9.81 × 5.
μ: Hõõrdetegur. Nullist suurema väärtuse korral kulub iga läbitud horisontaalmeetri kohta μg džauli kilogrammi kohta, olgu kallak milline tahes.

Kust valem tuleb

Hõõrdumiseta on koguenergia jääv. Kineetilise ja potentsiaalse energia summa on raja igas punktis täpselt sama mis alguses.
$\tfrac12mv^{2}+mgh=\tfrac12mv_0^{2}+mgh_0$
Mass sisaldub igas liikmes, seega taandame selle välja. Mass on valemist kadunud, ja seda lõplikult.
$\tfrac12v^{2}+gh=\tfrac12v_0^{2}+gh_0$
Avaldame kiiruse. Mängu jääb vaid kõrguse langus ning käru saab asuda üksnes seal, kus ruutjuur on reaalne: oma algenergia lubatud kõrgusest ei tõuse see iial kõrgemale.
$v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)},\qquad h\le h_0+\frac{v_0^{2}}{2g}$
Hõõrdumine nurga θ all kulgeval sirglõigul: normaaljõud on mg cos θ ja lõigu pikkus d/cos θ, mistõttu töö võrdub μmg korrutatuna horisontaalkaugusega d. Enne kiiruse avaldamist lahuta see energiast maha.
$W_f=\mu\,(mg\cos\theta)\,\frac{d}{\cos\theta}=\mu mg\,d\ \Rightarrow\ v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)-2\mu g\,d}$

Eeldab: Tegu on mööda suunavat rada libiseva punktmassiga: puudub pöörlemine ja õhutakistus ning kiirusest piisab rööbastel püsimiseks. Hõõrdumist arvestatakse üksnes sirgetel lõikudel. Kurvis suurel kiirusel tekkivat lisasurvet, mis nõos normaaljõudu kasvatab, mudel ei arvesta. Samuti ei kontrollita siin, kas käru võiks künkaharjal rööbastelt lahti rebeneda.
Ei kehti, kui: 2. sammu tasub pimesi uskumise asemel ise kontrollida, ja siin saab seda teha. Vali Poolkanal ning lohista asend keskele: kiiruseks kuvatakse 9.9045 m/s. Kui muudad massi väärtuselt 1 kg väärtusele 500 kg, püsib kiirus ikka 9.9045 m/s, samas kui kineetiline energia hüppab väärtuselt 49.05 J väärtusele 24,525 J. Raskem vagun kannab küll rohkem energiat, ent ei liigu sellest kiiremini. Hõõrdumine seda seaduspära ei riku: energiakadu massiühiku kohta on μgd, mis massist samuti ei sõltu.

Ülesanded täielikult lahendatud

Rajal 5 m kõrguselt paigalseisust lahti lastud 1 kg vagonett 6 sammu
1 kg vagun vabastatakse paigalolekust 5 m kõrgusel rajalt 0,5; 2,3; 3,6; 5,1; 7,4; 9,2; 10,5. Leidke, kuhu see välja jõuab — ja see pole rajatise teine ots.
1. Hõõrdumise puudumisel on koguenergia määratud vabastamiskõrgusega ega muutu kunagi. Üks kilogramm ja 5 meetrit on kogu sisend, mis sellel ülesandel on.
  
  $E_0=mgh_0=1\times9.81\times5=49.05\ \mathrm{J},\qquad v_0=0$
2. Kiiruse suhtes ümber seatuna saab samast väitest kitsendus: vagun saab olla vaid seal, kus ruutjuur on reaalarvuline. See ongi kogu lahendus, enne kui ühtegi rada on joonistatud.
  
  $\tfrac{1}{2}mv^{2}=mg(h_0-h)\ \Longrightarrow\ v=\sqrt{2g(h_0-h)},\quad\text{real only where }h\le h_0$
3. Otsige rajalt selle maksimumi. Tipp asub vabastamispunktist kõrgemal, mis otsustab küsimuse — ning pange tähele, et sellest tagapool asuv laskumine kõrguseni 1 m ei puutu üldse asjasse.
  
  $\text{track max}=6\ \mathrm{m}>h_0=5\ \mathrm{m}\quad\Longrightarrow\quad\text{the hill at }x=3\text{ is unreachable}$
4. Leidke pöördepunkt täpselt. See asub tõusul punktist (2,3) punkti (3,6), kus sirglõik ristub tagasi vabastamiskõrgusega.
  
  $(2,3)\to(3,6):\ y=5\ \text{at}\ x=2+\tfrac{5-3}{6-3}=2.667$
5. Asendit määrav liugur mõõdab teepikkust piki rada, seega kulub ära teada raja kogupikkust. Kuus lõiku, kuus Pythagorase teoreemi rakendamist.
  
  $s=\sum\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=2.828+3.162+5.385+3.606+2.828+3.162=20.972\ \mathrm{m}$
6. Lõpetuseks kaks kiirust: suurim kiirus, mille vagun oma lühikesel sõidul tegelikult saavutab, ja stardikiirus, mis avaks ülejäänud sõidu.
  
  $v_{\max}=\sqrt{2g(5-3)}=6.26\ \mathrm{m/s};\qquad v_0\ \text{needed}=\sqrt{2g(6-5)}=4.43\ \mathrm{m/s}$
Vastus

Auto pöördub tagasi punktis x = 2,667 m ega jõua ülejäänud rajani. Punktis x = 3 on künka kõrgus 6 m, auto aga alustas kõrguselt 5 m, seega ei jätku tal lihtsalt energiat. Sellest punktist kaugemal näitab tööriist igas asukohas peatunud: see kinnitab tulemust, mitte ei tähenda tõrget. Ülesanne on huvitav just seetõttu, et vastuse leidmiseks pole simulatsiooni üldse vaja. Energia jäävuse seadus taandab diferentsiaalvõrrandi võrratuseks h ≤ h₀ ning stardi ja takistuse vahele jääva raja kuju pole oluline. Andke autole tipus kiiruseks 4,43 m/s ja talle muutub läbitavaks kogu 20,972 m pikkune rada, sealhulgas lohku läbiv lõik punktis x = 5, kus kiirus on 9,90 m/s. Sellest väiksema algkiiruse korral jääb kogu see rajaosa kättesaamatuks.

$h_{\text{track}}=6>h_0=5\ \Longrightarrow\ \text{it stops at }x=2.667,\ \text{never reaching the drop}$
Kiirus renni põhjas 4 sammu
250 kg massiga käru lastakse renniraja 5 m kõrguselt servalt paigalseisust lahti. Kui hõõrdumist pole, kui kiiresti liigub see tasasel põhjal, kui suur on seal kineetiline energia ning kui suur on kiirus vastasnõlval 2 m kõrgusel?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Koguenergia alguses ja põhjas, kui kõrguse nullnivoo asub põhjas:
  
  $E_0=mgh_0=250(9{.}81)(5)=12\,262{.}5\ \mathrm{J},\qquad E_{\mathrm{bottom}}=\tfrac12mv^{2}$
2. Mass taandub välja, nii et kiirus tuleneb üksnes kõrgusekaotusest:
  
  $\tfrac12mv^{2}=mgh_0\ \Rightarrow\ v=\sqrt{2gh_0}=\sqrt{2(9{.}81)(5)}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
3. Kineetilise energia arvutamisel läheb aga massi tarvis:
  
  $E_k=\tfrac12(250)(9{.}9045)^{2}=12\,263\ \mathrm{J}$
4. Vastasnõlval 2 m kõrgusel on langus alguspunktist kõigest 3 m:
  
  $v=\sqrt{2g(h_0-h)}=\sqrt{2(9{.}81)(5-2)}=7{.}672\ \mathrm{m/s}$
Vastus

Põhjas 9,9045 m/s kineetilise energiaga 12 263 J ning vastasnõlval 2 m kõrgusel 7,672 m/s. Põhi on tasane, mistõttu läbib käru selle tervikuna sama kiirusega 9,9045 m/s.

$v_{\mathrm{bottom}}=9{.}9045\ \mathrm{m/s},\quad E_k=12\,263\ \mathrm{J},\quad v(2\ \mathrm{m})=7{.}672\ \mathrm{m/s}$
Vähim algkiirus künka ületamiseks 3 sammu
Klassikalisel rajal alustab käru 5 m kõrguselt ning küngas kohal x = 3 on 6 m kõrge. Kui hõõrdumist pole, milline on vähim algkiirus, mis viib käru künkast üle, ja kui kiiresti liigub see seejärel 1 m kõrgusel nõos kohal x = 5?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Harjale võib käru jõuda vähimagi kiirusevaruta. Energia algusest künkaharjani:
  
  $\tfrac12v_0^{2}+gh_0=\tfrac12v_{\mathrm{top}}^{2}+gh_{\mathrm{top}},\qquad v_{\mathrm{top}}\ge0$
2. Avaldame algkiiruse:
  
  $v_0=\sqrt{2g(h_{\mathrm{top}}-h_0)}=\sqrt{2(9{.}81)(6-5)}=\sqrt{19{.}62}=4{.}4294\ \mathrm{m/s}$
3. Energia algusest nõoni, mis jääb stardist 4 m allapoole:
  
  $v=\sqrt{v_0^{2}+2g(h_0-h)}=\sqrt{19{.}62+2(9{.}81)(5-1)}=\sqrt{98{.}1}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
Vastus

4,4294 m/s ning nõos 9,9045 m/s. Täpselt sellise kiiruse annab paigalseisust 5 m langemine, sest algkiirus lisas täpselt selle 1 m kõrgust, mida küngas nõudis.

$v_0=4{.}4294\ \mathrm{m/s},\qquad v_{\mathrm{dip}}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
Hõõrdumisega rada 3 sammu
1 kg massiga käru lastakse paigalseisust lahti 5 m kõrgusel hõõrdumisega rajal, mis jõuab maapinnani 10 m eemal. Hõõrdetegur on 0,05. Kui kiiresti käru pärale jõuab ja kui palju energiat on hõõrdumine võtnud?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Igal sirglõigul teeb hõõrdejõud tööd μmg korrutatuna horisontaalse vahemaaga, seega üle terve raja kulub:
  
  $W_f=\mu mg\,d=0{.}05(1)(9{.}81)(10)=4{.}905\ \mathrm{J}$
2. Algenergia võrdub lõppenergia ning hõõrdejõu vastu tehtud töö summaga:
  
  $mgh_0=\tfrac12mv^{2}+W_f\ \Rightarrow\ v=\sqrt{2gh_0-2\mu g\,d}=\sqrt{98{.}1-9{.}81}=9{.}3963\ \mathrm{m/s}$
3. Hõõrdumiseta annaks sama langus:
  
  $\mu=0:\quad v=\sqrt{2(9{.}81)(5)}=9{.}9045\ \mathrm{m/s}$
Vastus

9,3963 m/s, kusjuures hõõrdumine võttis 4,905 J. Kaks nõgu ja nendevaheline küngas kaotust ei muuda: ka sirge 10 m kaldtee 5 m kõrguselt viiks lõppu sama kiirusega.

$v=9{.}3963\ \mathrm{m/s},\qquad W_f=4{.}905\ \mathrm{J}$
Kui kõrgele vastasnõlval? 3 sammu
Rennirajal on 5 m serv, 2 m laskuv nõlv, 4 m tasast põhja ning 2 m tõusev nõlv vastasservani, mis on samuti 5 m kõrge. Kui käru lastakse paigalseisust lahti hõõrdeteguriga 0,05, kui kõrgele vastasnõlval see tõuseb?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Peatugu käru vastasnõlval kõrgusel h. Too nõlv tõuseb 5 m kõrgusele 2 m horisontaalse vahemaa jooksul, seega kulub kõrguseni h jõudmiseks sellest 2h/5 ning horisontaalne kaugus stardist on:
  
  $d=2+4+\tfrac25h=6+0{.}4h$
2. Algenergia võrdub potentsiaalse energia ja hõõrdejõu vastu tehtud töö summaga peatushetkel:
  
  $gh_0=gh+\mu g\,(6+0{.}4h)$
3. Avaldame h:
  
  $h=\frac{h_0-6\mu}{1+0{.}4\mu}=\frac{5-0{.}3}{1{.}02}=4{.}6078\ \mathrm{m}$
Vastus

4,6078 m, mis jääb servast umbes 0,39 m puudu. Seejärel veereb käru tagasi ja iga järgmine põhja ületamine võtab jälle oma osa.

$h=4{.}6078\ \mathrm{m}$
Surmasõlm: kui kõrgelt tuleb alustada? 3 sammu
Käru veereb hõõrdevabalt paigalseisust mööda kallakut alla 4,0 m raadiusega ringikujulisse püstisesse surmasõlme. Kui kõrgelt peab see alustama, et püsida surmasõlme laes rajal, ning kui tugevalt surub rada põhjas 70 kg sõitjat?
Näita lahendust
1. Laes saab rada suruda üksnes allapoole, mistõttu peab raskusjõud üksi katma vähemalt vajaliku kesktõmbejõu:
  
  $mg\le\frac{mv_{\mathrm{top}}^{2}}{R}\ \Rightarrow\ v_{\mathrm{top}}^{2}\ge gR$
2. Energia algusest surmasõlme tippu, mis asub 2R kõrgusel:
  
  $gh=\tfrac12v_{\mathrm{top}}^{2}+g(2R)\ \ge\ \tfrac12gR+2gR\ \Rightarrow\ h\ge\tfrac52R=10\ \mathrm{m}$
3. Põhjas tuleneb kiirus täielikust langusest ning rada peab kandma nii sõitja kaalu kui ka andma kesktõmbejõu:
  
  $v_{\mathrm{bottom}}^{2}=2gh=5gR,\qquad N=mg+\frac{mv_{\mathrm{bottom}}^{2}}{R}=6mg=6(70)(9{.}81)=4120\ \mathrm{N}$
Vastus

Vähemalt 10 m ehk kaks ja pool raadiust, ning põhjas surub rada sõitjat jõuga 4 120 N, mis on kuus korda tema kaal. Just see kuus on põhjus, miks päris surmasõlmed pole ringikujulised: klotoid hoiab raadiuse väikese laes, kus kiirus on väike, ning suure all, kus see on suur.

$h_{\min}=2{.}5R=10\ \mathrm{m},\qquad N_{\mathrm{bottom}}=6mg=4120\ \mathrm{N}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

600 kg massiga käru liigub 30 m languse tipus kiirusega 2,0 m/s ja veereb mööda hõõrdevaba rada alla. Kui kiiresti liigub see 10 m kõrgusel maapinnast?

Näita vastust

19,91 m/s.

$v=\sqrt{2{.}0^{2}+2(9{.}81)(30-10)}=\sqrt{396{.}4}=19{.}91\ \mathrm{m/s}$
Kelk liigub hõõrdevaba nõlva jalamil kiirusega 8,0 m/s ja libiseb sellest üles. Kui kõrgele see tõuseb?

Näita vastust

3,262 m.

$h=\frac{v^{2}}{2g}=\frac{8{.}0^{2}}{2(9{.}81)}=3{.}262\ \mathrm{m}$
Klots lastakse sirgel kaldteel 3,0 m kõrgusel paigalseisust lahti ning see libiseb edasi mööda rõhtsat põrandat. Hõõrdetegur on kõikjal 0,15. Kui pika horisontaalse teekonna alguspunktist klots enne peatumist läbib?

Näita vastust

20 m igal kaldpinnal, mis on piisavalt järsk, et klots üldse libisema hakkaks (tan θ > 0,15, järsem kui 8,53°): hõõrdumisele kulub horisontaalsihi meetri kohta μg ning 3,0/0,15 = 20. Laugemal kaldpinnal ei liigu klots paigastki.

$mgh=\mu mg\,d\ \Rightarrow\ d=\frac{h}{\mu}=\frac{3{.}0}{0{.}15}=20\ \mathrm{m}$
Käru alustab paigalseisust 45 m kõrguse languse tipus ja läbib teel alla 60 m horisontaalset vahemaad, kusjuures hõõrdetegur on 0,02. Kui kiiresti liigub see all põhjas?

Näita vastust

29,315 m/s.

$v=\sqrt{2g(h-\mu d)}=\sqrt{2(9{.}81)(45-0{.}02\times60)}=29{.}315\ \mathrm{m/s}$
Käru alustab paigalseisust 12 m kõrgusel hõõrdevaba ringikujulise surmasõlme põhjast. Millise suurima raadiusega surmasõlme suudab see rajalt lahkumata läbida?

Näita vastust

4,8 m, sest alguskõrgus peab olema põhjast vähemalt 2,5 raadiust kõrgemal.

$h\ge\tfrac52R\ \Rightarrow\ R\le\frac{12}{2{.}5}=4{.}8\ \mathrm{m}$

Hõõrdumise kulu määrab horisontaalkaugus, mitte teepikkus

Nurga θ all kulgeval sirgel kaldpinnal on normaaljõud mg cos θ ning horisontaalkaugusele d vastav nõlva pikkus d/cos θ. Kosinused taanduvad välja, nii et hõõrdejõu töö on nurgast sõltumata μmgd: järsk langus ja lauge nõlv kaotavad sama horisontaalkauguse juures täpselt ühepalju energiat ning püstloodne kukkumine ei kaota midagi. Näites Hõõrdumisega laskub käru 10 m horisontaalsel teel läbi kahe nõo ja künka 5 m, kaotab 4,905 J/kg ning saavutab kiiruse 9,3963 m/s. Tulemus on täpselt sama, mida annaks samal 10 m pikkusel lõigul üksainus sirge kaldpind 5 m kõrguselt maapinnani. Raja kuju mõju ilmneb alles kurvides, mida see mudel ei arvesta: reaalne nõgu surub käru tugevamini vastu rööpaid ja nõuab rohkem energiat, kui valem ette näeb. Poolkanal on siin eriti ilmekas näide. Hõõrdumiseta tõuseb käru täpselt oma algkõrgusele tagasi, ilma vähimagi varuta. Seetõttu jätab ka kõige väiksem hõõrdumine selle vastasnõlval poolele teele: väärtusel μ = 0,05 peatub käru kõrgusel 4,6078 m.

Kiirus sõltub ainult kõrgusest

Hõõrdevabal rajal määrab kuuli kiiruse igas punktis täielikult see, kui kaugele alguspunktist on see langenud – vahepealse raja kuju ei oma mingit tähtsust. Peaaegu püstloodne sööst ja pikk lauge nõlv samale sügavusele annavad täpselt ühe ja sama kiiruse. Just seepärast ei saa kuul iial tõusta alguskõrgusest kõrgemale: selleks läheks vaja energiat, mida tal pole. Kui lisandub hõõrdumine, hajub iga horisontaalse meetriga osa energiast soojuseks.

Päris loopingud pole ringikujulised

Ameerika mäe looping näib ümar, kuid pole seda peaaegu kunagi — see on pisarakujuline klotoid, kõver, mille raadius tipu poole kitseneb. Täiuslikult ümmargune looping, mis liigub piisavalt kiiresti, et tipus rajal püsida, muljuks sõitjaid all julmade g-jõududega. Saksa insener Werner Stengel tõi klotoidse loopingu kasutusele 1976. aastal: väike raadius üleval (vähe kiirust vaja), laugem raadius all. Sama energia jäävus — targem geomeetria.

Harjutus

Kontrolli ennast

Ennusta vastust esmalt ise ja kasuta siis ülal olevaid juhtelemente. Ava lahendus alles siis, kui oled otsustanud — just see teebki sellest harjutuse.

Klõpsa Poolkanal, lohista asend tasase põhja keskele ja vaata kiiruse näitu. Nüüd asenda mass 1 kg massiga 500 kg. Ennusta esmalt kiirust.

Näita vastust

See jääb ikka 9.9045 m/s. Energia võrrandi igas liikmes sisaldub tegur m, mistõttu taandub see välja ning kiirus sõltub üksnes languse kõrgusest. Kineetiline energia muidugi muutub, kasvades väärtuselt 49.05 J väärtuseni 24,525 J: raskem käru kannab küll tunduvalt rohkem energiat, ent ei liigu kriipsugi kiiremini.
Stardis näitab mõõdik potentsiaalseks energiaks 49.05 J ja kineetiliseks energiaks 0 J. Kus saavutab käru sellel rajal oma suurima kiiruse ja kui suur on siis koguenergia?

Näita vastust

Kõige madalamas punktis, milleni see tegelikult küünib: 3 m kõrgusel kohal x = 2, kus kiirus on 6.2642 m/s. Nõgu kohal x = 5 on küll vaid 1 m kõrgusel, ent asub teisel pool 6 m küngast, millest käru üle ei roni. Koguenergia on seal ikka 49.05 J, millest 19.62 J on kineetiline.
Tõsta hõõrdetegur nullist kõrgemale. Kas energiakadu sõltub sellest, kui pika tee käru mööda rada läbib, või hoopis millestki muust?

Näita vastust

Läbitud horisontaalsest kaugusest. Kallakul kahaneb normaaljõud teguri cos θ võrra, samas kui teepikkus kasvab teguri 1/cos θ võrra. Nii kujunebki kuluks μgd, kus d tähistab horisontaalset kaugust, mitte teepikkust piki rada. Püstloodne langus ei võta midagi, rõhtne teelõik kulutab raja meetri kohta kõige enam. Kuna ka see kadu ei sõltu massist, peab eelmine vastus paika ka hõõrdumise korral.

Õpitee

Energia jõudude asemel

Allikad (1)

Why real loops are not circles, and what that does to the forces at the top: A.-M. Pendrill, "Roller coaster loop shapes revisited." Physics Education 51(3), 030106, 2016.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.