Kahe osakaalu võrdlemine

Sisesta kummagi rühma õnnestumiste arv ja valimi maht ning vali alternatiivne hüpotees, usaldusnivoo ja olulisuse nivoo α. Ülemisel joonisel on vahe p̂₁ − p̂₂ valimijaotus eeldusel, et p₁ = p₂, millel p-väärtus on viirutatud; selle all näed samal skaalal vahe p₁ − p₂ usaldusvahemikku.

Vahe p̂₁ − p̂₂ standardhälve	$\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$
Usaldusvahemik	$(\hat p_1-\hat p_2)\pm z^*\sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}$
Teststatistik, koondatud	$z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}},\quad\hat p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

Näidisarvutus — Kahe osakaalu võrdlemine

Valimi osakaal p̂₁	0,18
Valimi osakaal p̂₂	0,1
Vahe p̂₁ − p̂₂	0,08
Koondosakaal p̂c	0,116
Teststatistik z	2,23
p-väärtus	0,0255
Fisheri täpse testi p-väärtus	0,0464
Kriitiline väärtus z* nivoole 95%	1,96

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kahe osakaalu võrdlemine

Statistiline järeldamine kahe osakaalu korral võrdleb kahe üldkogumi või kahe raviviisi osakaale p₁ ja p₂ nende hinnangute vahe p̂₁ − p̂₂ kaudu: usaldusvahemik hindab vahet p₁ − p₂ ning olulisustest kontrollib nullhüpoteesi H₀: p₁ = p₂.

Kust valem tuleb

Vahe p̂₁ − p̂₂ valimijaotus. Sõltumatute korduvvalimite korral on vahe p̂₁ − p̂₂ keskväärtus p₁ − p₂. Kuna valimid on sõltumatud, dispersioonid liituvad — standardhälbed ühendatakse seega ruutjuure all, mitte kunagi lihtliitmisega. Jaotuse kuju on ligikaudu normaalne, kui n₁p₁, n₁(1 − p₁), n₂p₂ ja n₂(1 − p₂) on kõik vähemalt 10.
$\mu_{\hat p_1-\hat p_2}=p_1-p_2,\qquad\sigma^2_{\hat p_1-\hat p_2}=\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}$
Kontrolli eeldusi. Juhuslikkus: kaks sõltumatut juhuvalimit või katses juhusliku jaotamise teel moodustatud rühmad. 10% tingimus: tagasipanekuta valimi võtmisel moodustab kumbki valim ülimalt kümnendiku oma üldkogumist; katseisikute juhusliku jaotamise korral üldkogumit polegi ja see nõue ei kehti. Suured sagedused: usaldusvahemiku jaoks vähemalt 10 õnnestumist ja 10 ebaõnnestumist kummaski rühmas; testi jaoks neli koondosakaalust arvutatud oodatavat sagedust.
$\begin{aligned}&n_1\le0.1\,N_1,\quad n_2\le0.1\,N_2\\&x_i\ge10,\quad n_i-x_i\ge10\\&n_i\hat p_c\ge10,\quad n_i(1-\hat p_c)\ge10\end{aligned}$
Usaldusvahemik. (p̂₁ − p̂₂) ± z* korda standardviga, kusjuures kummalgi rühmal on oma p̂, sest vahemik ei eelda parameetrite p₁ ja p₂ kohta midagi. Kui vahemik sisaldab arvu 0, on erinevuse puudumine täiesti usutav väärtus; kui see jääb tervikuna arvust 0 üles- või allapoole, on see veenev tõend just selles suunas erinevuse kohta.
$(\hat p_1-\hat p_2)\pm z^*\,SE,\qquad z^*=1.645,\ 1.96,\ 2.576$
Test. Sõnasta H₀: p₁ = p₂ ja alternatiivne hüpotees. Kui H₀ kehtib, hindavad mõlemad valimid ühte ja sama osakaalu, mistõttu test ühendab need koondosakaaluks p̂c ning arvutab vahe p̂₁ − p̂₂ standardhälbe üksnes p̂c põhjal. Teststatistik z mõõdab täheldatud vahet selle standardhälbe ühikutes ning p-väärtus näitab tõenäosust saada H₀ kehtivuse korral vähemalt sama kaugele Hₐ suunas ulatuv vahe.
$H_0:\ p_1=p_2\ \Rightarrow\ \hat p_c=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2},\qquad\sigma_0=\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}$
Tee järeldus ja arvesta uuringu ülesehitust. Võrdle p-väärtust nivooga α ja sõnasta sisuline järeldus nagu ühe osakaalu korral. Seejärel hinda järelduste ulatust: juhuslik jaotamine võimaldab väita, et vahe põhjustas uuritav mõjur, juhuvalik aga lubab tulemusi üldistada uuritavatele üldkogumitele. Vaatlusuuringu kaks juhuvalimit saavad näidata, et üldkogumid erinevad, kuid ei suuda selgitada, miks.

Eeldab: Normaalmudel lähendab kahte binoomjaotust. Kui sagedused ei ole piisavalt suured, kuvab rakendus Fisheri täpse testi p-väärtuse: see loeb õnnestumiste koguarvu fikseerituks ja arvutab, kui sageli satuks n₁ + n₂ katseisiku juhuslikul jaotamisel 1. rühma vähemalt x₁ õnnestumist. Kahepoolne test kahekordistab jaotuse väiksema saba tõenäosuse.

Ülesanded täielikult lahendatud

Vahe p̂₁ − p̂₂ valimijaotus 3 sammu
Suurlinnas loeb ajalehte 30% täiskasvanutest ja 20% teismelistest. Võetakse sõltumatud juhuvalimid: 100 täiskasvanut ja 150 teismelist. Kirjelda vahe p̂₁ − p̂₂ valimijaotust ja leia tõenäosus, et täiskasvanute valimi osakaal osutub teismeliste omast väiksemaks.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Selle jaotuse keskväärtus ja hajuvus tulenevad teadaolevatest osakaaludest ja valimite mahtudest:
  
  $\begin{aligned}\mu_{\hat p_1-\hat p_2}&=0.3-0.2=0.1\\\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}&=\sqrt{\frac{0.3\,(0.7)}{100}+\frac{0.2\,(0.8)}{150}}\\&\approx0.0563\end{aligned}$
2. Kuju on ligikaudu normaalne, sest kõik neli oodatavat sagedust on vähemalt 10:
  
  $\begin{aligned}&100\,(0.3)=30,\quad100\,(0.7)=70\\&150\,(0.2)=30,\quad150\,(0.8)=120\end{aligned}$
3. Täiskasvanute osakaal on väiksem siis, kui p̂₁ − p̂₂ jääb alla 0:
  
  $\begin{aligned}P(\hat p_1-\hat p_2<0)&=P\!\left(Z<\frac{0-0.1}{0.0563}\right)\\&=P(Z<-1.78)\approx0.038\end{aligned}$
Vastus

Ligikaudu normaalne, keskväärtusega 0,1 ja standardhälbega 0,0563. Tõenäosus, et täiskasvanute valimi osakaal on väiksem, on umbes 0,038.

$\begin{aligned}&\hat p_1-\hat p_2\ \dot\sim\ N(0.1,\ 0.0563)\\&P(\hat p_1<\hat p_2)\approx0.038\end{aligned}$
Usaldusvahemiku koostamine 3 sammu
Ühe linna 300 täiskasvanuga juhuvalimis toetab 168 autokeeldu kesklinnas; teise linna 350 täiskasvanuga juhuvalimis teeb seda 140. Koosta ja tõlgenda kahe linna osakaalude vahe 95% usaldusvahemik.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Eeldused: kaks sõltumatut juhuvalimit; linnas on tunduvalt rohkem kui need 3000 ja 3500 täiskasvanut, mis teeksid valimist kümnendiku üldkogumist; 168, 132, 140 ja 210 on kõik vähemalt 10. Mõlema linna osakaalud:
  
  $\hat p_1=\frac{168}{300}=0.56,\qquad\hat p_2=\frac{140}{350}=0.4$
2. Standardviga kummagi linna enda osakaaluga:
  
  $\begin{aligned}SE&=\sqrt{\frac{0.56\,(0.44)}{300}+\frac{0.4\,(0.6)}{350}}\\&\approx0.0388\end{aligned}$
3. Korrutame kriitilise väärtusega z* = 1,96 ning liidame ja lahutame:
  
  $0.16\pm1.96\,(0.0388)=0.16\pm0.076$
Vastus

(0,084; 0,236). Oleme 95% kindlad, et keeldu toetavate täiskasvanute osakaal on esimeses linnas 8,4 kuni 23,6 protsendipunkti võrra suurem kui teises.

$(0.084,\ 0.236)$
Väite hindamine usaldusvahemiku abil 2 sammu
Klientide juhuvalimites tõi kauba tagasi kaupluses A 45 ostjat 150-st ja kaupluses B 52 ostjat 200-st. Juhataja väidab, et kahe kaupluse tagastusmäärad erinevad. Hinda seda väidet 95% usaldusvahemiku abil.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Vahe ja selle standardviga:
  
  $\begin{aligned}\hat p_1-\hat p_2&=0.3-0.26=0.04\\SE&=\sqrt{\frac{0.3\,(0.7)}{150}+\frac{0.26\,(0.74)}{200}}\\&\approx0.0486\end{aligned}$
2. Usaldusvahemik ja arvu 0 asukoht:
  
  $\begin{aligned}0.04\pm1.96\,(0.0486)&=0.04\pm0.095\\&=(-0.055,\ 0.135)\end{aligned}$
Vastus

Vahemik (−0,055; 0,135) sisaldab arvu 0, seega on erinevuse puudumine täiesti usutav väärtus: andmed ei anna veenvat tõendust selle kohta, et tagastusmäärad erineksid.

$0\in(-0.055,\ 0.135)$
Kahepoolne test katses 3 sammu
200 vabatahtlikku jagati juhuslikult kahte 100-liikmelisse rühma. Ühele rühmale saadeti meeldetuletav tekstsõnum; neist 62 lasi teha gripisüsti, samas kui teisest rühmast tegi seda 45 inimest. Kontrolli 5% olulisuse nivoo juures, kas meeldetuletusel on mõju, selgita, mida saadud järeldus lubab väita ning milline viga sellega kaasneda võib.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Hüpoteesid: H₀: p₁ = p₂, Hₐ: p₁ ≠ p₂. Eeldused: katseisikute juhuslik jaotamine; oodatavad sagedused kummaski rühmas (53,5 ja 46,5) on vähemalt 10. Kui H₀ kehtib, on rühmadel ühine osakaal:
  
  $\begin{aligned}&\hat p_c=\frac{62+45}{100+100}=0.535\\&100\,(0.535)=53.5\\&100\,(0.465)=46.5\end{aligned}$
2. Teststatistik koos koondosakaalust leitud standardhälbega:
  
  $\begin{aligned}z&=\frac{0.62-0.45}{\sqrt{0.535\,(0.465)\left(\frac{1}{100}+\frac{1}{100}\right)}}\\&=\frac{0.17}{0.0705}\approx2.41\end{aligned}$
3. Kahepoolne p-väärtus:
  
  $P=2\,P(Z\ge2.41)\approx0.016$
Vastus

p = 0,016 < 0,05, seega lükkame H₀ tagasi: meil on veenvad tõendid, et meeldetuletus muudab gripisüsti teinute osakaalu. Kuna rühmad moodustati juhusliku jaotamisega, põhjustas selle erinevuse just meeldetuletus; kuna tegemist oli vabatahtlikega, laieneb järeldus nendega sarnastele inimestele. Kui meeldetuletus tegelikult midagi ei muuda, on selline järeldus I liigi viga.

$P\approx0.016<0.05$
Ühepoolne test vaatlusandmetel 3 sammu
Koolipiirkonnas on 2600 pillimängijast õpilast ja 7400 õpilast, kes pilli ei mängi. Võetakse juhuvalimid: 200 pillimängijat ja 180 mittemängijat. Esimesest rühmast on autasustatute nimekirjas 26 ja teisest 18 õpilast. Kas nivoo α = 0,05 juures on veenvaid tõendeid selle kohta, et pillimängijate seas on autasustatute osakaal suurem?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Hüpoteesid: H₀: p₁ = p₂, Hₐ: p₁ > p₂. Eeldused: kaks sõltumatut juhuvalimit; 200 on alla kümnendiku 2600-st ja 180 alla kümnendiku 7400-st; oodatavad sagedused on 23,2, 176,8, 20,8 ja 159,2. Koondosakaal:
  
  $\hat p_c=\frac{26+18}{200+180}\approx0.1158$
2. Teststatistik:
  
  $\begin{aligned}z&=\frac{0.13-0.1}{\sqrt{0.1158\,(0.8842)\left(\frac{1}{200}+\frac{1}{180}\right)}}\\&=\frac{0.03}{0.0329}\approx0.91\end{aligned}$
3. Ühepoolne p-väärtus:
  
  $P=P(Z\ge0.91)\approx0.181$
Vastus

p = 0,181 ≥ 0,05, seega ei lükka me H₀ tagasi: puuduvad veenvad tõendid, et pillimängijad jõuavad autasustatute nimekirja sagedamini. Isegi väga väike p-väärtus ei tõestaks, et pillimäng parandab hindeid, sest tegemist on kahe vaatlusrühmaga, mitte katseliselt määratud jaotusega.

$P\approx0.181\ge0.05$
Kui sagedused pole piisavad: Fisheri täpne test 2 sammu
Pilootuuringus jaotati 20 patsienti juhuslikult kahte rühma: 10 sai uut ravimit ja 10 platseebot. Ravimi saanutest paranes 5 ja platseebo saanutest 1. Kas z-test on siin kohane? Leia täpne p-väärtus alternatiivile Hₐ: p₁ > p₂.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Testi suurte sageduste tingimus ei ole täidetud:
  
  $\hat p_c=\frac{5+1}{20}=0.3,\qquad10\,(0.3)=3<10$
2. Kui ravimil toimet pole, oleksid need 6 patsienti paranenud niikuinii ja üksnes juhuslik rühmadesse jaotamine määras, kui paljud neist sattusid ravimirühma. Tõenäosus, et sinna sattus 5 või 6 paranenut:
  
  $\begin{aligned}P(X_1\ge5)&=\frac{\binom{10}{5}\binom{10}{1}+\binom{10}{6}\binom{10}{0}}{\binom{20}{6}}\\&=\frac{2520+210}{38760}\approx0.070\end{aligned}$
Vastus

Ei ole: kummagi rühma oodatavad sagedused on 3 ja 7. Täpne p-väärtus on 0,070 (normaaljaotuse lähend annab 0,025), seega ei anna see eelkatse 5% nivoo juures veenvat tõendust.

$P_{\mathrm{exact}}\approx0.070,\quad P_{\mathrm{normal}}\approx0.025$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Leia kahe linna andmete põhjal (168 juhtu 300-st ja 140 juhtu 350-st) osakaalude vahe 90% usaldusvahemik.

Näita vastust

(0,096; 0,224)

$\begin{aligned}0.16\pm1.645\,(0.0388)&=0.16\pm0.064\\&=(0.096,\ 0.224)\end{aligned}$
Korda gripisüsti testi (62 juhtu 100-st ja 45 juhtu 100-st) olulisuse nivool α = 0,01. Milline on otsus ja millist liiki viga võib seejuures tekkida?

Näita vastust

p = 0,016 ≥ 0,01: ei lükka H₀ tagasi. Kui meeldetuletus tegelikult mõjub, on tegemist II liigi veaga.

$P\approx0.016\ge0.01$
Miks arvutab test koondosakaalu, samas kui usaldusvahemik seda ei tee?

Näita vastust

Test tehakse eeldusel, et H₀ kehtib. Kui H₀ on tõene, hindavad mõlemad valimid ühte ja sama osakaalu ning nende ühendamine annab parima võimaliku hinnangu. Usaldusvahemik hindab vahet p₁ − p₂ ilma võrdsust eeldamata, mistõttu kasutab kumbki rühm omaenda osakaalu p̂.
Hinda vaktsiiniuuringu teststatistikut z valemiga z ≈ (a − b)/√(a + b), kui haigusjuhte oli 8 ja 162.

Näita vastust

z ≈ −11,8

$z\approx\frac{8-162}{\sqrt{170}}\approx-11.8$
Vahe p₁ − p₂ 95% usaldusvahemik on (−0,12; −0,03). Mida ütleb see kahe osakaalu kohta?

Näita vastust

See ei sisalda arvu 0, seega on meil veenev tõend, et p₁ on väiksem kui p₂, kusjuures vahe jääb kuskil 3 ja 12 protsendipunkti vahele.

$0\notin(-0.12,\ -0.03)$
Juhuvalimid 400 suitsetaja ja 400 mittesuitsetajaga näitavad, et suitsetajate seas köhib märksa suurem osa inimesi (p < 0,0001). Kas see uuring tõestab, et suitsetamine põhjustab köha?

Näita vastust

Üksinda mitte: tegemist on vaatlusuuringuga, mis näitab vaid kahe üldkogumi erinevust, ning seda vahet võib tegelikult põhjustada mõni varjatud segav tunnus. Põhjuslikkust saaks tõestada vaid katseisikute juhuslik jaotamine rühmadesse, kuid inimeste sundimine suitsetama oleks ebaeetiline.
Kui võrrelda sagedusi 40 juhtu 100-st ja 27 juhtu 100-st, on 2 × 2 tabeli hii-ruut-statistik 3,793. Leia kahe osakaalu z-testi statistik ilma selle tavapärast valemit kasutamata.

Näita vastust

z = √3,793 ≈ 1,95; positiivne seetõttu, et p̂₁ = 0,4 on suurem osakaal

$z=\sqrt{3.793}\approx1.95$

Võrdsete rühmade korral saab vaid vahemik olla julgem

Vajuta 18/100 ja 40/400. Test lükkab hüpoteesi p₁ = p₂ tagasi (p = 0,0255), kuid vahe p₁ − p₂ 95% usaldusvahemik −0,0008 kuni 0,1608 sisaldab endiselt arvu 0. Nüüd vajuta 40/100 ja 27/100: vahemik 0,0004 kuni 0,2596 jätab arvu 0 välja, kuid test ei lükka hüpoteesi H₀ tagasi (p = 0,0515). Fisheri täpne test toetab mõlemal korral z-testi (p-väärtused 0,0464 ja 0,0718), seega pole süüdi normaaljaotuse lähendus. Mõlemad meetodid mõõdavad sama vahet eri standardvigadega. Test eeldab nullhüpoteesi kehtivust ja ühendab seetõttu mõlemad valimid üheks koondosakaaluks (esimesel juhul 0,116); usaldusvahemik ei eelda parameetrite kohta midagi ning lubab kummalgi rühmal säilitada omaenda osakaalu. Esimeses näites annab väiksema rühma osakaal 0,18 põhiosa ühendamata dispersioonist ning koondamine asendab selle väärtusega, mida 400 vaatlust allapoole tõmbavad. Kui rühmad on ühesuurused, ületab koondatud dispersioon ühendamata dispersiooni täpselt suuruse (p̂₁ − p̂₂)²/(2n) võrra. Testi mõõdupuu pole seega kunagi lühem: usaldusvahemik võib jätta arvu 0 välja olukorras, kus test säilitab hüpoteesi H₀, vastupidiseks lahknevuseks on aga kindlasti vaja erisuurusi rühmi.

z² on sama tabeli hii-ruut-statistik

Kirjutame näite 18/100 ja 40/400 sagedused õnnestumiste ja ebaõnnestumiste 2 × 2 tabelina: 18 ja 82, 40 ja 360. Selle tabeli hii-ruut-statistik, summa kujul (O − E)²/E ilma pidevuse paranduseta, on 4,993 — täpselt nagu z² (enne ümardamist on z = 2,2345). See seos kehtib iga tabeli korral ja ainult seepärast, et test koondab osakaalud: hii-ruut-test arvutab oodatavad sagedused üldisest õnnestumiste osakaalust, mis ongi p̂c. Usaldusvahemiku standardveal põhinev z, 0,08/0,0412 = 1,94, annab ruutu võttes 3,76 ega kattu siin millegagi. Ka p-väärtused langevad kokku: mõlemal juhul 0,0255, sest ühe vabadusastmega hii-ruut-jaotusega suurus on standardse normaaljaotusega suuruse ruut. Ruutu võtmine kaotab märgi, mistõttu 2 × 2 tabeli hii-ruut-test saab vastata üksnes kahepoolsele küsimusele. Kui sisestad need neli sagedust hii-ruut-testi lehel 2 rea ja 2 veeruga tabelisse, kuvatakse täpselt sama 4,993.

Vaktsiiniuuringu tõendusjõud peitus 170 haigusjuhus, mitte 43 448 inimeses

Vajuta Vaktsiinikatse, 2020. Pfizeri-BioNTechi vaktsiini uuringus sai 21 720 inimest vaktsiini ja 21 728 platseebot ning teadlased loendasid esimeses rühmas 8 Covid-19 juhtu teise rühma 162 vastu (Polack jt, 2020). Osakaalude vahe on alla ühe protsendipunkti ja z = −11,83. Kuna rühmad on peaaegu võrdse suurusega, saab teststatistiku teisendada täpselt kujule z = (a − b)/√((a + b)(1 − p̂c)), kus a ja b tähistavad haigusjuhtude arvu. Harva esineva sündmuse korral on viimane tegur 1 lähedal: z ≈ (8 − 162)/√170 = −11,8. Inimeste koguarv on valemist taandunud. Kümme korda rohkem vabatahtlikke samade 8 ja 162 juhu juures annaks peaaegu sama z; samas kui needsamad osalejad 85 juhuga kummaski rühmas annaksid z = 0. (Artiklis võeti arvesse vaid varasema nakatumise tunnusteta osalejad, keda oli siinsetest koguarvudest vähem, kuid samal põhjusel ei muutu z sellest peaaegu üldse.) Haruldase sündmuse uuringusse on vaja kümneid tuhandeid inimesi eelkõige seetõttu, et vaid nii koguneb analüüsiks piisavalt haigusjuhte.

Õpitee

Statistika: andmetest osakaaludeni

Allikad (2)

Insight block 3 and the vaccine preset: 21,720 people received the BNT162b2 vaccine and 21,728 a placebo, and 8 cases of Covid-19 were counted in the first group against 162 in the second, at least 7 days after the second dose: Polack, F. P., Thomas, S. J., Kitchin, N. et al. (2020). Safety and efficacy of the BNT162b2 mRNA Covid-19 vaccine. New England Journal of Medicine, 383(27), 2603–2615.
Fisher's exact test, which the page prints beside the z-test: it conditions on both margins of the 2 × 2 table, so the count in one cell is hypergeometric, and a large-sample approximation is unnecessary when the exact distribution can be computed: Agresti, A. (1992). A survey of exact inference for contingency tables. Statistical Science, 7(1), 131–153.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Kahe osakaalu võrdlemine

Kust valem tuleb

Lisaülesanded, ainult vastustega

Võrdsete rühmade korral saab vaid vahemik olla julgem 🖖

z² on sama tabeli hii-ruut-statistik 🖖

Vaktsiiniuuringu tõendusjõud peitus 170 haigusjuhus, mitte 43 448 inimeses 🖖

Võrdsete rühmade korral saab vaid vahemik olla julgem

z² on sama tabeli hii-ruut-statistik

Vaktsiiniuuringu tõendusjõud peitus 170 haigusjuhus, mitte 43 448 inimeses