ベイズ的バイオシグネチャー更新

バイオシグネチャーの検査結果が陽性であったが、生命が存在する確率は16%である。その理由を説明し、検査に関する2つの数値のうち、実際に費用を投じて改善すべきなのはどちらかを求めよ。

1. ベイズの定理は、陽性反応が起こる2つの経路、すなわち真の検出と誤警報の重みを比較する。どちらも証拠が得られる確率であり、そもそもそれぞれのケースがどれだけ存在するかを決定するのは事前確率である。

   $$P(L\mid+)=\frac{P(+\mid L)P(L)}{P(+\mid L)P(L)+P(+\mid\neg L)P(\neg L)}$$

2. 数値を代入すると、真陽性の0.0150に対して偽陽性は0.0784となる。誤警報は真の検出を5対1の割合で上回っているが、検査自体に問題があるわけではない。単に事前確率が小さいのである。

   $$=\frac{0.75\times0.02}{0.75\times0.02+0.08\times0.98}=\frac{0.0150}{0.0150+0.0784}$$

3. したがって、陽性反応が出た場合に生命が存在する確率は16.06%にとどまり、83.94%は誤警報ということになる。これは希少疾患の医療スクリーニング検査と全く同じ計算であり、人々が同じように驚かされる結果でもある。

   $$=\frac{0.0150}{0.0934}=16.06\%\quad\Longrightarrow\quad 83.94\%\ \text{false alarms}$$

4. オッズ形式で表すと、事前オッズに尤度比を掛け合わせるという構造が明確になる。この検査には9.375倍という倍率があり、これは確かな証拠となるが、出発点となるオッズが49分の1から始まっているに過ぎない。

   $$\text{odds}:\ \frac{0.02}{0.98}\times\frac{0.75}{0.08}=0.0204\times9.375=0.191$$

5. ここで2つの入力値を変化させてみる。感度を0.75から1へ引き上げたとしても、証拠は最大で1.33倍にしかならない。一方、偽陽性率を0.08から0.01へ引き下げると、それは8倍になり、事後確率は60.5%に達する。

   $$\text{fpr}=0.01\Rightarrow60.5\%;\quad 0.005\Rightarrow75.4\%;\quad 0.001\Rightarrow93.9\%$$