モンティ・ホール問題

閉まったドアの後ろに一台の車と何頭かのヤギがいます。一つのドアを選び、司会者に他のドアを開けさせ、変更するかどうかを決めてください。このページでは、司会者のルールと彼の行動から各ドアの後ろに車がある確率を計算し、何千回ものゲームをプレイしてそれを確認したり、あなた自身でプレイしたりすることができます。下の表は、その計算過程を示しています。

ベイズの定理：司会者の行動という証拠	$P(C_i\mid H)=\frac{P(H\mid C_i)\,P(C_i)}{\sum_j P(H\mid C_j)\,P(C_j)}$
正解を知っており、無作為に k 枚のヤギの扉を開ける司会者	$\begin{aligned}P(C_{d_0}\mid H)&=\frac{1}{n}\\P(C_d\mid H)&=\frac{n-1}{n\,(n-1-k)}\end{aligned}$

計算例 — モンティ・ホール問題

各ドアの事前確率	1/3
尤度, ドア 1 · あなたの選択	1/2
尤度, ドア 2 · 閉まっている	1
尤度, ドア 3 · 開いている	0 · ヤギが現れた
証拠	1/2
事後確率, ドア 1 · あなたの選択	1/3
事後確率, ドア 2 · 閉まっている	2/3
事後確率, ドア 3 · 開いている	0

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レッスン

理論 — モンティ・ホール問題

司会者が動いたあと、ある扉の後ろに車がある確率は、ベイズの定理から導かれます。その扉の事前確率 1 ÷ n に、「仮にそこに車があったとして、司会者が実際にその行動を取る尤度」を掛け、司会者の行動が起きる全確率で割るのです。

各記号の意味

n: ドアの数
k: 司会者が開けるドアの数
P(H | C_i): 尤度: 車がドア i にあるとした場合に、司会者が実際に取った行動をとる確率
P(C_i | H): 事後確率: 司会者の行動を見た後で、車がドア i にある確率

公式の導き方

仮説を立て、それぞれに事前確率を割り振ります。扉 i の後ろに車がある事象を C_i と置くと、司会者が動く前は、どの扉も同様に確からしい状態です。
$P(C_i)=\frac{1}{n},\qquad i=1,\dots,n$
それぞれの仮説のもとで、司会者の行動 H の尤度を書き出します。司会者のルールが計算に関わるのは、この段階だけです。正解を知っており、開けられるヤギの扉の中から無作為に k 枚を開ける司会者を考えましょう。あなたが選んだ扉を d₀、司会者が開けた扉の集合を O とすると：
$\begin{aligned}P(H\mid C_{d_0})&=\frac{1}{\binom{n-1}{k}}\\P(H\mid C_d)&=\frac{1}{\binom{n-2}{k}},\quad d\notin O\\P(H\mid C_d)&=0,\quad d\in O\end{aligned}$
司会者の行動が起きる全確率を足し合わせます。
$P(H)=\sum_{j=1}^{n}P(C_j)\,P(H\mid C_j)$
それぞれの「事前確率 × 尤度」を全確率で割ります。正解を知っている司会者の場合、彼がどの扉を開けようと、あなたが選んだ扉の確率は 1/n のまま変わりません。そして、残された m = n − 1 − k 枚の閉じた扉には、それぞれ (n − 1)/(nm) の確率が割り振られます。
$\begin{aligned}P(C_i\mid H)&=\frac{P(C_i)\,P(H\mid C_i)}{P(H)}\\P(C_{d_0}\mid H)&=\frac{1}{n},\qquad P(C_d\mid H)=\frac{n-1}{n\,m}\end{aligned}$

全プロセスの詳細解説

ベイズの定理による三つのドア 4 ステップ
あなたはドア1を選びます。車の場所を知っており、必ずヤギのドアを開け、選択肢がある時はランダムに選ぶ司会者が、ドア3を開けました。車がドア1にある確率とドア2にある確率を求めてください。三つのドアを押して確認しましょう。

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1. 司会者が動く前は、各ドアの確率は等しくなります:
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. 車があると考えられるそれぞれの場所について、彼がドア3を開ける確率はどれくらいでしょうか？
  
  $P(H_3\mid C_1)=\tfrac12,\qquad P(H_3\mid C_2)=1,\qquad P(H_3\mid C_3)=0$
3. 彼がドア3を開ける全体の確率:
  
  $P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot 1+\tfrac13\cdot 0=\tfrac12$
4. 各ドアの事前確率と尤度の積を、その全体の確率で割ります:
  
  $P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac12}=\tfrac13,\qquad P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac12}=\tfrac23$
解答

車がドア1にある確率は1/3で、ドア2にある確率は2/3です。すべての答えは二つ目のステップにあります。もし車がドア2にあれば、彼はドア3を開けざるを得ません。もし車がドア1にあれば、彼は半分の確率でしかドア3を開けません。したがって、彼がドア3を開ける確率は、車がドア2にある場合の方が二倍高くなります。

$P(C_1\mid H_3)=\tfrac13,\qquad P(C_2\mid H_3)=\tfrac23$
4枚の扉、開かれたのは1枚 5 ステップ
扉が4枚あります。あなたが扉1を選ぶと、正解を知っている司会者は、残された扉の中からヤギのいる扉を1枚開けます（選べる扉が複数あるときは無作為に選びます）。司会者は扉4を開けました。まだ閉じているそれぞれの扉の後ろに車がある確率を求め、司会者が動く前の全事象を数え上げて確かめてみましょう。

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1. 司会者が動く前：
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=P(C_4)=\tfrac14$
2. 車がそれぞれの扉にあるとき、司会者が扉4を開ける尤度はどれほどでしょうか。車が扉1にある場合、選べるヤギの扉は3枚あります。車が扉2または扉3にある場合は、2枚しかありません：
  
  $\begin{aligned}&P(H_4\mid C_1)=\tfrac13\\&P(H_4\mid C_2)=P(H_4\mid C_3)=\tfrac12\\&P(H_4\mid C_4)=0\end{aligned}$
3. 司会者が扉4を開ける全確率：
  
  $P(H_4)=\tfrac14\left(\tfrac13+\tfrac12+\tfrac12\right)=\tfrac13$
4. 各扉の「事前確率 × 尤度」を全確率で割ります：
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_4)=\dfrac{\tfrac14\cdot\tfrac13}{\tfrac13}=\tfrac14\\&P(C_2\mid H_4)=P(C_3\mid H_4)=\dfrac{\tfrac14\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac38\end{aligned}$
5. ベイズの定理を使わずに、同じ値を考えてみましょう。無作為に選んだ別の閉じた扉へ変えて当たるのは、最初の選択がハズレだった場合（確率 3/4）だけであり、そのとき車は残る2枚の閉じた扉のどちらか一方にあります：
  
  $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{8}$
解答

扉1は 1/4 のまま、扉2と扉3はそれぞれ 3/8 になります。扉を変えるほうが有利ですが、かつて扉2、3、4が合わせて持っていた 3/4 の確率は、いまや2枚の扉で分け合われるため、どちらも単独では 3/4 に届きません。

$P(C_1\mid H_4)=\tfrac14,\qquad P(C_2\mid H_4)=P(C_3\mid H_4)=\tfrac38$
正解を知らない司会者 4 ステップ
扉が3枚あり、あなたは扉1を選びます。この司会者は車の場所を知りません。扉2または扉3を無作為に開けたところ、偶然にも扉3からヤギが現れました。車が扉1の後ろにある確率と、扉2の後ろにある確率をそれぞれ求めましょう。確認するには何も知らない司会者を押します。

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1. 司会者が動く前：
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. 扉3が開いてヤギが現れる事象を H₃ と置きます。車が扉1または扉2にあるとき、司会者は 1/2 の確率で扉3を開け、そこにはヤギがいます。車が扉3にある場合は、開けると車が出てしまうため、H₃ は起こり得ません：
  
  $\begin{aligned}&P(H_3\mid C_1)=\tfrac12\\&P(H_3\mid C_2)=\tfrac12\\&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. H₃ が起きる全確率：
  
  $P(H_3)=\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot\tfrac12+\tfrac13\cdot 0=\tfrac13$
4. 全確率で割ります：
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac12\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot\tfrac12}{\tfrac13}=\tfrac12\end{aligned}$
解答

1/2 と 1/2 です。開いた扉も現れたヤギも、最初の問題と何ら変わりません。変わったのは扉2の尤度だけで、1 から 1/2 に落ちています。この司会者は、車を避ける必然性がなかったからです。

$P(C_1\mid H_3)=P(C_2\mid H_3)=\tfrac12$
好みの扉がある司会者 5 ステップ
扉が3枚あり、あなたは扉1を選びます。司会者は車の場所を知っています。車が扉1にあり、扉2と扉3のどちらも開けられる状況では、司会者は確率 p で扉2を開けます。彼が扉2を開けた場合と、扉3を開けた場合のそれぞれについて、扉を変えて当たる確率を求めましょう。続いて p = 1、すなわち番号が小さい方のヤギの扉を必ず開ける司会者の場合を考えます。p = 1 を確認するには偏った司会者が2を開けるを押します。

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1. 司会者が動く前：
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. それぞれの行動の尤度です。車が扉2または扉3にある場合、司会者に選ぶ余地はありません：
  
  $\begin{aligned}&P(H_2\mid C_1)=p,&&P(H_3\mid C_1)=1-p\\&P(H_2\mid C_2)=0,&&P(H_3\mid C_2)=1\\&P(H_2\mid C_3)=1,&&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. 各行動が起きる全確率：
  
  $\begin{aligned}&P(H_2)=\tfrac13(1+p)\\&P(H_3)=\tfrac13(2-p)\end{aligned}$
4. 全確率で割ります。扉2が開いたあとに変えるなら扉3を、扉3が開いたあとなら扉2を選ぶことになります：
  
  $\begin{aligned}&P(C_3\mid H_2)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac13(1+p)}=\dfrac{1}{1+p}\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac13(2-p)}=\dfrac{1}{2-p}\end{aligned}$
5. p = 1 の場合：
  
  $p=1:\quad P(C_3\mid H_2)=\tfrac12,\quad P(C_2\mid H_3)=1$
解答

扉を変えて当たる確率は、扉2が開いたあとは 1/(1 + p)、扉3が開いたあとは 1/(2 − p) です。0 から 1 までのあらゆる p においてどちらも 1/2 以上となるため、司会者にどんな好みがあろうと、扉を変える戦略がそのまま残すより損をすることはありません。p = 1 のときは 1/2 と 1 になり、最初の問題の司会者である p = 1/2 のときは、どちらも 2/3 になります。

$\dfrac{1}{1+p}\ge\tfrac12,\qquad\dfrac{1}{2-p}\ge\tfrac12\qquad(0\le p\le1)$
提案そのものが証拠になるとき 5 ステップ
扉が3枚あり、あなたは扉1を選びます。あなたが車を当てている場合、司会者は必ず扉の変更を提案します。ヤギを選んでいた場合は、確率 q でのみ変更を提案します。司会者は提案の際、必ずヤギの扉を開け、2枚あるときは無作為に選びます。いま司会者が変更を提案し、扉3を開けました。q がどのような値のとき、扉を変えるべきでしょうか。モンティ・ヘルは q = 0 の場合です。モンティ・ヘルを押して確認してみましょう。

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1. 司会者が動く前：
  
  $P(C_1)=P(C_2)=P(C_3)=\tfrac13$
2. ここでの H₃ は、「変更が提案され、扉3が開けられた」という事象です。車が扉1にある場合、司会者は確実に変更を提案し、1/2 の確率で扉3を開けます。車が扉2にある場合は、確率 q で提案し、必ず扉3を開けることになります。車が扉3にある場合は、その扉を開けるわけにはいきません：
  
  $\begin{aligned}&P(H_3\mid C_1)=1\cdot\tfrac12\\&P(H_3\mid C_2)=q\cdot 1\\&P(H_3\mid C_3)=0\end{aligned}$
3. H₃ が起きる全確率：
  
  $P(H_3)=\tfrac13\left(\tfrac12+q\right)$
4. 全確率で割ります：
  
  $\begin{aligned}&P(C_1\mid H_3)=\dfrac{\tfrac12}{\tfrac12+q}=\dfrac{1}{1+2q}\\&P(C_2\mid H_3)=\dfrac{q}{\tfrac12+q}=\dfrac{2q}{1+2q}\end{aligned}$
5. 残る2枚の閉じた扉を比べます：
  
  $\begin{aligned}&\dfrac{2q}{1+2q}>\dfrac{1}{1+2q}\iff q>\tfrac12\\&q=1:\ \tfrac23\\&q=0:\ 0\end{aligned}$
解答

q > 1/2 なら変え、q < 1/2 ならそのままにします。q = 1/2 ではどちらも等しくなります。常に変更を持ちかける司会者（q = 1）なら変えたときの確率は 2/3 ですが、モンティ・ヘル（q = 0）では 0 になってしまいます。提案そのものが証拠なのです。ハズレを選んだときに提案してくる頻度が当たりのときの半分未満であるなら、その提案は「変えるな」というサインに他なりません。

$P(C_2\mid H_3)=\dfrac{2q}{1+2q}>\tfrac12\iff q>\tfrac12$
ベルトランの箱 4 ステップ
三つの箱に、金貨2枚、銀貨2枚、金貨と銀貨が1枚ずつ入っています。箱を無作為に一つ選び、その中から硬貨を1枚無作為に取り出したところ、金貨でした。その箱にあるもう1枚の硬貨も金貨である確率を求めましょう。
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1. それぞれの箱を GG、SS、GS と呼ぶことにします。硬貨を取り出す前：
  
  $P(GG)=P(SS)=P(GS)=\tfrac13$
2. それぞれの箱から金貨が出る尤度はどれほどでしょうか：
  
  $\begin{aligned}&P(G\mid GG)=1\\&P(G\mid SS)=0\\&P(G\mid GS)=\tfrac12\end{aligned}$
3. 金貨が取り出される全確率：
  
  $P(G)=\tfrac13\cdot 1+\tfrac13\cdot 0+\tfrac13\cdot\tfrac12=\tfrac12$
4. 全確率で割ります：
  
  $P(GG\mid G)=\dfrac{\tfrac13\cdot 1}{\tfrac12}=\tfrac23$
解答

金貨が入っている可能性のある二つの箱を数えて得られる 1/2 ではなく、2/3 です。金貨だけの箱からは毎回金貨が出ますが、混合の箱から出る確率は半分ですから、出た金貨が金貨だけの箱から来た可能性は2倍高いのです。ジョセフ・ベルトランが 1889 年の著書 Calcul des probabilités でこの問題を提示したのは、スティーブ・セルヴィンが The American Statistician の読者に3枚の扉の問題を投げかける 86 年前のことでした。

$P(GG\mid G)=\tfrac23$

補充問題（答えのみ）

A、B、Cの3人の囚人が、無作為に選ばれた1人のみが恩赦になると知らされます。Aは看守に、自分以外の2人のうち処刑される1人の名前を教えてほしいと頼みました。2人とも処刑される場合、看守は無作為に1人の名前を挙げます。看守がBの名を挙げたとき、Aが恩赦になる確率と、Cが恩赦になる確率をそれぞれ求めましょう。

答えを表示

1/3 と 2/3 です。看守を司会者に置き換えた、3枚の扉と同じ構造です。

$\tfrac13,\qquad\tfrac23$
扉が100枚あります。正解を知っている司会者が、あなたが選ばなかった99枚の扉のうち98枚を開け、そのすべてがヤギでした。あなたが選んだ扉と、司会者が閉じたまま残した扉の確率をそれぞれ求めましょう。

答えを表示

1/100 と 99/100 です。

$\tfrac{1}{100},\qquad\tfrac{99}{100}$
扉が5枚あります。正解を知っている司会者が、あなたが選ばなかった4枚の中から無作為にヤギの扉を2枚開けました。あなたが選んだ扉の確率と、残された2枚の閉じた扉それぞれの確率を求めましょう。

答えを表示

1/5、残る扉はそれぞれ 2/5 です。

$\tfrac15,\qquad\tfrac25$
扉が10枚あります。正解を知らない司会者が、あなたが選ばなかった9枚の扉から無作為に8枚を開けたところ、8枚すべてがヤギでした。あなたが選んだ扉の確率、もう1枚の閉じた扉の確率、そしてこのように司会者が8頭すべてのヤギを引き当てる確率を求めましょう。

答えを表示

1/2 と 1/2 です。司会者が8頭ともヤギを出す確率は 1/5 です。

$\tfrac12,\qquad\tfrac12;\qquad\tfrac{10-8}{10}=\tfrac15$
好みの扉がある司会者の問題で、p = 1/3 とします。彼が扉3を開けたとき、扉を変えて当たる確率を求めましょう。

答えを表示

1/(2 − 1/3) = 3/5 です。

$\dfrac{1}{2-\tfrac13}=\tfrac35$
正解を知っている司会者と 1000 回ゲームを行うとき、扉を変えた場合の勝率が 95% の確率で収まるのは、どの二つの割合の間でしょうか。

答えを表示

2/3 ± 1.96 √((2/3 · 1/3)/1000)：63.74% から 69.59% です。

$\tfrac23\pm1.96\sqrt{\dfrac{\tfrac23\cdot\tfrac13}{1000}}=[0.6374,\ 0.6959]$

変更すると三回に二回当たる

三つのドアを押してください。あなたはドア1を選びますが、そこに車がある確率は三分の一です。司会者が何をしようとも、この確率は変わりません。あなたのドアの後ろに車がある場合、彼は半分の確率でドア3を開けますし、選択肢がある場合はランダムに選ぶため、彼の行動はドア1に関するいかなる情報ももたらしません。彼はドア3を開けてヤギを見せます。車がドア2またはドア3にあるという三分の二の確率は、今や全てドア2に集約されるため、変更すると3回に2回当たります。100のドアを押すと、事態はもっと単純です。あなたは百あるドアのうちの一つを選び、司会者は残りのドアのうち98を開けてヤギを見せます。閉まったまま残されたたった一つのドアこそが選ぶべきものであり、変更すると100回に99回当たります。1990年にマリリン・ボス・サバントがParade誌のコラムでこの三つのドアの解答を示した際、彼女が間違っていると指摘する何千通もの手紙が届き、その多くは博士号を持つ人々からのものでした。

司会者が正解を知らなければ、同じ状況でも結果は異なる

何も知らない司会者を押してください。あなたは先ほどと全く同じ状況を目にします。ドア1が選ばれ、ドア3が開いていて、ヤギがいます。しかし、この司会者はランダムにドアを開け、たまたま車を外しただけです。そのため、そのままにしても変更しても当たる確率は2回に1回となります。確率は、目に見える結果だけでなく、その結果を生み出したルールに依存します。正解を知っており、必ずヤギを見せ、可能な場合はランダムに選ぶ司会者は、あなた自身のドアについて何も教えてはくれません。彼がドア3から取り除いた全ての確率は、ドア2へと移ります。ランダムにドア3を開けた司会者は、車がドア1にある場合でもドア2にある場合でも、全く同じ頻度でヤギを見せたはずです。したがって、このヤギはどちらのドアが有利かを示すものではありません。

司会者がどのドアを開けるかが、すべての答えになり得る

偏った司会者が2を開けるを押してください。この司会者は、開けられるヤギのドアのうち常に一番番号の小さいものを開けます。車がドア1にあってもドア3にあっても彼が開けるのはドア2です。したがって、それを見てもどちらかが有利になるわけではなく、そのままにするか変更するかが当たる確率は2回に1回です。偏った司会者が3を開けるを押してください。彼はドア2を飛ばしましたが、そんなことをするのはその後ろに車がある時だけです。そのため、変更すれば毎回必ず当たります。ゲーム全体で平均すると、三分の二の割合で勝率が半分になり、三分の一の割合で確実に当たるため、変更して当たる確率は依然として3回に2回となります。モンティ・ヘルは、あなたがすでに車を見つけている場合にのみ変更を提案する司会者であり、提案があった場合、変更すると必ず外れます。

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7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。