Primitivas

A integração tem uma regra da potência, tal como a derivação, e todas as tabelas indicam uma exceção: n = −1. Deslize n por essa exceção e observe o que acontece. Depois, acompanhe o cálculo de um integral, uma regra de cada vez, e experimente: digite uma primitiva, e a página calcula a derivada e compara o resultado com o integrando.

Regra da potência	$\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq-1$
A exceção, n = −1	$\int\frac{dx}{x}=\ln\|x\|+C$

Exemplo resolvido — Primitivas

Constante entre as duas fórmulas	100,00
Distância até ln x, a dividir por n + 1	0,9654

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Primitivas

Uma primitiva de f num intervalo é uma função F onde F′(x) = f(x) em cada x do intervalo. Se F for uma primitiva, F + C também o é para qualquer constante C, e num intervalo não existem outras; num domínio dividido em duas partes, como x ≠ 0 para 1/x, cada parte leva a sua própria constante. O integral indefinido ∫f(x) dx dá nome a toda a família.

O que significa cada símbolo

F_n: a primitiva de xⁿ passando por (1, 0): (xⁿ⁺¹ − 1)/(n + 1), que é ∫₁^x tⁿ dt, e ln x em n = −1
C: a constante de integração. A sua derivada é 0, pelo que qualquer valor resulta numa primitiva

De onde vem a fórmula

Por que razão 1/(n + 1) é a constante a remover. F_n(x) = ∫₁^x tⁿ dt é a área sob tⁿ de 1 a x. Uma pequena alteração em n muda ligeiramente cada altura tⁿ, logo a área também sofre uma pequena alteração: F_n não pode saltar à medida que n passa por −1, e em n = −1 tem de ser a área sob 1/t de 1 a x, que é ln x. A fórmula dos manuais é F_n + 1/(n + 1), e essa constante é o que diverge.
$F_n(x)=\int_{1}^{x}t^{n}\,dt=\frac{x^{n+1}-1}{n+1}=\frac{x^{n+1}}{n+1}-\underbrace{\frac{1}{n+1}}_{\to\,\pm\infty}$
O limite, calculado. Tome h = n + 1 e desenvolva xʰ em série de h. A diferença em relação a ln x é de cerca de h(ln x)²/2, que em x = 4 vale 0,9609h: o valor para o qual a última coluna da tabela tende.
$x^{h}=e^{h\ln x}=1+h\ln x+\frac{h^{2}(\ln x)^{2}}{2}+\cdots\ \Rightarrow\ F_n(x)=\frac{x^{h}-1}{h}=\ln x+\frac{h(\ln x)^{2}}{2}+\cdots$

Pressupõe: A verificação é numérica. A página calcula a derivada exata do seu F, seguindo as regras que usaria, e de seguida compara F′ com f em 120 pontos distribuídos pelo intervalo, nenhum deles um número inteiro, aceitando uma diferença relativa de até 10⁻⁶; um fator omitido ou um sinal errado resulta numa diferença da ordem de 1. Onde f está definida e o seu F não, a resposta falha. Quando f é contínua em todo o intervalo, a página também integra f numericamente entre pontos vizinhos e compara esse valor com a variação do seu F, detetando respostas que estão certas por partes, mas apresentam saltos.

Problemas resolvidos na íntegra

Desenvolver antes de integrar 3 passos
Calcule ∫(x² + 1)² dx.

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1. Não há regra da potência para parênteses. Desenvolva o produto para que cada termo se torne uma potência de x:
  
  $(x^{2}+1)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1$
2. Integre termo a termo, somando um a cada expoente e dividindo pelo novo expoente:
  
  $\int\left(x^{4}+2x^{2}+1\right)dx=\frac{x^{5}}{5}+2\cdot\frac{x^{3}}{3}+x+C$
3. Verifique derivando:
  
  $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x\right)=x^{4}+2x^{2}+1$
Resposta

x⁵/5 + 2x³/3 + x + C. Integrar os parênteses diretamente, obtendo (x² + 1)³/3, é o deslize clássico. A derivada dessa tentativa é 2x(x² + 1)², e o 2x vem de dentro dos parênteses, algo que a regra da potência jamais contempla. Abra o problema na ferramenta e digite essa resposta para ver as duas curvas se afastarem.

$\int(x^{2}+1)^{2}\,dx=\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x+C$
Dividir antes de integrar 3 passos
Calcule ∫(x³ − 2√x + 5)/x dx para x > 0.

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1. Divida cada termo por x e escreva-o como potência:
  
  $\frac{x^{3}-2\sqrt{x}+5}{x}=x^{2}-2x^{-1/2}+5x^{-1}$
2. Os dois primeiros termos seguem a regra da potência:
  
  $\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad -2\int x^{-1/2}\,dx=-2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=-4\sqrt{x}$
3. O terceiro é x⁻¹, a única potência pela qual a regra não pode dividir:
  
  $5\int x^{-1}\,dx=5\ln|x|=5\ln x\quad(x>0)$
Resposta

x³/3 − 4√x + 5 ln x + C. Podemos dispensar as barras de ln|x|: o problema já foi definido para x > 0, exigência que a própria √x já faz de qualquer modo.

$\int\frac{x^{3}-2\sqrt{x}+5}{x}\,dx=\frac{x^{3}}{3}-4\sqrt{x}+5\ln x+C$
Três linhas da tabela 2 passos
Calcule ∫(2 cos x − 3 sin x + 4/(1 + x²)) dx.

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1. Cada termo está na tabela:
  
  $\int\cos x\,dx=\sin x,\qquad \int\sin x\,dx=-\cos x,\qquad \int\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x$
2. Conserve as constantes e substitua cada função por sua primitiva:
  
  $2\sin x-3(-\cos x)+4\arctan x$
Resposta

2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C. O termo do meio é o que costuma dar errado. A primitiva de sin x é −cos x, de modo que −3 sin x se integra em +3 cos x; o sinal de menos vem da derivada de cos x, que fornece −sin x.

$\int\left(2\cos x-3\sin x+\frac{4}{1+x^{2}}\right)dx=2\sin x+3\cos x+4\arctan x+C$
Uma condição fixa a constante 2 passos
Determine f se f′(x) = 6x² − 4x + 1 e f(1) = 5.

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1. Integre primeiro, mantendo C:
  
  $f(x)=\int\left(6x^{2}-4x+1\right)dx=2x^{3}-2x^{2}+x+C$
2. Depois, ponha x = 1 e determine C:
  
  $f(1)=2-2+1+C=1+C=5\ \Rightarrow\ C=4$
Resposta

f(x) = 2x³ − 2x² + x + 4. A ferramenta verifica tanto a condição quanto a derivada. Se deixar C em 0, ela aceita F′ = f, mas indica F(1) = 1 em vez de 5 e pede para ajustar a constante em 4.

$f(x)=2x^{3}-2x^{2}+x+4$
Duas integrações, duas constantes 2 passos
Determine f se f″(x) = 12x − 6, f′(0) = 2 e f(0) = −1.

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1. Integre uma vez para obter f′ e use a condição sobre f′ para fixar a sua constante:
  
  $f'(x)=\int(12x-6)\,dx=6x^{2}-6x+C_{1},\qquad f'(0)=C_{1}=2$
2. Integre de novo e use a condição sobre f:
  
  $f(x)=\int\left(6x^{2}-6x+2\right)dx=2x^{3}-3x^{2}+2x+C_{2},\qquad f(0)=C_{2}=-1$
Resposta

f(x) = 2x³ − 3x² + 2x − 1. Cada integração traz a sua própria constante, e cada condição fixa uma delas. A ferramenta abre na segunda integração, com f′ no integrando e f(0) = −1 como condição.

$f(x)=2x^{3}-3x^{2}+2x-1$
ln|x| do lado negativo 2 passos
Determine f se f′(x) = 2/x para x < 0 e f(−1) = 3.

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1. Para x negativo, ln x não tem valor, mas ln(−x) tem, e a sua derivada é 1/x:
  
  $x<0:\quad \frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$
2. Assim, f(x) = 2 ln|x| + C, e a condição fixa C:
  
  $f(x)=2\ln|x|+C,\qquad f(-1)=2\ln1+C=C=3$
Resposta

f(x) = 2 ln|x| + 3 para x < 0. A condição não diz nada sobre x positivo. Como 1/x não está definido em 0, uma função igual a 2 ln x + 7 para x > 0 atenderia ao problema da mesma forma.

$f(x)=2\ln|x|+3\quad(x<0)$
Calcular ln 4 com uma tecla de raiz quadrada 4 passos
Uma calculadora possui uma tecla de raiz quadrada e não tem tecla ln. Utilize o limite desta página para calcular ln 4 com quatro casas decimais. Prima primeiro n = −0,99: a curva por (1, 0) marca 1,3959 em x = 4, ainda bastante acima de ln 4 = 1,3863.

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1. Dez pressões na tecla de raiz quadrada elevam 4 à potência de 1/1024, portanto h = n + 1 = 1/1024:
  
  $4^{1/1024}=1{.}001354720,\qquad h=n+1=\dfrac{1}{1024}$
2. A curva por (1, 0) para esse h, a fórmula da página com uma subtração e uma multiplicação:
  
  $F(h)=\dfrac{4^{h}-1}{h}=1{.}3872332$
3. A sua distância até ln 4 é cerca de h(ln 4)²/2, a última coluna da tabela a multiplicar por h. Isso é demasiado grande para quatro casas decimais:
  
  $\dfrac{h\,(\ln 4)^{2}}{2}=\dfrac{0{.}9609}{1024}=0{.}000938$
4. Mais uma raiz quadrada reduz h a metade, e com ele a distância. O dobro da nova leitura menos a antiga cancela o termo principal da distância:
  
  $2\,F\!\left(\tfrac{h}{2}\right)-F(h)=2\times1{.}3867637-1{.}3872332=1{.}386294$
Resposta

ln 4 ≈ 1,3863. A combinação 2F(h/2) − F(h) elimina o erro que é proporcional a h e deixa um erro proporcional a h², aqui cerca de 2×10⁻⁷. A página move n em passos de 0,01, pelo que h = 1/2048 está muito para além do que o seu controlo deslizante consegue mostrar.

$\ln 4\approx1{.}3863$

Problemas suplementares, só com a resposta

Calcule ∫ (4x³ − 6x + 2) dx.

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x⁴ − 3x² + 2x + C.

$x^{4}-3x^{2}+2x+C$
Calcule ∫ (√x + 1/√x) dx.

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(2/3)x^3/2 + 2√x + C. Comece por escrever os termos como potências: x^1/2 e x^−1/2.

$\tfrac23x^{3/2}+2\sqrt{x}+C$
Calcule ∫ (eˣ + 1/x²) dx.

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eˣ − 1/x + C. Pela regra de integração de potências, x⁻² dá x⁻¹/(−1); ln x surge apenas ao integrar x⁻¹.

$e^{x}-\frac{1}{x}+C$
Calcule ∫ 2/√(1 − x²) dx.

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2 arcsin x + C.

$2\arcsin x+C$

ln x é o próprio limite da regra da potência

Prima n = −0,99. A primitiva de xⁿ dos manuais é xⁿ⁺¹/(n + 1), que divide por zero em n = −1, razão pela qual as tabelas listam ∫x⁻¹ dx = ln|x| como uma regra à parte. O fantasma a tracejado mostra o que a fórmula faz a caminho de lá: em x = 4 vale 101,40, e cresce sem limite à medida que n se aproxima. Todo esse crescimento está na constante. Subtraia 1/(n + 1), aqui 100,00, e obterá a primitiva por (1, 0), a curva contínua, que está em 1,3959 contra ln 4 = 1,3863. Prima Variar n de −2 a 0 e observe n a passar por −1: o fantasma sai do gráfico, a curva contínua nunca salta, e em n = −1 é ln x. Não pode saltar porque é a área sob tⁿ de 1 a x, e uma pequena alteração em n altera cada altura tⁿ apenas um pouco. Grégoire de Saint-Vincent chegou ao mesmo facto pelo outro lado no seu Opus geometricum de 1647: a área sob a hipérbole de a a b depende apenas de b/a. O seu pupilo Alphonse Antonio de Sarasa percebeu que isso faz da área um logaritmo.

ln x responde a 1/x em apenas metade da reta

Prima ln x para 1/x. O avaliador pede uma primitiva de 1/x em −4 ≤ x ≤ 4, e digitou-se ln x. Onde quer que ln x exista a sua derivada é 1/x, pelo que parece correto, contudo a verificação recusa-a: em x = −2,75, onde 1/x vale −0,364, ln x não tem valor. O que funciona de ambos os lados é ln|x|, porque a derivada de ln(−x) é −1/(−x) = 1/x. Digite-o, e o painel superior desenha dois ramos com cópias a cinzento que deslocam cada ramo numa quantidade diferente. Essas respostas também passariam. Digite ln|x| + 3sgn(x), que é ln|x| + 3 à direita de 0 e ln|x| − 3 à esquerda, e a resposta é aceite; o painel desenha a sua diferença para ln|x| como dois segmentos planos, em 3 e −3. Como 1/x não está definido em 0, nada liga a constante da esquerda à da direita. As tabelas escrevem ln|x| + C com um único C, mas em todo o domínio a primitiva geral tem uma constante para cada lado. Quando o integrando é contínuo em todo o intervalo, como é o caso de x³, a verificação recusa respostas que deem saltos, mesmo que a sua derivada corresponda à função onde existe.

Duas respostas sem qualquer semelhança podem ambas estar certas

Prima Duas formas, uma resposta. O integrando é (x + 1)². Aumentando a potência e dividindo, obtém-se (x + 1)³/3; expandindo primeiro, chega-se a x³/3 + x² + x. Colocadas lado a lado, parecem uma resposta certa e uma errada, no entanto o avaliador aceita ambas. A linha O seu F menos o nosso explica a razão: −1/3 em cada ponto, pois (x + 1)³/3 expande-se para x³/3 + x² + x + 1/3. Prima 2 sin x cos x para um caso mais evidente. As expressões sin²x, −cos²x e −cos(2x)/2 não partilham nenhum termo visível, mas estão todas corretas, distando 1 e ½ umas das outras. Portanto, a verificação nunca decide comparando a sua resposta com a da página. Ela deriva a sua, visto que a derivação é um procedimento com um resultado único, e compara-o com o integrando. Encontrar uma primitiva é uma procura, e duas boas procuras podem parar em constantes diferentes.

Percurso de aprendizagem

Técnicas de integração

Referências (2)

The definition the page checks against (“F is an antiderivative of f if F′(x) = f(x) for all x in the domain of f”), the power rule with its exception (Theorem 4.15: for n ≠ −1, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C), and the derivation of d/dx ln|x| = 1/x from ln(−x) on x < 0: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.10, “Antiderivatives”.
Grégoire de Saint-Vincent's Opus geometricum (Antwerp, 1647) showed that the area under a rectangular hyperbola over [a, b] equals the area over [c, d] when a/b = c/d, and his pupil Alphonse Antonio de Sarasa made the connection with logarithms: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Grégoire de Saint-Vincent”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated November 2010).

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.