A Regra da Cadeia

Compor funções é encadear elos, e cada elo dilata uma pequena variação à sua própria taxa. Construa uma cadeia e escolha x. As retas reais guiam o intervalo ao longo do percurso, as dilatações multiplicam-se e, à medida que o intervalo encolhe, cada uma aproxima-se da derivada do respetivo elo — exceto se algum o esmagar por completo. Depois, escreva dy/dx com as suas próprias mãos.

A regra da cadeia	$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$
Na notação de funções	$\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)$

Exemplo resolvido — A Regra da Cadeia

Valor interior	4
Saída	−0,7568
Taxa interior, em x	4
Taxa exterior, em u	−0,6536
Declive de toda a cadeia	−2,6146
O mesmo declive, só a partir de y	−2,6146
Depois, derive o elo interior em ordem a x.	2x

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — A Regra da Cadeia

Se u = g(x) e y = f(u), a taxa de variação de toda a cadeia é o produto das taxas dos elos, dy/dx = f′(g(x))·g′(x). Cada taxa é calculada no ponto em que o seu elo atua: a externa é avaliada em u = g(x), e não em x. Numa cadeia mais longa, multiplica-se mais uma taxa por cada elo.

O que significa cada símbolo

u: o valor que o elo interno transmite, u = g(x)
w: numa cadeia de três elos, o valor que o elo intermediário transmite

De onde vem a fórmula

Decomponha a variação em elos. Avance x em Δx. O elo interno move u em Δu, o externo move y em Δy e, desde que Δu não seja 0, a razão de toda a cadeia separa-se nas razões dos dois elos. Na página, isso traduz-se no estiramento das faixas a multiplicar-se.
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\qquad(\Delta u\neq0)$
Faça Δx diminuir. Como g é contínua em x, Δu diminui com ele. A razão interna tende a g′(x) e a externa a f′ no ponto onde o elo externo atua, u = g(x). O limite de um produto é o produto dos limites.
$\frac{\Delta u}{\Delta x}\to g'(x),\qquad\frac{\Delta y}{\Delta u}\to f'(u)=f'\bigl(g(x)\bigr)\quad\Rightarrow\quad\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x)$
O caso que a decomposição esconde. Se Δu for 0 para algum Δx pequeno, a primeira linha divide por zero. A demonstração rigorosa atribui à razão externa o valor f′(u) sempre que Δu = 0. Com isso, o produto vale para qualquer Δx, e o seu limite é o mesmo.

Pressupõe: Cada elo tem derivada no ponto onde atua. Se algum não a tiver, como acontece com √u em 0, a regra nada diz, e a página apresenta a cadeia como indefinida nesse ponto.

Problemas resolvidos na íntegra

Potência de uma expressão linear 3 passos
Derive y = (3x + 1)⁴ e determine a inclinação em x = 0.

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1. Identifique os elos e as suas taxas. O elo interno é a parte linear; o externo é a quarta potência:
  
  $u=3x+1,\quad\frac{du}{dx}=3;\qquad y=u^{4},\quad\frac{dy}{du}=4u^{3}$
2. Multiplique, começando pela taxa externa, e escreva o resultado como num exame, com a constante à frente:
  
  $\frac{dy}{dx}=4(3x+1)^{3}\cdot3=12(3x+1)^{3}$
3. Em x = 0, o valor interno é 1:
  
  $x=0:\quad 12\cdot1^{3}=12$
Resposta

dy/dx = 12(3x + 1)³, e 12 em x = 0. O 3 é o passo que toda a gente esquece: a taxa exterior, por si só, daria 4(3x + 1)³, um terço do declive real. A página mostra as duas taxas como 3 e 4 e o seu produto como 12.

$\frac{dy}{dx}=12(3x+1)^{3}$
Seno de um quadrado 3 passos
Derive y = sin(x²) e determine a inclinação em x = 1.

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1. Os elos e as suas taxas:
  
  $u=x^{2},\quad\frac{du}{dx}=2x;\qquad y=\sin u,\quad\frac{dy}{du}=\cos u$
2. Multiplique. O cosseno é calculado em u = x², onde o elo externo atua, e não em x:
  
  $\frac{dy}{dx}=\cos\left(x^{2}\right)\cdot2x=2x\cos\left(x^{2}\right)$
3. Em x = 1:
  
  $x=1:\quad 2\cos1\approx1{.}0806$
Resposta

dy/dx = 2x cos(x²), e 2 cos 1 ≈ 1,0806 em x = 1. A página mostra a taxa externa aí como 0,5403, que é cos 1, porque u = x² vale 1 nesse ponto.

$\frac{dy}{dx}=2x\cos\left(x^{2}\right)$
Onde e^(−x²) é horizontal 3 passos
Derive y = e^(−x²), determine onde a inclinação é zero e indique a inclinação em x = 1.

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1. Os elos e as suas taxas. e elevado a uma potência é a sua própria derivada:
  
  $u=-x^{2},\quad\frac{du}{dx}=-2x;\qquad y=e^{u},\quad\frac{dy}{du}=e^{u}$
2. Multiplique:
  
  $\frac{dy}{dx}=e^{-x^{2}}\cdot(-2x)=-2x\,e^{-x^{2}}$
3. A exponencial nunca é zero, pelo que apenas o fator −2x se pode anular:
  
  $e^{-x^{2}}>0\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=0\iff x=0;\qquad x=1:\ -\frac{2}{e}\approx-0{.}7358$
Resposta

dy/dx = −2x e^(−x²): horizontal apenas em x = 0, e −2/e ≈ −0,7358 em x = 1. À esquerda de 0 a inclinação é positiva e à direita é negativa; logo, x = 0 é o topo da curva.

$\frac{dy}{dx}=-2x\,e^{-x^{2}}$
Logaritmo de uma soma 3 passos
Derive y = ln(x² + 1) e determine a inclinação em x = 1.

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1. Os elos e as suas taxas:
  
  $u=x^{2}+1,\quad\frac{du}{dx}=2x;\qquad y=\ln u,\quad\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$
2. Multiplique:
  
  $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x^{2}+1}\cdot2x=\frac{2x}{x^{2}+1}$
3. Em x = 1, o valor interno é 2:
  
  $x=1:\quad\frac{2}{2}=1$
Resposta

dy/dx = 2x/(x² + 1), e exatamente 1 em x = 1. A página mostra a taxa externa como 0,5, que é 1/u em u = 2.

$\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{x^{2}+1}$
Uma potência negativa 3 passos
Derive y = 1/(2x − 1)³ e determine a inclinação em x = 1.

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1. Escreva a expressão primeiro como potência; depois, os elos e as suas taxas seguem como antes:
  
  $y=(2x-1)^{-3}:\quad u=2x-1,\quad\frac{du}{dx}=2;\qquad y=u^{-3},\quad\frac{dy}{du}=-3u^{-4}$
2. Multiplique e volte a escrever a potência negativa como fração:
  
  $\frac{dy}{dx}=-3(2x-1)^{-4}\cdot2=-\frac{6}{(2x-1)^{4}}$
3. Em x = 1, o valor interno é 1:
  
  $x=1:\quad-\frac{6}{1}=-6$
Resposta

dy/dx = −6/(2x − 1)⁴, e −6 em x = 1. Escrito como potência, um quociente de numerador constante dispensa totalmente a regra do quociente.

$\frac{dy}{dx}=-\frac{6}{(2x-1)^{4}}$
O cubo de um seno 3 passos
Derive y = sin³x e determine a inclinação em x = π/4.

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1. Como sin³x é o cubo de sin x, a potência é o elo externo e o seno o interno:
  
  $\sin^{3}x=(\sin x)^{3}:\quad u=\sin x,\quad\frac{du}{dx}=\cos x;\qquad y=u^{3},\quad\frac{dy}{du}=3u^{2}$
2. Multiplique:
  
  $\frac{dy}{dx}=3\sin^{2}x\cos x$
3. Em π/4, tanto o seno como o cosseno valem √2/2:
  
  $x=\tfrac{\pi}{4}:\quad3\cdot\tfrac12\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=\tfrac{3\sqrt2}{4}\approx1{.}0607$
Resposta

dy/dx = 3 sin²x cos x, e 3√2/4 ≈ 1,0607 em x = π/4. Leia sin³x como sin(x³) e terá uma cadeia diferente, com os elos na ordem inversa.

$\frac{dy}{dx}=3\sin^{2}x\cos x$
Três elos 3 passos
Derive y = e^(sin(x²)) e determine a inclinação em x = 1.

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1. Três elos, três taxas, cada uma avaliada onde o respetivo elo atua:
  
  $u=x^{2},\ \frac{du}{dx}=2x;\quad w=\sin u,\ \frac{dw}{du}=\cos u;\quad y=e^{w},\ \frac{dy}{dw}=e^{w}$
2. Multiplique os três, começando pelo externo:
  
  $\frac{dy}{dx}=e^{\sin(x^{2})}\cdot\cos\left(x^{2}\right)\cdot2x$
3. Em x = 1:
  
  $x=1:\quad e^{\sin1}\cdot\cos1\cdot2\approx2{.}3198\cdot0{.}5403\cdot2\approx2{.}5068$
Resposta

dy/dx = 2x cos(x²) e^(sin(x²)), aproximadamente 2,5068 em x = 1. Mais um elo é mais um fator, e o método não muda.

$\frac{dy}{dx}=2x\cos\left(x^{2}\right)e^{\sin(x^{2})}$
Um produto com uma composta no interior 3 passos
Derive y = x² sin(3x) e determine o declive em x = π/6.
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1. Temos primeiro um produto. O segundo fator é uma composta, pelo que a sua derivada faz surgir a taxa interna 3:
  
  $\begin{aligned}u&=x^{2},&u'&=2x\\v&=\sin(3x),&v'&=3\cos(3x)\end{aligned}$
2. Aplicamos a regra do produto:
  
  $y'=2x\sin(3x)+3x^{2}\cos(3x)$
3. Em π/6, o ângulo 3x vale π/2, em que o seno é 1 e o cosseno 0:
  
  $\begin{aligned}&x=\tfrac{\pi}{6}:\quad\sin\tfrac{\pi}{2}=1,\ \ \cos\tfrac{\pi}{2}=0\\&y'=2\cdot\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\pi}{3}\end{aligned}$
Resposta

y′ = 2x sin(3x) + 3x² cos(3x), e o declive em π/6 é π/3 ≈ 1,0472. A operação exterior é a multiplicação, pelo que a regra do produto comanda e a regra da cadeia atua no seu interior. Se esquecer o 3, obterá aqui o mesmo π/3, pois o termo em cosseno anula-se em π/6. Uma verificação num único ponto não deteta esse deslize; confirme sempre num segundo ponto.

$\begin{aligned}&y'=2x\sin(3x)+3x^{2}\cos(3x)\\&y'\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{3}\approx1{.}0472\end{aligned}$
Um quociente com uma composta no interior 3 passos
Derive y = x/√(x² + 1) e determine o declive em x = 1.
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1. Um quociente cujo denominador é uma composta. Começamos pela sua derivada:
  
  $\begin{aligned}u&=x,\quad u'=1\\v&=\sqrt{x^{2}+1}\\v'&=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\end{aligned}$
2. Aplicamos a regra do quociente e reduzimos a uma só fração, multiplicando numerador e denominador por √(x² + 1):
  
  $\begin{aligned}y'&=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}-x\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}\\&=\dfrac{\left(x^{2}+1\right)-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}=\dfrac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}}\end{aligned}$
3. Em x = 1:
  
  $x=1:\quad y'=\dfrac{1}{2^{3/2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\approx0{.}3536$
Resposta

y′ = 1/(x² + 1)^(3/2), e o declive em x = 1 é 1/(2√2) ≈ 0,3536. A derivada é positiva para qualquer x, pelo que a curva sobe sempre, sem nunca alcançar 1: a reta y = 1 é uma assíntota de que o gráfico se aproxima por baixo.

$y'=\dfrac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{3/2}},\qquad y'(1)\approx0{.}3536$
Quantas vezes carregar em cos? 4 passos
Uma calculadora em radianos mostra 1 no visor, e continuamos a carregar em cos. Junto a p = 0,739085…, onde cos p = p, cada toque multiplica o erro por cos′(p) = −sin p = −0,6736. Estime quantos toques aproximam o visor a menos de 10⁻⁶ de p e teste depois a sua estimativa. Prima A partir de x = 1: três toques levam 1 a 0,6543, e o declive da cadeia de três elos é aí de −0,3273.

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1. O erro antes do primeiro toque:
  
  $e_0=1-p=1-0{.}739085=0{.}2609$
2. n toques formam uma cadeia de n elos. Perto de p, cada elo tem a mesma taxa, pelo que a regra da cadeia multiplica n fatores iguais:
  
  $\frac{d}{dx}\underbrace{\cos(\cos(\cdots\cos x))}_{n}\Big|_{x=p}=(-\sin p)^{n}=(-0{.}6736)^{n},\qquad |e_n|\approx0{.}2609\times0{.}6736^{n}$
3. Para que o erro desça abaixo de 10⁻⁶, aplicamos logaritmos:
  
  $0{.}2609\times0{.}6736^{n}<10^{-6}\iff n>\frac{\ln(0{.}2609/10^{-6})}{\ln(1/0{.}6736)}=\frac{12{.}47}{0{.}3951}=31{.}57$
4. Os três toques da página testam a estimativa logo de início, quando ainda é grosseira: ela prevê −0,0797 e o visor erra por −0,0848, já que os primeiros toques acontecem longe de p.
  
  $e_3\approx0{.}2609\times(-0{.}3057)=-0{.}0797,\qquad e_3=0{.}6543-0{.}7391=-0{.}0848$
Resposta

32 toques. A estimativa aponta para 31,57, logo 32, e a iteração confirma-o: após 31 toques o erro é 1,286×10⁻⁶ e após 32 é 8,664×10⁻⁷. O quociente entre cada erro e o anterior é −0,7619 no primeiro toque, passa a −0,5960 no segundo e estabiliza em −0,6736 à medida que os toques convergem. A página detém-se em três elos.

$n=32:\quad |e_{31}|=1{.}286\times10^{-6},\qquad |e_{32}|=8{.}664\times10^{-7}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Derive (5 − 2x)⁶.

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−12(5 − 2x)⁵

$y'=-12(5-2x)^{5}$
Derive cos(3x²).

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−6x sin(3x²)

$y'=-6x\sin\left(3x^{2}\right)$
Derive √(4x + 1) e determine o declive em x = 2.

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2/√(4x + 1), que vale 2/3 em x = 2

$y'=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}},\qquad y'(2)=\tfrac23$
Derive e^(sin x) e determine o declive em x = 0.

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cos x · e^(sin x), que vale 1 em x = 0

$y'=\cos x\,e^{\sin x},\qquad y'(0)=1$
Derive ln(cos x) para −π/2 < x < π/2.

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−tan x

$y'=-\tan x$
Derive x²(x − 1)³ e fatorize a resposta.

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x(x − 1)²(5x − 2)

$y'=x(x-1)^{2}(5x-2)$

Um fator interior esquecido pode passar no teste num só ponto

Clique em Esqueceu o interior. A cadeia é sin(x²) em x = 2, e a resposta cos(x²) deixou de fora a taxa interior, 2x. Erra logo por um fator de 4. Agora clique em Teste num só ponto: a mesma resposta em x = 0,5, onde 2x vale exatamente 1, coincide com a inclinação real. Testar uma derivada num único ponto não prova nada se a taxa interior calhar ser 1 ali. A página testa 24 pontos e rejeita esta resposta em cada um deles.

Três aplicações de cos invertem o erro três vezes

Clique em Três vezes cos. A cadeia é cos(cos(cos x)) em 0,739085…, o único número que o cos deixa onde está. Cada elo opera no mesmo ponto e com a mesma taxa, cerca de −0,67, pelo que cada faixa sai invertida e um terço mais curta. É isso que acontece ao pressionar repetidamente cos numa calculadora: perto de 0,7391, cada toque retém cerca de dois terços do erro e inverte o sinal, fazendo o visor cair acima, depois abaixo, estreitando o cerco. O último problema resolvido conta essas pressões.

e elevado a ln x revela a derivada de ln x

Clique em e elevado a ln x. Os dois elos devolvem o que receberam, e^(ln x) = x, pelo que toda a cadeia tem inclinação 1. A regra da cadeia diz que 1 é o produto das duas taxas: a exterior, e^(ln x), que é x, vezes a taxa de ln. Logo, a taxa de ln em x tem de ser 1/x, sem que o raciocínio alguma vez precisasse de a conhecer à partida. Mova x e as duas taxas permanecem inversas.

Percurso de aprendizagem

Derivação: como se combinam as taxas

Referências (2)

The rule in both notations the page uses, h′(x) = f′(g(x))g′(x) and dy/dx = (dy/du)·(du/dx), the advice to work “from the outside in, taking one derivative at a time”, the warning that “we never evaluate a derivative at a derivative” (the page's derivOfDeriv slip), and a chain of three links (Example 3.55, cos⁴(7x² + 1)): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.6, “The Chain Rule”.
The derivative of ln x proved from the identity e^y = x, differentiated implicitly (Theorem 3.15), the argument insight block 3 makes as a chain e^(ln x) = x: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.9, “Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions”.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.