Derivação Implícita

Há curvas em que não conseguimos explicitar y e que, ainda assim, têm declive em quase todos os pontos. Escolha uma curva e um valor de x: a página localiza os pontos na vertical desse x, traça a tangente naquele que escolher e calcula ali −F_x/F_y. Avance depois pela derivação passo a passo e confira cada linha com os números.

Derivação implícita	$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y},\qquad F_y\neq0$

Exemplo resolvido — Derivação Implícita

Ponto escolhido	(1; 2,3615)
∂F/∂x no ponto	−11,1688
∂F/∂y no ponto	10,7296
Declive no ponto	1,0409
Corda entre os pontos vizinhos no mesmo ramo	1,0409
Outros pontos sobre este x	0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Derivação Implícita

Mesmo quando não é possível isolar y numa curva F(x, y) = 0, ela tem inclinação em cada ponto regular: dy/dx = −F_x/F_y, uma fórmula que combina x e y. O cálculo falha onde F_y = 0.

O que significa cada símbolo

F_x: ∂F/∂x, a derivada de F em relação a x mantendo y fixo
F_y: ∂F/∂y, a derivada de F em relação a y mantendo x fixo; onde for 0, a fórmula da inclinação não tem valor

De onde vem a fórmula

Derive ao longo da curva. Trate y como função de x e derive F(x, y(x)) = 0. Os termos em x derivam-se normalmente; cada termo em y ganha o fator y′ pela regra da cadeia. As duas parcelas são F_x e F_y·y′, e somam 0.
$\frac{d}{dx}F\bigl(x,y(x)\bigr)=F_x+F_y\,y'=0$
Isole y′. Onde F_y não for zero, divida por ele. A inclinação fica expressa em função de x e y, exigindo o ponto e não apenas x: um mesmo x pode ter vários pontos e várias inclinações.
$y'=-\frac{F_x}{F_y}\qquad(F_y\neq0)$
Onde F_y = 0. A fórmula fica sem divisor. Se F_x não for zero aí, a tangente é vertical; se F_x também for zero, a fórmula dá 0/0 e nada nos diz, como no cruzamento do folium.

Pressupõe: F tem derivadas parciais contínuas na vizinhança do ponto. Nas três curvas predefinidas, os pontos na vertical de x são determinados em forma fechada; numa curva digitada, a pesquisa é numérica, varrendo F ao longo de y de −8 a 8 em busca de uma mudança de sinal. Assim, um ponto fora desse intervalo, ou onde F toque em 0 sem o cruzar, pode passar despercebido.

Problemas resolvidos na íntegra

A reta tangente à circunferência 3 passos
Determine dy/dx em x² + y² = 25 e a reta tangente em (3, 4).

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1. Derive ambos os lados considerando y uma função de x. Pela regra da cadeia, surge um y′ ao lado da derivada de y²:
  
  $2x+2y\,y'=0$
2. Isole y′:
  
  $y'=-\frac{x}{y}$
3. No ponto (3, 4), obtendo a reta que passa por ele com essa inclinação:
  
  $(3,4):\ y'=-\frac34;\qquad y-4=-\frac34(x-3)\ \Rightarrow\ y=-\frac34x+\frac{25}{4}$
Resposta

y′ = −x/y, e a tangente em (3, 4) é y = −3x/4 + 25/4. A página apresenta ali F_x = 6 e F_y = 8, donde a inclinação é −6/8. A reta tangente é perpendicular ao raio, cuja inclinação vale 4/3.

$y'=-\frac{x}{y},\qquad y=-\frac34x+\frac{25}{4}$
Um produto na equação da curva 3 passos
Determine dy/dx em x²y + y² = 2 e o seu valor em (1, 1).

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1. Derive ambos os lados. Como x²y é um produto, surgem dois termos, e cada y recebe um y′:
  
  $2xy+x^{2}y'+2y\,y'=0$
2. Agrupe os termos em y′ e isole a derivada:
  
  $\left(x^{2}+2y\right)y'=-2xy\ \Rightarrow\ y'=-\frac{2xy}{x^{2}+2y}$
3. No ponto (1, 1):
  
  $(1,1):\ y'=-\frac{2}{3}$
Resposta

y′ = −2xy/(x² + 2y), e −2/3 em (1, 1). Na página: A sua curva, x^2*y + y^2 = 2, x = 1. A ferramenta indica F_x = 2 e F_y = 3.

$y'=-\frac{2xy}{x^{2}+2y}$
O cubo de y 3 passos
Determine dy/dx em y³ + xy = 2 e o seu valor em (1, 1).

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1. Derive ambos os lados. Pela regra da cadeia, y³ gera 3y²y′; pela regra do produto, xy fornece y + xy′:
  
  $3y^{2}y'+y+x\,y'=0$
2. Agrupe os termos e resolva:
  
  $\left(3y^{2}+x\right)y'=-y\ \Rightarrow\ y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$
3. No ponto (1, 1):
  
  $(1,1):\ y'=-\frac{1}{4}$
Resposta

y′ = −y/(3y² + x), e −1/4 em (1, 1). Ninguém consegue isolar y nesta curva numa única linha, e a inclinação nem precisa disso.

$y'=-\frac{y}{3y^{2}+x}$
Onde a elipse inclinada fica horizontal 3 passos
Determine os pontos de x² + xy + y² = 3 onde a tangente é horizontal.

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1. Derive e isole y′ como antes:
  
  $2x+y+x\,y'+2y\,y'=0\ \Rightarrow\ y'=-\frac{2x+y}{x+2y}$
2. O declive anula-se onde o numerador for zero; basta substituir y = −2x na curva:
  
  $y'=0\iff y=-2x:\quad x^{2}-2x^{2}+4x^{2}=3\ \Rightarrow\ x=\pm1$
3. Os dois pontos:
  
  $(1,-2)\quad(-1,2)$
Resposta

(1, −2) e (−1, 2). Em (1, −2), a página apresenta F_x = 0 e declive 0. Onde é o denominador que se anula, em (2, −1) e (−2, 1), a tangente passa a ser vertical.

$(1,-2),\ (-1,2)$
A derivada de ln x 3 passos
Use eʸ = x para determinar a derivada de y = ln x.

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1. Derive ambos os lados de eʸ = x. No lado esquerdo, a regra da cadeia dá eʸ vezes y′:
  
  $e^{y}\,y'=1$
2. Isole y′ e use eʸ = x mais uma vez:
  
  $y'=\frac{1}{e^{y}}=\frac{1}{x}$
3. Logo, y = ln x tem declive 1/x:
  
  $y=\ln x\ \Rightarrow\ \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x;\qquad x=2:\ \frac12$
Resposta

(ln x)′ = 1/x. Em x = 2, a página indica um declive de 0,5. Este raciocínio usou apenas a derivada de eˣ, que é como se demonstra pela primeira vez a regra de ln x.

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$
A segunda derivada da circunferência 3 passos
Determine y″ em x² + y² = 25 e o seu valor em (3, 4).

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1. Comece pela primeira derivada:
  
  $y'=-\frac{x}{y}$
2. Derive de novo pela regra do quociente, substitua y′ por −x/y e use x² + y² = 25:
  
  $y''=-\frac{y-x\,y'}{y^{2}}=-\frac{y+\frac{x^{2}}{y}}{y^{2}}=-\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{3}}=-\frac{25}{y^{3}}$
3. Em (3, 4):
  
  $(3,4):\ y''=-\frac{25}{64}\approx-0{.}3906$
Resposta

y″ = −25/y³, e −25/64 ≈ −0,3906 em (3, 4). A segunda derivada vai além do que a página calcula; esta apresenta o declive de −0,75 de onde partiu o cálculo.

$y''=-\frac{25}{y^{3}}$
A ponta do fólium 3 passos
Determine o declive de x³ + y³ = 6xy na ponta do seu laço, (3, 3).

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1. Derive ambos os lados. O lado direito é um produto:
  
  $3x^{2}+3y^{2}y'=6y+6x\,y'$
2. Agrupe os termos com y′ e isole y′, dividindo tudo por 3:
  
  $\left(3y^{2}-6x\right)y'=6y-3x^{2}\ \Rightarrow\ y'=\frac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}$
3. Em (3, 3):
  
  $(3,3):\ y'=\frac{6-9}{9-6}=-1$
Resposta

y′ = −1 em (3, 3). A curva é simétrica em relação a y = x, pelo que a tangente tem de cruzar essa reta em ângulo reto. A página indica F_x = F_y = 9.

$y'(3,3)=-1$
O seno de xy 3 passos
Determine dy/dx em sin(xy) + y = 1 e o seu valor em (0, 1).

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1. Derive ambos os membros. Como sin(xy) é uma função composta com um produto no interior, resulta cos(xy) a multiplicar pela derivada de xy:
  
  $\cos(xy)\cdot\left(y+x\,y'\right)+y'=0$
2. Isole y′:
  
  $\begin{aligned}\left(x\cos(xy)+1\right)y'&=-y\cos(xy)\\y'&=-\dfrac{y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1}\end{aligned}$
3. Em (0, 1), o cosseno vale cos 0 = 1:
  
  $(0,1):\quad y'=-\dfrac{1\cdot\cos0}{0+1}=-1$
Resposta

y′ = −y cos(xy)/(x cos(xy) + 1), sendo y′ = −1 em (0, 1). O seno exige a regra da cadeia e o produto xy a regra do produto; é por isso que y′ surge em dois termos antes de ser isolado.

$y'=-\dfrac{y\cos(xy)}{x\cos(xy)+1},\qquad y'(0,1)=-1$
Onde a elipse inclinada fica vertical 3 passos
Determine os pontos de x² + xy + y² = 3 em que a tangente é vertical e apresente as equações dessas tangentes.

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1. Derivando como no problema 4, obtemos o declive sob a forma de fração:
  
  $y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$
2. A tangente é vertical quando o denominador é zero e o numerador não. Substituindo x = −2y na curva:
  
  $\begin{aligned}&x+2y=0\ \Rightarrow\ x=-2y\\&4y^{2}-2y^{2}+y^{2}=3\ \Rightarrow\ y=\pm1\end{aligned}$
3. O numerador não se anula em nenhum dos pontos; logo, ambas são tangentes verticais e nenhuma conduz a 0/0:
  
  $\begin{aligned}(2,-1):&\quad2x+y=3\neq0\\(-2,1):&\quad2x+y=-3\neq0\end{aligned}$
Resposta

A tangente é vertical em (2, −1) e em (−2, 1), sendo as tangentes as retas x = 2 e x = −2. Tocam a elipse nos seus extremos direito e esquerdo: se o problema 4 encontrou onde ela é horizontal, este revela onde ela é mais larga.

$(2,-1):\ x=2;\qquad(-2,1):\ x=-2$
O topo da folha 4 passos
Determine com exatidão o ponto mais alto da folha do folium e averigue se coincide com o vértice (3, 3), onde a folha interseta a reta y = x. Clique em Topo da folha: em x = 2,52, o declive do ponto superior acusa −0,0002, valor muito próximo de 0; contudo, um cursor com passo de 0,01 apenas consegue delimitar o intervalo da solução.

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1. A tangente é horizontal onde y′ = 0, o que exige que o numerador 2y − x² se anule sem que o denominador seja nulo:
  
  $y'=\dfrac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}=0\ \Rightarrow\ y=\tfrac{x^{2}}{2}$
2. Substitua y = x²/2 na equação da curva. Sendo x = 0 a origem, onde a fórmula devolve 0/0, podemos dividir por x³:
  
  $x^{3}+\tfrac{x^{6}}{8}=6x\cdot\tfrac{x^{2}}{2}=3x^{3}\ \Rightarrow\ \tfrac{x^{6}}{8}=2x^{3}\ \Rightarrow\ x^{3}=16$
3. Logo, x é a raiz cúbica de 16, ponto em que o denominador não se anula:
  
  $x=2^{4/3}=2{.}5198,\quad y=\tfrac{x^{2}}{2}=2^{5/3}=3{.}1748,\quad y^{2}-2x=2^{10/3}-2^{7/3}=2^{7/3}=5{.}0397\neq0$
4. No vértice (3, 3) o declive é −1, mostrando que a folha continua a subir à sua esquerda:
  
  $y'(3,3)=\dfrac{2\cdot3-3^{2}}{3^{2}-2\cdot3}=\dfrac{-3}{3}=-1,\qquad 3{.}1748-3=0{.}1748$
Resposta

O topo da folha situa-se em (2^4/3, 2^5/3) ≈ (2,5198, 3,1748), ficando 0,1748 acima do vértice. A sua altura coincide com a abcissa da tangente vertical vista em Onde a curva dobra: como a troca entre x e y mantém x³ + y³ = 6xy inalterada, as tangentes horizontais transformam-se em verticais. A ferramenta calcula o declive num ponto qualquer que escolha; já resolver y′ = 0 é trabalho algébrico que fica por nossa conta.

$\left(2^{4/3},\,2^{5/3}\right)\approx\left(2{.}5198,\ 3{.}1748\right)$

Problemas suplementares, só com a resposta

Determine dy/dx em xy = 6 e o seu valor em (2, 3).

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y′ = −y/x, logo −3/2 em (2, 3)

$y'=-\dfrac{y}{x},\qquad y'(2,3)=-\tfrac32$
Determine dy/dx em x² − y² = 16.

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y′ = x/y

$y'=\dfrac{x}{y}$
Determine o declive de x³ + y³ = 9 em (1, 2).

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y′ = −x²/y², logo −1/4

$y'=-\dfrac{x^{2}}{y^{2}},\qquad y'(1,2)=-\tfrac14$
Determine a reta normal a x² + y² = 25 em (4, −3).

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O declive da tangente é 4/3, pelo que o da normal é −3/4 e a normal é a reta y = −3x/4. Passa pelo centro, como qualquer normal a uma circunferência.

$y=-\tfrac34x$
A partir de tan y = x, determine a derivada de y = arctan x.

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sec²y · y′ = 1 e sec²y = 1 + tan²y = 1 + x², donde y′ = 1/(1 + x²)

$\dfrac{d}{dx}\arctan x=\dfrac{1}{1+x^{2}}$
Determine y″ em xy = 1 e o seu valor em (1, 1).

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y′ = −y/x e y″ = 2y/x², logo 2 em (1, 1)

$y''=\dfrac{2y}{x^{2}},\qquad y''(1,1)=2$

Três pontos sobre x = 1 e três declives

Clique em Três declives em x = 1. Na reta x = 1, o fólium tem três pontos, e a curva passa por cada um com um declive diferente. Uma fórmula apenas em x dá um só número para cada x; nunca poderia, portanto, dar o declive desta curva. A derivada implícita, y′ = (2y − x²)/(y² − 2x), precisa também do y do ponto — e a tabela sob a curva calcula o valor para os três. Descartes, ao estudar a curva em 1638, supôs que a folha se repetia em cada quadrante como as pétalas de uma flor. Há apenas uma folha e duas caudas.

A fórmula falha precisamente onde a curva ganha ou perde um ponto

Clique em Onde dobra. Aqui, o denominador F_y anula-se e a tangente é vertical. À esquerda, há três pontos na vertical de x; aqui, os dois superiores encontram-se; à direita, resta apenas um. Nas três curvas, o número de pontos nessa vertical muda exatamente onde F_y = 0, e em nenhum outro ponto. Eis o teorema da função implícita visto a partir do cursor: onde F_y ≠ 0, a curva na vizinhança de um ponto é o gráfico de uma única função. Onde F_y = 0, o teorema nada garante — e, nestas três curvas, é onde duas dessas funções se encontram.

Na origem a fórmula dá 0/0 e a curva exibe duas tangentes

Clique em O cruzamento. Na origem, tanto F_x como F_y são zero, pelo que a fórmula resulta em 0/0 — algo mais profundo do que uma simples tangente vertical. A curva passa duas vezes por este ponto: uma segue na horizontal pelo bordo inferior da folha, a outra sobe a pique ao atravessá-la. Ao aproximar-se da origem com x = 0,1, 0,01, 0,001, a tabela mostra um declive a tender para 0 e dois a crescerem sem limite. Nenhum declive isolado faria sentido, e o gráfico desenha ambas as tangentes.

Percurso de aprendizagem

Derivação: como se combinam as taxas

Referências (2)

The method as the page steps it (differentiate both sides with y a function of x, then solve for dy/dx), the circle x² + y² = 25 with its tangent at (3, −4) (Example 3.71), and the folium in the form x³ + y³ − 3xy = 0 with slope −1 at (3/2, 3/2) (Example 3.72), the a = 1 version of the page's tip (3, 3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.8, “Implicit Differentiation”.
That Descartes first discussed the folium in 1638 and believed the leaf was repeated in each quadrant like the petals of a flower (insight block 1), and the asymptote x + y + a = 0 (here a = 2): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Folium of Descartes”, Famous Curves Index, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.