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Número de Reynolds e Regime de Escoamento

Escolha um fluido, uma velocidade e um diâmetro para ver se o escoamento é laminar ou turbulento, e quão pouco é preciso para mudar de regime.

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Lição

A teoria — Número de Reynolds e Regime de Escoamento

O número de Reynolds compara os dois efeitos possíveis sobre um fluido em movimento: a inércia transportá-lo, ou a viscosidade dissipá-lo. Na equação Re = ρvD/η, as unidades anulam-se mutuamente. O resultado consubstancia-se num número adimensional, detalhe esse que exprime o verdadeiro objetivo da fórmula. Dois escoamentos detentores do mesmo número de Reynolds assumem sempre comportamento idêntico. A sua dimensão, a velocidade imposta e a natureza do fluido não influenciam a conclusão técnica. É desta coerência inata que decorre o motivo pelo qual testar um modelo num tanque de água consegue fazer perfeitamente as vezes de uma aeronave.

O que significa cada símbolo

Re
o rácio propriamente dito, sem assumir qualquer unidade
ν
viscosidade cinemática, η/ρ, a única combinação relevante neste contexto
Pressupõe
Escoamento plenamente desenvolvido, no interior de um tubo liso, reto e circular. A rugosidade, as curvas e a extensão da entrada deslocam o limite natural da transição. Sendo intelectualmente francos, é esta a verdadeira justificação para atribuir aos valores limiares apresentados nesta página um estatuto convencional de engenharia prático e jamais a face irredutível das constantes.

Dois fluidos, um tubo, uma velocidade, vereditos opostos

A água num tubo de 10 mm a 1 m/s regista Re = 9.966. O veredito é turbulento. Altere o fluido para mel, sem tocar nos cursores. O valor cai para 1,420, um escoamento tão laminar quanto possível. Nem o tubo nem a velocidade mudaram, logo nenhum deles ditou o resultado.

A linha da viscosidade cinemática revela o responsável. São 1,00 × 10⁻⁶ m²/s para a água contra 7,04 × 10⁻³ m²/s para o mel. Como Re = vD/ν, a proporção entre os dois números de Reynolds corresponde à dessas duas propriedades e a mais nada. A razão é 7018, um valor que resiste a todas as configurações da ferramenta. Ao arrastar a velocidade através das suas seis décadas e o diâmetro através de cinco, ambos os números de Reynolds acompanham o movimento. O 7018 permanece sempre entre eles.

Observe o mapa de regimes enquanto altera o fluido. O ponto marcado continua imóvel. Muda de cor porque a fronteira deslizou quase quatro décadas ao longo do eixo da velocidade para o ultrapassar.

Quase nada na sua canalização é laminar

Água num tubo de 10 mm. A ferramenta indica 0,2308 m/s como limite laminar, e abaixo disso o veredito fica verde. Ultrapasse os 0,4014 m/s e o escoamento passa a ser totalmente turbulento. Uma torneira de cozinha corre mais depressa do que ambos.

O escoamento laminar em tubos preenche capítulos inteiros dos manuais escolares, pois pode ser resolvido de forma analítica. O perfil de velocidades é uma parábola exata, a queda de pressão é proporcional ao caudal e nada se cruza entre as camadas. Quase nenhuma da água numa casa se comporta assim. O fluido que corre nas paredes mistura-se, exigindo medições e correlações em vez de deduções matemáticas.

Estreitar o tubo eleva o limite em vez de o baixar. Ao definir o diâmetro para 5 mm, o teto laminar passa a ser 0,4616 m/s, porque a expressão Re = vD/ν apenas se importa com o produto. Se reduzir D a metade, terá de duplicar v para atingir 2300 novamente. É por isso que os capilares permanecem laminares, ao passo que as condutas de abastecimento não.

2300 e 4000 são convenções relativas a tubos

O número gerado pela ferramenta resulta da aritmética exata sobre os quatro valores introduzidos. A palavra ao lado é uma convenção. Arraste a velocidade para 0,3 m/s no tubo de 10 mm. O número de Reynolds passa a 2.990 e o veredito indica Transição. Trata-se da ferramenta a recusar-se a responder, e de forma correta. 2300 e 4000 descrevem um escoamento plenamente desenvolvido num tubo cilíndrico liso. Nem a rugosidade do tubo nem a perturbação à entrada entram no número de Reynolds. Daí a presença de uma faixa âmbar onde uma linha seria mais simples.

O significado do número inferior foi clarificado em 2011, por Avila, Moxey, de Lozar, Avila, Barkley e Hof na revista Science, e o seu método é a parte que vale a pena conhecer. Os autores injetaram pulsos de turbulência num escoamento tubular laminar e cronometraram a sua duração. Abaixo de um ponto crítico, a perturbação decai. Acima dele, a turbulência espalha-se mais depressa do que se dissipa. O limiar não representa a velocidade à qual um tubo deixa de ser laminar. Trata-se antes da velocidade acima da qual a turbulência, uma vez introduzida por qualquer motivo, deixa de desaparecer por si só.

Altere a geometria e a comparação acompanha essa mudança. Uma esfera em sedimentação nesta mesma água é avaliada perto de Re = 1 e Re = 1000. Já uma camada limite ao longo de uma placa plana sofre transição perto de Re = 5 × 10⁵.

Problema resolvido na íntegra

  1. Uma conduta num túnel de água 7 passos

    Uma conduta de ventilação cilíndrica com 0,40 m de diâmetro transporta ar a 3,0 m/s. Se quiser observar o comportamento do escoamento interior através de um modelo à escala de 1:10 num túnel de água, qual deverá ser a velocidade da água para garantir que o escoamento do modelo é idêntico ao da conduta?

    Abrir este problema na ferramenta

    1. A densidade e a viscosidade do ar nunca surgem separadas na resposta. Ao dividir a segunda pela primeira, obtém a viscosidade cinemática: 1,813 × 10⁻⁵ a dividir por 1,204 resulta em 1,5058 × 10⁻⁵ m²/s. A linha da Viscosidade cinemática arredonda este valor para 1,51 × 10⁻⁵. Esse único número é tudo aquilo que o número de Reynolds precisa de saber sobre o fluido.

      νa=ηρ=1.813×10−51.204=1.5058×10−5 m2/s\nu_a=\dfrac{\eta}{\rho}=\dfrac{1.813\times10^{-5}}{1.204} =1.5058\times10^{-5}\ \mathrm{m^2/s}

    2. Para a conduta, Re = vD/ν. Os valores 3,0 × 0,40 a dividir por 1,5058 × 10⁻⁵ dão 79.691. A linha do Regime indica Turbulento, como aconteceria com qualquer valor além dos 4000. Este encontra-se vinte vezes acima disso.

      Red=vd Ddνa=3.0⋅0.401.5058×10−5=79,691 ≥ 4000\mathrm{Re}_d=\dfrac{v_d\,D_d}{\nu_a}=\dfrac{3.0\cdot 0.40}{1.5058\times10^{-5}} =79{,}691\ \geq\ 4000

    3. Dois escoamentos são idênticos quando a geometria é semelhante e os números de Reynolds coincidem. Como Re é o único grupo adimensional do problema, igualá-lo é a única condição necessária. Nada nessa premissa obriga o modelo a usar o mesmo fluido, sendo essa a liberdade que vale a pena explorar.

      Rem=Red⟺vmDmνw=vdDdνa\mathrm{Re}_m=\mathrm{Re}_d\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{v_m D_m}{\nu_w}=\dfrac{v_d D_d}{\nu_a}

    4. Água a 20 °C: 1,0016 × 10⁻³ Pa·s a dividir por 998,2 kg/m³ dá 1,0034 × 10⁻⁶ m²/s. A água é sensivelmente oitocentas vezes mais densa do que o ar e cerca de cinquenta e cinco vezes mais viscosa. Os dois efeitos quase se anulam. O que resta é um fator de 15,007, e comporta-se da forma que os principiantes não esperam. Por unidade de inércia, o ar é o mais fluido dos dois.

      νw=1.0016×10−3998.2=1.0034×10−6 m2/s,νaνw=15.007\nu_w=\dfrac{1.0016\times10^{-3}}{998.2}=1.0034\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}, \qquad \dfrac{\nu_a}{\nu_w}=15.007

    5. Iguale os dois números de Reynolds e resolva em ordem à velocidade necessária no túnel. Reduzir o tubo num fator de dez multiplica a velocidade exigida por dez. Trocar ar por água divide-a por 15,007. O fluido dita a regra, colocando a resposta em 1,999 m/s. É um modelo com um décimo do tamanho, e a água no seu interior flui mais devagar do que o ar que representa.

      vm=vd⋅DdDm⋅νwνa=3.0⋅10⋅115.007=1.999 m/sv_m=v_d\cdot\dfrac{D_d}{D_m}\cdot\dfrac{\nu_w}{\nu_a} =3.0\cdot 10\cdot\dfrac{1}{15.007}=1.999\ \mathrm{m/s}

    6. Ajuste a ferramenta para água, 1,999 m/s e 0,040 m. A linha do número de Reynolds regista 79.689 contra os 79.691 da conduta. A diferença de duas unidades deve-se ao quarto dígito de uma velocidade expressa com quatro algarismos. A linha Laminar abaixo de oferece uma segunda forma de atestar a correspondência. O ar da conduta precisaria de descer abaixo de 0,0866 m/s para se tornar laminar, enquanto a água do modelo teria de cair sob 0,0577 m/s. Cada escoamento circula a 34,6 vezes o seu próprio limite.

      Rem=1.999⋅0.0401.0034×10−6=79,689,3.00.0866≈1.9990.0577≈34.6\mathrm{Re}_m=\dfrac{1.999\cdot 0.040}{1.0034\times10^{-6}}=79{,}689, \qquad \dfrac{3.0}{0.0866}\approx\dfrac{1.999}{0.0577}\approx 34.6

    7. Ninguém ajusta um túnel para 1,999. Ao arredondar o mostrador para 2,0 m/s, a linha indica 79.728, ficando 0,05% acima. Um desvio de 0,05% num número de Reynolds está abaixo de qualquer variação que os instrumentos do túnel consigam resolver.

      vm=2.0 ⇒ Rem=79,728,79,72879,691−1=0.05%v_m=2.0\ \Rightarrow\ \mathrm{Re}_m=79{,}728, \qquad \dfrac{79{,}728}{79{,}691}-1=0.05\%

    Resposta

    Cerca de 2,0 m/s, através de um modelo de 40 mm. A exigência exata é de 1,999 m/s. A página apresenta um número de Reynolds para cada configuração, mas a utilidade desse número reside em comparar dois casos. É por isso que 79.689 face a 79.691 é a resposta, e não um mero acidente. Aquilo que é transferível do modelo de volta para a conduta é adimensional. O fator de atrito e o coeficiente de pressão transitam, ao contrário dos pascais e dos newtons. Uma diferença de pressão medida na água converte-se através da razão de ρv²: 998,2 × 2,0² face a 1,204 × 3,0². Como tal, o túnel regista 368 vezes a pressão da conduta.

    vm=vd DdDm νwνa=3.0⋅1015.007=1.999 m/sv_m=v_d\,\dfrac{D_d}{D_m}\,\dfrac{\nu_w}{\nu_a} =\dfrac{3.0\cdot 10}{15.007}=1.999\ \mathrm{m/s}

Percurso de aprendizagem

Fluidos em movimento: o que a viscosidade cobra

Referências (2)

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.