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Torção de veios: veios maciços e ocos

Escolha um veio, maciço ou oco, e a carga que terá de transmitir: uma potência a determinada rotação ou um binário. A página calcula a tensão de corte, a torção e o coeficiente de segurança, ou dimensiona o menor veio possível para a secção escolhida. A tabela sob o desenho apresenta os cálculos.

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Lição

A teoria — Torção de veios: veios maciços e ocos

Um veio que transmite um binário T está sujeito a torção. A tensão de corte cresce proporcionalmente ao raio, τ = T r ÷ J, e atinge o máximo à superfície. J é o momento polar de área, J = π(D⁴ − dᵢ⁴) ÷ 32, que traduz a distribuição do material da secção em relação ao eixo. O veio roda segundo φ = T L ÷ (G J), em que G é o módulo de corte. Um veio que gira à velocidade angular ω transmite a potência P = T ω.

O que significa cada símbolo

T
o binário, em N·m. A partir da potência e da rotação, T = P ÷ ω
J
o momento polar de área, em m⁴. Devido à quarta potência do diâmetro, um pequeno aumento deste produz um grande ganho
τ
a tensão de corte, nula no eixo e máxima à superfície
φ
o ângulo de torção, em radianos. É proporcional ao comprimento
G
o módulo de corte, que mede a rigidez do material ao corte. Cerca de 80 GPa para o aço e 26 GPa para o alumínio

O centro de um veio quase não transmite binário

A tensão de corte num veio sob torção cresce proporcionalmente à distância ao centro: é nula no eixo e máxima à superfície. A metade interior do raio transmite apenas um dezasseis avos do binário, embora contenha um quarto do metal. Daí a vantagem de retirar material do centro. Prima Dimensionar veio oco: para os mesmos 150 kW a 3000 rpm, o veio maciço precisa de 32,30 mm e o veio oco cujo furo tem 80% do diâmetro precisa de 38,50 mm. O veio oco fica com 51,2% da massa. O gráfico mostra toda a relação de compromisso: mantendo o diâmetro exterior, um furo de 80% conserva 59,0% da capacidade de binário com 36,0% da massa. O veio cardã de um automóvel é um tubo largo de parede fina por outra razão, que esta página não calcula: também precisa de rigidez à flexão, pois o seu comprimento e rotação poderiam provocar vibração lateral. Um tubo largo oferece a maior rigidez para o seu peso.

Um veio dez vezes mais rápido pode transmitir dez vezes mais potência

A potência é o produto do binário pela velocidade angular. Num veio de dadas dimensões, o binário é limitado pela tensão que o aço suporta; a potência transmissível cresce, portanto, na proporção direta da rotação. Prima Veio cardã, 3000 rpm e depois Mesma potência, 300 rpm: os mesmos 150 kW à décima parte da rotação exigem dez vezes mais binário, a tensão sobe para 296,29 MPa e o coeficiente de segurança cai de 4,87 para 0,49. Para repor a tensão e o coeficiente de projeto nos valores iniciais, é preciso multiplicar o diâmetro pela raiz cúbica de dez: 2,15 vezes. O Veio propulsor naval leva esta relação ao extremo: 20 MW a 90 rpm são transmitidos por uma barra maciça com 650 mm de diâmetro, embora a resistência, por si só, aceitasse 531 mm. Os veios reais também são dimensionados para a flexão, a fadiga e a vibração. É ainda por isso que o veio de saída de uma caixa redutora, por girar devagar, costuma ser o mais grosso.

A torção produz corte; o corte, tração a 45°

Cada ponto da superfície de um veio sob torção está em corte puro. A tabela de resultados mostra o que isso significa a 45° do eixo: uma tensão principal de +τ e outra de −τ, com o mesmo valor absoluto. Siga a ligação sob a tabela para ver este estado no círculo de Mohr. O mesmo facto determina a forma de rotura de um veio. O aço macio, como qualquer metal dúctil, cede por corte através da secção. Um material frágil, como o ferro fundido, rompe por tração ao longo de uma hélice a 45°. Quando a rigidez importa mais do que a resistência, o metal mais leve pode ser vantajoso: prima Alumínio, mesma rigidez. Uma barra com 52,98 mm de diâmetro roda tanto como a barra de aço de 40 mm, mas tem apenas 60,3% da sua massa.

Problema resolvido na íntegra

  1. Dimensionamento de um veio de transmissão, maciço e oco 5 passos

    Um veio de aço deve transmitir 150 kW a 3000 rpm com um coeficiente de projeto de 2. O aço tem uma tensão de cedência à tração de 250 MPa. Determine o menor diâmetro maciço, o menor diâmetro exterior oco quando o furo tem 80% do diâmetro e a massa do veio oco em relação à do maciço. Prima Dimensionar veio oco para verificar.

    Abrir este problema na ferramenta

    1. O binário obtém-se a partir da potência e da velocidade angular:

      T=Pω=150 0002π⋅3000/60=477.5 N mT=\dfrac{P}{\omega}=\dfrac{150\,000}{2\pi\cdot 3000/60}=477{.}5\ \mathrm{N\,m}

    2. A tensão de corte admissível é a tensão de cedência ao corte, igual à tensão de cedência à tração ÷ √3, dividida pelo coeficiente de projeto:

      τallow=σy3 nd=2503⋅2=72.17 MPa\tau_{\mathrm{allow}}=\dfrac{\sigma_y}{\sqrt3\,n_d}=\dfrac{250}{\sqrt3\cdot 2}=72{.}17\ \mathrm{MPa}

    3. Num veio maciço, essa tensão é atingida à superfície quando:

      d=16Tπτallow3=16⋅477.5π⋅72.17×1063=32.30 mmd=\sqrt[3]{\dfrac{16T}{\pi\tau_{\mathrm{allow}}}}=\sqrt[3]{\dfrac{16\cdot 477{.}5}{\pi\cdot 72{.}17\times10^{6}}}=32{.}30\ \mathrm{mm}

    4. Um veio oco com um furo de 0,8 D tem 1 − 0,8⁴ do J de um veio maciço com o mesmo D. O seu diâmetro exterior é, portanto, o diâmetro maciço dividido pela raiz cúbica de 1 − 0,8⁴:

      D=d1−0.843=32.300.59043=38.50 mm,di=0.8D=30.80 mmD=\dfrac{d}{\sqrt[3]{1-0{.}8^4}}=\dfrac{32{.}30}{\sqrt[3]{0{.}5904}}=38{.}50\ \mathrm{mm},\qquad d_i=0{.}8D=30{.}80\ \mathrm{mm}

    5. A massa é proporcional à área da secção, pelo que a razão entre as duas massas é:

      mhollowmsolid=(1−0.82)(38.5032.30)2=0.36⋅1.4208=51.2%\dfrac{m_{\mathrm{hollow}}}{m_{\mathrm{solid}}}=(1-0{.}8^2)\left(\dfrac{38{.}50}{32{.}30}\right)^2=0{.}36\cdot 1{.}4208=51{.}2\%

    Resposta

    O veio maciço precisa de 32,30 mm. O veio oco precisa de 38,50 mm de diâmetro exterior e 30,80 mm de diâmetro interior, ficando com 51,2% da massa para exatamente a mesma resistência. O diâmetro é 19% maior, o preço a pagar por uma solução vantajosa sempre que o peso importa mais do que o espaço.

    d=32.30 mm,D=38.50 mm,51.2%d=32{.}30\ \mathrm{mm},\quad D=38{.}50\ \mathrm{mm},\quad 51{.}2\%

Percurso de aprendizagem

Para onde vai a carga

Referências (1)
  • Where the four materials' modulus and yield figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A materials handbook or the relevant specifications: EN 10025 / ASTM A36 for mild steel, AISI 4140, 6061-T6 aluminium and Ti-6Al-4V.

· Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.