Descrever distribuições

Introduza um conjunto de dados, ou dois para comparar. Também pode escolher um dos exemplos abaixo. Para cada conjunto, verá um diagrama de pontos por cima do diagrama de extremos e quartis, numa escala comum, com a média assinalada por baixo do retângulo. Ao mudar o método de cálculo dos quartis, mudam Q₁ e Q₃ e, com eles, os limites de deteção de valores atípicos.

Média	$\bar x=\frac{1}{n}\sum x_i$
Desvio-padrão	$s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}}$
Limites de deteção de valores atípicos	$\begin{aligned}&Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\\&Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}\end{aligned}$

Exemplo resolvido — Descrever distribuições

Número de valores	97
Média	54,4948
Desvio-padrão s	5,8401
Mediana M	54
Primeiro quartil Q₁	50
Terceiro quartil Q₃	59
Amplitude interquartil	9
Amplitude	28

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Descrever distribuições

Descrever uma distribuição é indicar a sua forma, o centro, a dispersão e eventuais valores invulgares, tendo em conta o que os dados representam. Comparar duas distribuições exige dizer em que diferem esses aspetos e quantificar as diferenças.

De onde vem a fórmula

Forma. Observe um diagrama de pontos ou um histograma: quantos picos tem? É aproximadamente simétrico ou tem uma cauda mais longa à direita ou à esquerda? Repare também em lacunas e concentrações de valores. O coeficiente de assimetria g₁ quantifica a assimetria: é positivo quando a cauda direita é longa.
$g_1=\frac{\frac1n\sum(x_i-\bar x)^3}{\left(\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2\right)^{3/2}}$
Centro. A média é o ponto de equilíbrio dos dados. A mediana tem pelo menos metade dos valores abaixo de si ou iguais a si e pelo menos metade acima de si ou iguais a si. Um único valor extremo pode deslocar muito a média e quase não alterar a mediana; por isso se diz que a mediana é resistente.
$\bar x=\frac{1}{n}\sum x_i,\qquad M=x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}$
Dispersão. O desvio-padrão s mede a distância típica à média. No seu cálculo, divide-se por n − 1 porque os desvios em relação a x̄ têm de somar zero. A amplitude interquartil mede a dispersão da metade central dos dados e, tal como a mediana, resiste aos valores extremos. A amplitude depende apenas dos dois valores mais extremos.
$s=\sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}},\qquad\sum(x_i-\bar x)=0$
Valores invulgares. Um valor é atípico se ficar mais de 1,5 amplitudes interquartis abaixo de Q₁ ou acima de Q₃. Se coincidir exatamente com um dos limites, não é atípico.
$x<Q_1-1.5\,\mathrm{IQR}\ \ \lor\ \ x>Q_3+1.5\,\mathrm{IQR}$
Escolha as medidas adequadas à forma. Numa distribuição aproximadamente simétrica e sem valores atípicos, indique a média e s. Se houver assimetria ou valores atípicos, indique a mediana e a amplitude interquartil. Para comparar dois grupos, use o mesmo par de medidas e a mesma escala em ambos. Diga qual tem valores maiores e quantifique a diferença.

Pressupõe: Os quartis dependem da regra de cálculo. Pode escolher entre três: o método das metades da TI-84 e os tipos 7 e 6 de Hyndman e Fan, usados por predefinição no R e no Minitab e SPSS, respetivamente. Os resultados podem diferir em conjuntos de dados de qualquer dimensão.

Problemas resolvidos na íntegra

Descrever uma distribuição 3 passos
Descreva a distribuição dos 175 tempos de espera do Old Faithful após uma erupção de 3 minutos ou mais: n = 175, média 79,99, s = 5,99, mínimo 64, Q₁ = 76, mediana 80, Q₃ = 84, máximo 96, assimetria −0,04.

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1. Forma: o diagrama de pontos tem um único pico e caudas de comprimentos semelhantes; o coeficiente de assimetria está próximo de zero.
  
  $g_1\approx-0.04$
2. Centro e dispersão: como a distribuição é aproximadamente simétrica, a média e o desvio-padrão são medidas adequadas. Calcule os limites para verificar se há valores atípicos:
  
  $76-1.5\times8=64,\qquad 84+1.5\times8=96$
3. 64 e 96 coincidem exatamente com os limites. Um valor que coincide com um limite não é atípico.
Resposta

A distribuição tem um único pico e é aproximadamente simétrica, com centro perto dos 80 minutos (média 79,99, mediana 80). O desvio-padrão é de cerca de 6 minutos e os tempos de espera vão de 64 a 96 minutos. Não há valores atípicos.

$\bar x\approx80,\quad M=80,\quad s\approx6,\quad 64\le x\le96$
Calcular a média e o desvio-padrão à mão 3 passos
Nove alunos demoraram 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31 e 49 minutos a fazer os trabalhos de casa. Calcule a média e o desvio-padrão.

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1. Some os valores e divida por n:
  
  $\bar x=\frac{10+15+19+20+23+29+29+31+49}{9}=\frac{225}{9}=25$
2. Eleve ao quadrado cada desvio em relação à média e some os quadrados:
  
  $225+100+36+25+4+16+16+36+576=1034$
3. Divida por n − 1 = 8 e calcule a raiz quadrada:
  
  $s=\sqrt{\frac{1034}{8}}=\sqrt{129.25}\approx11.37$
Resposta

x̄ = 25 minutos, s ≈ 11,37 minutos.

$\bar x=25,\qquad s\approx11.37$
Que medidas resistem a um valor atípico 2 passos
As 66 medições de Newcomb têm média 26,21, desvio-padrão 10,75, mediana 27 e amplitude interquartil 7. Retirando os dois valores atípicos, −44 e −2, as 64 medições restantes têm média 27,75, desvio-padrão 5,08, mediana 27,5 e amplitude interquartil 6,5. Que medidas mudaram mais? Que par de medidas deve descrever o conjunto completo?

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1. Compare cada medida com e sem os dois valores:
  
  $\bar x:\ 26.21\to27.75,\qquad s:\ 10.75\to5.08,\qquad M:\ 27\to27.5,\qquad\mathrm{IQR}:\ 7\to6.5$
2. O desvio-padrão cai para menos de metade e a média varia 1,54, enquanto a mediana e a amplitude interquartil variam apenas 0,5 cada. Os valores atípicos têm grande influência nas medidas não resistentes.
Resposta

A média e, sobretudo, o desvio-padrão foram as medidas que mais mudaram. Para descrever o conjunto completo, com os seus dois valores atípicos, são mais adequadas a mediana, 27, e a amplitude interquartil, 7.

$M=27,\qquad\mathrm{IQR}=7$
Comparar duas distribuições 2 passos
Compare os tempos de espera após erupções curtas (n = 97: mediana 54, Q₁ 50, Q₃ 59, valores entre 43 e 71, assimetria 0,30) com os tempos após erupções longas (n = 175: mediana 80, Q₁ 76, Q₃ 84, valores entre 64 e 96, assimetria −0,04).

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1. Centro: a diferença entre as medianas é:
  
  $80-54=26$
2. Dispersão: as amplitudes interquartis são 9 e 8 minutos, quase iguais. Forma: ambas têm um único pico; os tempos após erupções curtas têm uma cauda direita ligeiramente mais longa. Valores invulgares: os limites não assinalam valores atípicos em nenhum dos grupos. Sobreposição:
  
  $Q_1^{\,\mathrm{long}}=76>59=Q_3^{\,\mathrm{short}}$
Resposta

Após uma erupção longa, a espera é tipicamente 26 minutos maior (medianas de 80 e 54), com dispersão semelhante (amplitudes interquartis de 8 e 9). Nenhum dos grupos tem valores atípicos. A metade central dos tempos após erupções longas, de 76 a 84, fica inteiramente acima da metade central dos tempos após erupções curtas, de 50 a 59.

$M_{\mathrm{long}}-M_{\mathrm{short}}=26,\qquad\mathrm{IQR}:\ 8,\ 9$
Os mesmos dados, duas regras para os quartis 2 passos
Para os valores 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31, 49, calcule Q₁ e Q₃ pelo método das metades e pelo tipo 7, h = (n − 1)p + 1. Determine, em cada caso, se 49 é um valor atípico.

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1. Metades: exclua a mediana, 23, e calcule a mediana de cada grupo de quatro valores:
  
  $Q_1=\frac{15+19}{2}=17,\qquad Q_3=\frac{29+31}{2}=30,\qquad 30+1.5\times13=49.5>49$
2. Tipo 7: h = 8 × 0,25 + 1 = 3 e h = 8 × 0,75 + 1 = 7, pelo que Q₁ e Q₃ são os valores nas posições 3 e 7:
  
  $Q_1=x_{(3)}=19,\qquad Q_3=x_{(7)}=29,\qquad 29+1.5\times10=44<49$
Resposta

Metades: Q₁ = 17, Q₃ = 30, limite superior 49,5; logo, 49 não é atípico. Tipo 7: Q₁ = 19, Q₃ = 29, limite superior 44; logo, 49 é atípico.

$49.5>49,\qquad 44<49$
Mudar de unidades 2 passos
Newcomb registou cada tempo t através de um código x, com t = 24,8 + x/1000 em milionésimos de segundo. Os códigos têm média 26,21, desvio-padrão 10,75, mediana 27 e amplitude interquartil 7. Calcule as mesmas quatro medidas para t.
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1. Somar uma constante altera as medidas de centro e mantém as de dispersão. Multiplicar por uma constante positiva multiplica ambos os tipos de medida por essa constante. Para o centro:
  
  $24.8+\frac{26.21}{1000}=24.82621,\qquad 24.8+\frac{27}{1000}=24.827$
2. Para a dispersão, aplica-se apenas o fator 1/1000:
  
  $\frac{10.75}{1000}=0.01075,\qquad\frac{7}{1000}=0.007$
Resposta

Média 24,82621 e mediana 24,827 milionésimos de segundo; desvio-padrão 0,01075 e amplitude interquartil 0,007.

$\bar t=24.82621,\quad M_t=24.827,\quad s_t=0.01075,\quad\mathrm{IQR}_t=0.007$
Quando a média e a mediana contrariam a cauda 3 passos
Em 100 agregados familiares, 38 têm 1 adulto, 49 têm 2, 9 têm 3, 3 têm 4 e 1 tem 5. Calcule a média e a mediana e indique o sentido da assimetria da distribuição.

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1. A média:
  
  $\bar x=\frac{38\cdot1+49\cdot2+9\cdot3+3\cdot4+1\cdot5}{100}=\frac{180}{100}=1.8$
2. A mediana é a média dos valores nas posições 50 e 51. Os primeiros 38 valores são iguais a 1 e os das posições 39 a 87 são iguais a 2:
  
  $x_{(50)}=x_{(51)}=2\ \Rightarrow\ M=2$
3. A cauda estende-se para a direita, até aos 4 e 5 adultos, e o coeficiente de assimetria é positivo:
  
  $g_1\approx1.2>0,\qquad\bar x=1.8<2=M$
Resposta

Média 1,8, mediana 2, assimetria à direita (g₁ ≈ 1,2): a média fica abaixo da mediana, apesar de a cauda mais longa estar à direita.

$\bar x=1.8<M=2,\qquad g_1\approx1.2$

Problemas suplementares, só com a resposta

Calcule a média e o desvio-padrão de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.

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x̄ = 5, s ≈ 2,14

$\bar x=5,\qquad s=\sqrt{\tfrac{32}{7}}\approx2.14$
Um conjunto de dados tem Q₁ = 12 e Q₃ = 20. Quais dos valores 0, 8, 32 e 33 são atípicos?

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Apenas 33. Os limites são 0 e 32, e um valor que coincide com um limite não é atípico.

$12-1.5\times8=0,\qquad 20+1.5\times8=32<33$
Multiplica-se cada valor de um conjunto de dados por 3 e depois soma-se 5. O que acontece à média, à mediana, ao desvio-padrão e à amplitude interquartil?

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A média e a mediana passam a ser 3 × (valor anterior) + 5; o desvio-padrão e a amplitude interquartil são multiplicados por 3.

$\bar x\to3\bar x+5,\quad M\to3M+5,\quad s\to3s,\quad\mathrm{IQR}\to3\,\mathrm{IQR}$
As classificações de um teste têm forte assimetria à esquerda, com duas classificações muito baixas. Que medidas de centro e dispersão devem constar de um relatório?

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A mediana e a amplitude interquartil.
Para os valores 10, 15, 19, 20, 23, 29, 29, 31, 49, calcule Q₁ e Q₃ pelo tipo 6, h = (n + 1)p.

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Q₁ = 17, Q₃ = 30

$h=2.5:\ 15+0.5\,(19-15)=17,\qquad h=7.5:\ 29+0.5\,(31-29)=30$

Os dois picos do Old Faithful correspondem a dois tipos de erupção

Selecione Old Faithful: curta/longa. O histograma dos 272 tempos de espera tinha dois picos; aqui, esses mesmos tempos estão separados pela duração da erupção anterior. Após uma erupção com menos de 3 minutos, a metade central dos tempos de espera situa-se entre 50 e 59 minutos. Após uma mais longa, fica entre 76 e 84. Os dois retângulos não se sobrepõem e, no histograma de cada grupo, com classes de 5 minutos, há apenas um pico. O segundo pico surgia, portanto, da junção de dois grupos no mesmo histograma. Perante uma distribuição com dois picos, vale a pena procurar o que os distingue. Aqui, basta cronometrar a própria erupção.

Duas calculadoras discordam sobre o mesmo 49

Selecione TPC, metades. Na TI-84, obtém-se Q₁ = 17 e Q₃ = 30; o limite superior fica em 49,5 e o maior tempo, 49, fica por pouco dentro dele. Selecione TPC, tipo 7, o método que o R usa por predefinição: Q₁ = 19 e Q₃ = 29, o limite desce para 44 e o mesmo 49 passa a ser atípico. São os mesmos nove números; só mudou o programa. Em 1996, Hyndman e Fan compararam nove definições de quantis amostrais usadas em programas de estatística. Encontraram programas que calculavam um quartil por uma regra e usavam outra nos seus próprios diagramas de extremos e quartis. Com nove valores, a escolha da regra pode decidir a classificação. Registe os quartis usados, além da conclusão.

Assimetria à direita, com a média abaixo da mediana

Segundo uma regra frequente nos manuais, a média fica do lado da cauda mais longa. Selecione Adultos por agregado: a cauda estende-se para a direita, até aos agregados com quatro e cinco adultos, e o coeficiente de assimetria é +1,2. Ainda assim, a média, 1,8, fica abaixo da mediana, 2. Em 2005, Paul von Hippel encontrou esta regra em 14 de 18 manuais introdutórios e mostrou que falhava nos dados do General Social Survey de 2002. Os agregados fictícios deste exemplo reproduzem a forma dessa distribuição: 38% dos valores ficam abaixo da mediana, 49% coincidem com ela e 13% ficam acima. Os muitos valores à esquerda fazem descer a média, enquanto os poucos valores mais afastados à direita determinam a assimetria, pois os desvios entram no cálculo elevados ao cubo. Com dados discretos e muitos valores iguais à mediana, observe a forma no gráfico; a posição relativa da média e da mediana pode induzir em erro.

Percurso de aprendizagem

Estatística: dos dados às proporções

Referências (6)

Insight block 3 and solved problem 7: the textbook rule that the mean lies towards the long tail, found in 14 of 18 introductions, failing for adults per US household in the 2002 General Social Survey (skewness 1.11, 38% of cases below the median, 49% at it, 13% above), and why discrete data break it: von Hippel, P. T. (2005). Mean, median, and skew: Correcting a textbook rule. Journal of Statistics Education, 13(2).
Insight block 2: the definitions of sample quantiles in use in statistical packages, compared, and the observation that one package can use one definition for a quantile and another for its boxplot: Hyndman, R. J. & Fan, Y. (1996). Sample quantiles in statistical packages. The American Statistician, 50(4), 361–365.
Types 6 and 7 as the page computes them: type 7 is R's default, type 6 is the one Minitab and SPSS use: R Core Team. quantile: Sample Quantiles. R stats package documentation.
A standard AP Statistics text showing the TI-83/84 and Minitab giving different quartiles for the same data, and the TI-83/84's 1-Var Stats as the five-number summary: Starnes, D. S. & Tabor, J. The Practice of Statistics, 7th edition. New York: Bedford, Freeman & Worth, 2024; page 75.
Old Faithful's waits and eruption lengths, split at 3 minutes for the first preset; R documents the waiting column as the time to the next eruption: R Core Team. faithful: Old Faithful Geyser Data. R datasets package documentation; source: Härdle, W. (1991). Smoothing Techniques: With Implementation in S. New York: Springer.
Newcomb's 66 timings and the code t = 24.8 + x/1000 millionths of a second used in solved problem 6: Stigler, S. M. (1977). Do robust estimators work with real data? The Annals of Statistics, 5(6), 1055–1098.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Descrever distribuições

De onde vem a fórmula

Problemas suplementares, só com a resposta

Os dois picos do Old Faithful correspondem a dois tipos de erupção 🖖

Duas calculadoras discordam sobre o mesmo 49 🖖

Assimetria à direita, com a média abaixo da mediana 🖖

Os dois picos do Old Faithful correspondem a dois tipos de erupção

Duas calculadoras discordam sobre o mesmo 49

Assimetria à direita, com a média abaixo da mediana