Fläche zwischen zwei Kurven

Solange eine Kurve verlässlich über der anderen verläuft, ist die Fläche dazwischen das Integral von oberer minus unterer Funktion. Schneiden sich beide, wechselt die Differenz das Vorzeichen: Das Integral zieht nun Fläche ab, statt sie hinzuzufügen. Diese Seite spürt die Schnittstellen auf, teilt dort auf und zeigt dir die tatsächliche Fläche und das schlichte Integral im direkten Vergleich.

Fläche zwischen zwei Kurven	$A=\int_{a}^{b}\bigl\|f(x)-g(x)\bigr\|\,dx$
Aufteilung bei Schnittstelle c	$\begin{aligned}\int_{a}^{b}\bigl\|f-g\bigr\|\,dx&=\int_{a}^{c}(g-f)\,dx\\&\quad+\int_{c}^{b}(f-g)\,dx\end{aligned}$

Rechenbeispiel — Fläche zwischen zwei Kurven

Fläche, an Schnittstellen geteilt	0,5
Differenzintegral, ungeteilt	0
Schnittstellen im Intervall	1

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Fläche zwischen zwei Kurven

Der Flächeninhalt zwischen zwei Kurven f und g auf [a, b] ist ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx. Bleibt eine Kurve durchgehend oben, gilt schlicht ∫(oben − unten) dx. Schneiden sie sich, teilst du das Integral an den Schnittstellen auf und integrierst auf jedem Teilstück oben minus unten.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

f, g: die beiden Kurven als Funktionen von x (oder von y bei waagerechter Zerlegung)

Woher die Formel kommt

Bestimme die Schnittstellen. An den Schnittstellen wechselt f − g im Intervall das Vorzeichen; dort wechselt also auch, welche Kurve oben liegt. Löse f = g, um sie zu finden. Ein Punkt, an dem sich die Kurven nur berühren, zählt nicht dazu.
$f(x)=g(x)\ \Rightarrow\ x=c_1,\dots,c_k$
Integriere auf jedem Teilstück oben minus unten. Zwischen benachbarten Schnittstellen bleibt durchgehend dieselbe Kurve oben. Der Integrand ist dort also positiv, und das Integral liefert direkt den Flächeninhalt dieses Teilstücks.
$A=\sum_{i}\left|\int_{c_i}^{c_{i+1}}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\right|$

Aufgaben vollständig gelöst

Parabel und Gerade 2 Schritte
Bestimme die Fläche zwischen y = x² und y = x + 2.

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1. Sie schneiden sich, wo x² = x + 2 gilt:
  
  $x^{2}=x+2\ \Rightarrow\ (x-2)(x+1)=0\ \Rightarrow\ x=-1,\ 2$
2. Zwischen −1 und 2 liegt die Gerade oben:
  
  $\int_{-1}^{2}\left(x+2-x^{2}\right)dx=\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}+2x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{2}=\tfrac{10}{3}+\tfrac{7}{6}=\tfrac{9}{2}$
Antwort

9/2 = 4,5. Prüfe die Lage an einer Stichprobe: Für x = 0 liefert die Gerade 2 und die Parabel 0.

$A=\tfrac{9}{2}=4{.}5$
Kurven mit Schnittpunkt im Intervall 2 Schritte
Bestimme die Fläche zwischen y = x³ und y = x auf [−1, 1].

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1. Sie schneiden sich bei x = −1, 0 und 1 und tauschen bei 0 die Plätze:
  
  $x^{3}=x\ \Rightarrow\ x=-1,\ 0,\ 1$
2. Jedes Teilstück mit der jeweils oberen Kurve zuerst:
  
  $\int_{-1}^{0}\left(x^{3}-x\right)dx+\int_{0}^{1}\left(x-x^{3}\right)dx=\tfrac14+\tfrac14$
Antwort

½. Das ungeteilte Integral von x − x³ über [−1, 1] ergibt 0: Genau davor warnt der Infokasten zum verschwindenden Integral.

$A=\tfrac12$
Zwei trigonometrische Kurven 2 Schritte
Bestimme die Fläche zwischen y = sin x und y = cos x auf [0, π/2].

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1. Sie schneiden sich, wo tan x = 1 gilt, also bei π/4; davor liegt cos x oben:
  
  $\sin x=\cos x\ \Rightarrow\ x=\tfrac{\pi}{4}$
2. Beide Teilstücke:
  
  $\int_{0}^{\pi/4}(\cos x-\sin x)\,dx+\int_{\pi/4}^{\pi/2}(\sin x-\cos x)\,dx=(\sqrt2-1)+(\sqrt2-1)$
Antwort

2√2 − 2 ≈ 0,8284. Die beiden Stücke sind gleich groß, jeweils √2 − 1, da die Fläche symmetrisch zu x = π/4 liegt.

$A=2\sqrt2-2\approx0{.}8284$
Integration nach y 2 Schritte
Bestimme die Fläche zwischen x = y² und x = y + 2.

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1. Sie schneiden sich, wo y² = y + 2 gilt, also bei y = −1 und y = 2; die Gerade liegt rechts:
  
  $y^{2}=y+2\ \Rightarrow\ y=-1,\ 2$
2. Ein einziges Integral nach y:
  
  $\int_{-1}^{2}\left(y+2-y^{2}\right)dy=\tfrac{9}{2}$
Antwort

9/2 = 4,5. Derselbe Wert wie in der ersten Aufgabe, denn diese Fläche entsteht durch Spiegelung an der Geraden y = x.

$A=\tfrac{9}{2}=4{.}5$
Kurven, die sich nur an den Rändern treffen 1 Schritte
Bestimme die Fläche zwischen y = √x und y = x² auf [0, 1].

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1. Zwischen 0 und 1 liegt √x oben:
  
  $\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right)dx=\Bigl[\tfrac23x^{3/2}-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1}=\tfrac23-\tfrac13$
Antwort

1/3. Jede Kurve ist das Spiegelbild der anderen an y = x; die Gerade y = x teilt die Fläche daher in zwei Hälften zu je 1/6.

$A=\tfrac13$
Kurven mit drei Schnittpunkten 2 Schritte
Bestimme die gesamte Fläche zwischen y = x³ − x und y = 3x.
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1. Sie schneiden sich, wo x³ − 4x = 0 gilt, also bei x = −2, 0 und 2:
  
  $x^{3}-x=3x\ \Rightarrow\ x^{3}-4x=0\ \Rightarrow\ x=-2,\ 0,\ 2$
2. Die beiden Teilflächen haben dieselbe Form, um eine halbe Drehung um den Ursprung gedreht. Verdopple also das rechte Stück, auf dem 3x oben liegt:
  
  $A=2\int_{0}^{2}\left(4x-x^{3}\right)dx=2\Bigl[2x^{2}-\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{2}=2(8-4)$
Antwort

8. Das ungeteilte Integral über [−2, 2] ergäbe auch hier wieder 0.

$A=8$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Bestimme den von y = x² und y = 2x − x² eingeschlossenen Flächeninhalt.

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1/3 ≈ 0,3333. Die Kurven schneiden sich bei x = 0 und x = 1.

$A=\tfrac13\approx0{.}3333$
Bestimme den Flächeninhalt zwischen y = eˣ und y = x von x = 0 bis x = 1.

Ergebnis anzeigen

e − 3/2 ≈ 1,2183. Die Kurven schneiden sich nicht, die Integrationsgrenzen sind also schlicht die Intervallenden.

$A=e-\tfrac32\approx1{.}2183$
Bestimme den von y = x² − 4 und der x-Achse eingeschlossenen Flächeninhalt.

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32/3 ≈ 10,6667. Das Integral von x² − 4 über [−2, 2] ergibt −32/3, da die Fläche unterhalb der Achse liegt.

$A=\tfrac{32}{3}\approx10{.}6667$
Bestimme den Flächeninhalt des Gebiets, das von y = √x, y = 2 − x und der x-Achse begrenzt wird.

Ergebnis anzeigen

7/6 ≈ 1,1667. Nach y integriert genügt ein einziges Integral, ∫₀¹ (2 − y − y²) dy; nach x brauchst du zwei, aufgeteilt bei x = 1.

$A=\int_{0}^{1}\left(2-y-y^{2}\right)dy=\tfrac76\approx1{.}1667$
Bestimme den von y = x, y = 1/x und der Geraden x = 2 eingeschlossenen Flächeninhalt.

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3/2 − ln 2 ≈ 0,8069, von x = 1, wo sich die Kurven schneiden, bis x = 2.

$A=\int_{1}^{2}\left(x-\tfrac1x\right)dx=\tfrac32-\ln2\approx0{.}8069$

Das Differenzintegral kann null sein, obwohl reichlich Fläche da ist

Klick auf x³ und x: Null, doch Fläche. Auf [−1, 1] schneiden sich die beiden Kurven bei 0. Links davon verläuft x³ oben, rechts x. Um eine halbe Drehung um den Ursprung gedreht, haben beide Teilflächen dieselbe Form und messen je 0,25. Das Integral von x − x³ rechnet das rechte Stück positiv, das linke negativ und landet bei 0. Der Flächeninhalt beträgt 0,5. Klick auf sin und cos: eine Periode für dasselbe Phänomen in größerem Maßstab: ein Flächeninhalt von 4√2 ≈ 5,6569 und ein Integral von genau 0. Das Integral von f − g misst, wie weit f unterm Strich über g liegt. Die Fläche verlangt dagegen nach |f − g| – und um einen Betrag zu integrieren, zerlegst du das Integral dort, wo das Innere sein Vorzeichen wechselt.

Je nach Schnittrichtung braucht dieselbe Fläche ein Integral oder zwei

Klick auf x = y² und x = y + 2. Zerlegst du die Fläche entlang y, läuft jeder Streifen von der Parabel links zur Geraden rechts. Ein einziges Integral genügt: ∫ von −1 bis 2 über (y + 2 − y²) dy = 4,5. Teilst du dieselbe Fläche dagegen entlang x auf, wechselt die untere Begrenzung unterwegs. Unterhalb von x = 1 liegen beide Ränder auf der Parabel, y = ±√x; von 1 bis 4 bildet die Gerade den unteren Rand. Das macht zwei Integrale mit Wurzeln, um am Ende dieselben 4,5 zu erhalten. Schau dir vor der Wahl der Variablen genau an, auf welche Ränder deine Streifen treffen.

Archimedes fand diese Fläche ganz ohne Integrale: vier Drittel eines Dreiecks

Klick auf Archimedes' Parabel. Die Gerade x + 2 schneidet die Parabel in (−1, 1) und (2, 4), die Fläche dazwischen misst 4,5. Zeichne über dieser Sehne das Dreieck ein, dessen dritte Ecke am Punkt mit sehnenparalleler Tangente liegt, also bei (½, ¼). Seine Fläche beträgt 3,375, und 4,5 ist exakt 4/3 davon. Archimedes bewies das um 250 v. Chr. in Über die Parabelquadratur, indem er das Segment mit Dreiecken ausschöpfte. Jede Generation machte ein Viertel der vorigen aus. Die Summe 1 + ¼ + 1/16 + … ergibt 4/3. Mit dem Integral erreichst du diese Zahl heute in einer Zeile. Archimedes schaffte es ganz ohne Infinitesimalrechnung, denn die gab es damals noch gar nicht.

Lernpfad

Anwendungen der Integralrechnung

Quellen (2)

The method as the page uses it: Theorem 6.1 (∫ₐᵇ [f − g] dx when f ≥ g), Theorem 6.2 (∫ₐᵇ |f − g| dx for curves that cross, split at the intersections) and Theorem 6.3 (∫꜀ᵈ [u(y) − v(y)] dy along the y-axis): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.1, “Areas between Curves”.
Insight block 3: Proposition 24, “Every segment bounded by a parabola and a chord Qq is equal to four-thirds of the triangle which has the same base as the segment and equal height” (p. 251), proved through Proposition 23's sum of areas each a quarter of the one before (p. 250): T. L. Heath (ed.), The Works of Archimedes, Cambridge University Press (1897), “Quadrature of the Parabola”, Propositions 23–24, pp. 250–251.

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.