Ausmultiplizieren und Faktorisieren

Verändere die Klammern und beobachte das Rechteck. Die vier Flächenstücke sind die vier Terme. Ein Wechsel zum Faktorisieren stellt exakt dieselbe Frage von der anderen Seite.

Zwei Klammern	$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Ein Quadrat	$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$
Differenz zweier Quadrate	$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
Ganzzahlige Klammern existieren, wenn	$b^{2}-4ac=n^{2},\quad n\in\mathbb{Z}$

Rechenbeispiel — Ausmultiplizieren und Faktorisieren

Diskriminante	1 (1²)

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Ausmultiplizieren und Faktorisieren

Ausmultiplizieren bedeutet, Klammern in eine Summe von Termen aufzulösen. Faktorisieren geht den umgekehrten Weg: Du schreibst die Summe als Produkt von Klammern mit ganzzahligen Koeffizienten, wann immer das möglich ist.

Woher die Formel kommt

Multipliziere jeden Term mit jedem Term. Zwei Klammern mit je zwei Termen liefern vier Produkte: die vier Teilstücke des Rechtecks.
$(px+q)(rx+s)=prx^{2}+psx+qrx+qs$
Fasse gleichartige Terme zusammen. Die beiden Streifen sind jeweils Vielfache von x und addieren sich zu einem mittleren Term. Genau aus dieser Summe entsteht der mittlere Koeffizient.
$prx^{2}+(ps+qr)x+qs$
Faktorisieren beginnt mit dem gemeinsamen Faktor. Klammere den größten gemeinsamen Teiler von a, b und c mit dem Vorzeichen von a aus, damit das verbleibende Trinom mit einem positiven x²-Term beginnt.
$3x^{2}-12x-36=3(x^{2}-4x-12)$
Finde die Klammern. Suche für x² + bx + c zwei Zahlen, deren Produkt c und deren Summe b ist. Ist a ungleich 1, findest du zwei Zahlen mit Produkt ac und Summe b, spaltest den mittleren Term damit auf und klammerst paarweise aus.
$\begin{aligned}&(-6)(2)=-12,\ \ -6+2=-4\\&x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)\\[4pt]&6x^{2}+5x-4=6x^{2}+8x-3x-4\\&=2x(3x+4)-(3x+4)\\&=(2x-1)(3x+4)\end{aligned}$
Prüfe vor der Suche. Ganzzahlige Klammern existieren genau dann, wenn b² − 4ac eine Quadratzahl ist. Ist das nicht der Fall, bleibt jede Suche vergeblich.
$\begin{aligned}&ax^{2}+bx+c=(px+q)(rx+s),\ \ p,q,r,s\in\mathbb{Z}\\&\iff b^{2}-4ac=n^{2},\ \ n\in\mathbb{Z}\end{aligned}$

Aufgaben vollständig gelöst

Zwei Klammern mit Minuszeichen 2 Schritte
Multipliziere (2x − 1)(3x + 4) aus.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Multipliziere jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten. Die −1 behält ihr Vorzeichen in beiden Produkten.
  
  $\begin{aligned}&(2x)(3x)+(2x)(4)+(-1)(3x)+(-1)(4)\\&=6x^{2}+8x-3x-4\end{aligned}$
2. Die beiden mittleren Produkte sind Vielfache von x und lassen sich zu einem einzigen Term zusammenfassen.
  
  $6x^{2}+(8-3)x-4=6x^{2}+5x-4$
Antwort

6x² + 5x − 4.

$(2x-1)(3x+4)=6x^{2}+5x-4$
Eine quadrierte Klammer 4 Schritte
Multipliziere (2x − 3)² aus. Erkläre dann, woran du erkennst, dass 4x² − 12x + 9 ein Quadrat ist, wenn der Term von vornherein so dasteht.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Ein Quadrat bedeutet, eine Klammer mit sich selbst zu multiplizieren. Wie jedes solche Produkt besitzt es einen mittleren Term: das doppelte Produkt der beiden Terme.
  
  $\begin{aligned}(2x-3)^{2}&=(2x)^{2}+2(2x)(-3)+(-3)^{2}\\&=4x^{2}-12x+9\end{aligned}$
2. Der häufigste Fehler besteht darin, diesen mittleren Term wegzulassen. Ein einziger Wert für x reicht, um das aufzudecken.
  
  $(2x-3)^{2}\ne4x^{2}+9:\qquad x=1:\ (2-3)^{2}=1,\quad4+9=13$
3. Rückwärts gelesen sind der erste und der letzte Term Quadrate. Das mittlere Glied ist bis auf das Vorzeichen das doppelte Produkt ihrer Wurzeln: Hier ist −12x = −2(2x)(3), die Klammer trägt also ein Minus.
  
  $4x^{2}=(2x)^{2},\quad9=3^{2},\quad12x=2(2x)(3)$
4. Die Diskriminante liefert dasselbe Urteil ganz ohne Raten. Sie ist 0; die beiden Nullstellen fallen also zusammen und beide Klammern stimmen überein.
  
  $b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4(4)(9)=144-144=0$
Antwort

4x² − 12x + 9 = (2x − 3)². Nicht 4x² + 9: Für x = 1 ist das Quadrat 1, während 4x² + 9 den Wert 13 liefert.

$(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$
Drei Klammern 4 Schritte
Multipliziere (x + 2)(x − 1)(2x + 3) aus.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Multipliziere zuerst zwei der Klammern aus. Genau diesen Schritt übernimmt das Werkzeug.
  
  $(x+2)(x-1)=x^{2}-x+2x-2=x^{2}+x-2$
2. Multipliziere das entstandene Trinom danach mit der dritten Klammer: jeden seiner drei Terme mit beiden Gliedern von 2x + 3, was sechs Teilprodukte ergibt.
  
  $\begin{aligned}&(x^{2}+x-2)(2x+3)\\&=2x^{3}+3x^{2}+2x^{2}+3x-4x-6\end{aligned}$
3. Fasse zusammen: 3x² und 2x² ergeben 5x², und aus 3x und −4x wird −x.
  
  $=2x^{3}+5x^{2}-x-6$
4. Prüfe mit einem Wert, der die Rechnung einfach macht. Für x = 1 wird die mittlere Klammer 0, das gesamte Produkt ist also 0, und die ausmultiplizierte Form muss ebenfalls 0 ergeben.
  
  $x=1:\quad(3)(0)(5)=0,\qquad2+5-1-6=0$
Antwort

2x³ + 5x² − x − 6.

$(x+2)(x-1)(2x+3)=2x^{3}+5x^{2}-x-6$
Faktorisieren für a = 1 4 Schritte
Faktorisiere x² − 2x − 15.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Das Ausmultiplizieren von (x + m)(x + n) zeigt, wonach du suchen musst: zwei Zahlen mit dem Produkt −15 und der Summe −2.
  
  $\begin{aligned}&(x+m)(x+n)=x^{2}+(m+n)x+mn\\&mn=-15,\quad m+n=-2\end{aligned}$
2. Gehe die Teilerpaare von −15 durch. Da das Produkt negativ ist, haben die beiden Zahlen entgegengesetzte Vorzeichen.
  
  $\begin{aligned}-15&=1\times(-15)=(-1)\times15\\&=3\times(-5)=(-3)\times5\end{aligned}$
3. Nur 3 und −5 ergeben in der Summe −2.
  
  $m=-5,\ n=3:\qquad(-5)(3)=-15,\quad-5+3=-2$
4. Multipliziere zur Probe aus.
  
  $(x-5)(x+3)=x^{2}+3x-5x-15=x^{2}-2x-15$
Antwort

(x − 5)(x + 3).

$x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3)$
Faktorisieren von 6x² + 5x − 4, um zu sagen, ob es aufgeht 7 Schritte
Faktorisiere 6x² + 5x − 4 und sag vorab, ob es funktionieren wird.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Berechne zuerst die Diskriminante. Das kostet nur eine Zeile und entscheidet, ob es überhaupt etwas zu finden gibt.
  
  $b^2 - 4ac = 5^2 - 4(6)(-4) = 25 + 96 = 121$
2. 121 ist 11², somit existiert eine Faktorisierung in den ganzen Zahlen. Jetzt lohnt sich die Suche.
  
  $121 = 11^2$
3. Die Nullstellen leiten sich aus derselben Zahl ab. Da die Diskriminante eine Quadratzahl ist, sind sie rational.
  
  $x = \frac{-5 \pm 11}{12} = \tfrac{1}{2}, \; -\tfrac{4}{3}$
4. Eine Nullstelle bei 1/2 bedeutet einen Faktor (2x − 1). Eine Nullstelle bei −4/3 führt zum Faktor (3x + 4). Das Auflösen der Nenner verwandelt die Nullstellen direkt in Klammerausdrücke.
  
  $(2x - 1)(3x + 4)$
5. Mach immer die Probe durch Ausmultiplizieren. Die beiden mittleren Streifen sind 8x und −3x. Zusammen ergeben sie genau die geforderten 5x.
  
  $6x^2 + 8x - 3x - 4 = 6x^2 + 5x - 4 \;\checkmark$
6. Ändere nun das konstante Glied in −5 und wiederhole den ersten Schritt. Die Diskriminante ist dann 25 + 120 = 145. Das ist keine Quadratzahl, also gibt es kein Rechteck mit ganzzahligen Seiten und keinen Grund, danach zu suchen.
  
  $5^2 - 4(6)(-5) = 25 + 120 = 145 \;\neq\; k^2$
7. An diesem Punkt stoppt das Werkzeug, und eine wichtige Unterscheidung beginnt. 6x² + 5x − 5 lässt sich in den reellen Zahlen wunderbar faktorisieren, nämlich in Klammerausdrücke, die √145 enthalten. „Nicht faktorisierbar“ bedeutet immer „nicht innerhalb der Zahlen, auf die wir uns geeinigt haben“. Meistens bleibt diese Vereinbarung jedoch unausgesprochen.
  
  $6x^2 + 5x - 5 = 6\left(x - \tfrac{-5 + \sqrt{145}}{12}\right)\left(x - \tfrac{-5 - \sqrt{145}}{12}\right)$
Antwort

(2x − 1)(3x + 4), und die Diskriminante von 121 = 11² hat dies schon vor der eigentlichen Suche verraten. Ändert man die −4 in eine −5, wird die Diskriminante zu 145. Das ist keine Quadratzahl. Dasselbe Trinom lässt sich in den ganzen Zahlen nicht mehr faktorisieren, bleibt aber in den reellen Zahlen problemlos zerlegbar.
Gemeinsamer Faktor zuerst 4 Schritte
Faktorisiere 3x² − 12x − 36 vollständig.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. 3 teilt alle drei Koeffizienten, wird also zuerst ausgeklammert.
  
  $3x^{2}-12x-36=3(x^{2}-4x-12)$
2. In der Klammer ist a = 1. Die beiden Zahlen mit dem Produkt −12 und der Summe −4 lauten −6 und 2.
  
  $mn=-12,\quad m+n=-4:\qquad m=-6,\ n=2$
3. Setze die 3 wieder davor.
  
  $3x^{2}-12x-36=3(x-6)(x+2)$
4. Die Klammern (3x − 18)(x + 2) ergeben ausmultipliziert zwar dasselbe Trinom, doch die erste lässt sich weiterhin durch 3 teilen: Die Faktorisierung ist unvollständig, und wenn eine Prüfungsaufgabe eine vollständige Zerlegung verlangt, gibt das Punktabzug.
  
  $(3x-18)(x+2)=3(x-6)(x+2)$
Antwort

3(x − 6)(x + 2).

$3x^{2}-12x-36=3(x-6)(x+2)$
Ein negativer x²-Term 4 Schritte
Faktorisiere 12 + 4x − x².

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Ordne den Term nach fallenden Potenzen und klammere −1 aus, damit das x² in der Klammer positiv wird.
  
  $12+4x-x^{2}=-(x^{2}-4x-12)$
2. In der Klammer ist das Produkt −12 und die Summe −4. Die gesuchten Zahlen sind also −6 und 2.
  
  $x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$
3. Das Minuszeichen lässt sich stattdessen in die erste Klammer hineinziehen; so steht es meistens in den Musterlösungen.
  
  $-(x-6)(x+2)=(6-x)(x+2)$
4. Prüfe für x = 0: Der Ausgangsterm ergibt 12, und (6)(2) ist ebenfalls 12.
  
  $x=0:\quad(6)(2)=12$
Antwort

−(x − 6)(x + 2), was dasselbe ist wie (6 − x)(x + 2).

$12+4x-x^{2}=(6-x)(x+2)$
Die Differenz zweier Quadrate, und die Zahl 8.051 7 Schritte
Multipliziere (x − 5)(x + 5) aus und sag, warum der mittlere Term verschwindet. Rechne dann 95 × 105 im Kopf, und entscheide, ob dasselbe Bild auch eine bloße Zahl zerlegen kann.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Die vier Teile des Rechtecks, in Leserichtung: die Ecke mit x², die beiden Streifen und die konstante Ecke.
  
  $x\cdot x \;+\; x\cdot 5 \;+\; (-5)\cdot x \;+\; (-5)\cdot 5$
2. Die beiden Streifen sind 5x und −5x. Sie heben sich auf, und das Trinom, das das Feld ausgibt, hat überhaupt keinen mittleren Term.
  
  $= x^{2} + 5x - 5x - 25 = x^{2} + 0x - 25$
3. In der Zeile für die Diskriminante steht 100, also 10²: eine Quadratzahl. Es existieren also ganzzahlige Klammern. Dass das so ist, wissen wir hier allerdings schon, weil wir sie selbst konstruiert haben.
  
  $b^{2}-4ac = 0^{2} - 4(1)(-25) = 100 = 10^{2}$
4. Dass sich die Terme aufheben, war kein Glückstreffer. Steht in beiden Klammern dieselbe Zahl mit unterschiedlichem Vorzeichen, stellen die Streifen zweimal dasselbe Rechteck dar: einmal addiert und einmal abgezogen, ganz gleich um welche Zahl es geht.
  
  $(x+q)(x-q) = x^{2} + qx - qx - q^{2} = x^{2} - q^{2}$
5. Nichts an dieser Überlegung verlangt, dass x ein Buchstabe ist. Setz 100 ein, und aus einer Multiplikation wird eine Subtraktion.
  
  $95 \times 105 = (100-5)(100+5) = 100^{2} - 5^{2} = 10{,}000 - 25 = 9{,}975$
6. Je zwei Zahlen lassen sich als ein Mittelpunkt und ein Abstand nach beiden Seiten schreiben, das funktioniert also bei jedem Paar, dessen Mittelwert leicht zu bilden ist.
  
  $47 \times 53 = (50-3)(50+3) = 2{,}500 - 9 = 2{,}491$
7. Rückwärts gelesen erledigt es die schwerere Arbeit. Um 8.051 zu faktorisieren, such ein Quadrat, das sie um ein weiteres Quadrat übertrifft: 90² ist das erste, das es tut, und die beiden Klammern sind die Faktoren. Das ist Fermats Methode, und sie ist genau dann schnell, wenn die beiden Faktoren nahe beieinanderliegen, wie 83 und 97 es tun.
  
  $90^{2} - 8{,}051 = 8{,}100 - 8{,}051 = 49 = 7^{2} \;\Longrightarrow\; 8{,}051 = 83 \times 97$
Antwort

x² − 25 und 95 × 105 = 9.975. Der mittlere Term fällt weg, weil die beiden Streifen gleich groß und entgegengesetzt sind; es bleibt x² − q². Liest man diese Identität rückwärts, zerlegt sie Zahlen statt Terme: 8.051 = 90² − 7² = 83 × 97.

$a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b) \qquad\Longleftrightarrow\qquad N = m^{2}-d^{2} = (m-d)(m+d)$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Multipliziere (3x − 2)(x + 5) aus.

Ergebnis anzeigen

3x² + 13x − 10

$3x^{2}+13x-10$
Multipliziere (x − 4)(x + 1)(x + 3) aus.

Ergebnis anzeigen

x³ − 13x − 12

$x^{3}-13x-12$
Faktorisiere x² + x − 20.

Ergebnis anzeigen

(x + 5)(x − 4)

$(x+5)(x-4)$
Faktorisiere 10x² − 11x − 6.

Ergebnis anzeigen

(2x − 3)(5x + 2)

$(2x-3)(5x+2)$
Faktorisiere 2x² − 18 vollständig.

Ergebnis anzeigen

2(x − 3)(x + 3)

$2(x-3)(x+3)$
Faktorisiere x² − 7x.

Ergebnis anzeigen

x(x − 7)

$x(x-7)$
Lässt sich 2x² + 3x − 4 ganzzahlig faktorisieren?

Ergebnis anzeigen

Nein. Die Diskriminante ist 41, also keine Quadratzahl.

$b^{2}-4ac=41$

Die vier Buchstaben von FOIL stehen für vier Rechtecke

Lege ein Rechteck mit den Seiten x + 2 und x + 3 neben die Rechnung. Es teilt sich in vier Teilstücke, weil jede Seite in zwei Abschnitte zerfällt: x², zwei Streifen mit 3x und 2x sowie eine 6 in der Ecke. Diese vier Flächen sind die vier Terme, und ihre Summe ergibt den gesamten Flächeninhalt – genau das bedeutet »Ausmultiplizieren«. In welcher Reihenfolge du sie durchgehst, spielt keine Rolle. Deshalb funktioniert jede Merkregel dafür, und genau deshalb ist keine davon nötig. Wird ein Koeffizient negativ, verblassen die angrenzenden Teilstücke und erhalten einen gestrichelten Rand: Eine negative Fläche bedeutet einen Abzug, und das geometrische Bild funktioniert nahtlos weiter, was man von den Merkregeln kaum behaupten kann.

Faktorisieren ist dasselbe Bild, und deshalb ist es schwieriger

Wechsle zu Faktorisieren, und die Frage kehrt sich um: Die Fläche ist gegeben – wie lang waren die Seiten? Ein neuer Gedanke ist dafür nicht nötig. Ausmultiplizieren ist eine Rechnung, Faktorisieren dagegen eine Suche. Du kennst die Summe der vier Teilflächen und musst sie so anordnen, dass ein Rechteck entsteht. Wegen dieser Asymmetrie lässt sich die eine Richtung als Verfahren lehren, während die andere oft als Kunstgriff erscheint. Aus demselben Grund ist es leicht, zwei Primzahlen zu multiplizieren, während die Zerlegung ihres Produkts die Grundlage von RSA bildet.

Ein Test verrät, ob sich die Suche überhaupt lohnt

Bevor du nach Faktoren suchst, berechne b² − 4ac. Ist die Diskriminante eine Quadratzahl, lässt sich das Trinom über den ganzen Zahlen faktorisieren. Andernfalls gibt es keine passende Anordnung; langes Probieren ändert daran nichts. Klick auf Nicht faktorisierbar: x² + x + 1 hat die Diskriminante −3, das gesuchte Rechteck existiert also nicht. Dieselbe Diskriminante bestimmt auch die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion. Das ist kein Zufall: In den Seitenlängen des Rechtecks verbergen sich die Nullstellen, und ganzzahlige Seiten zu suchen heißt, nach rationalen Nullstellen zu fragen. Prüfst du sämtliche Trinome mit a zwischen 1 und 8 sowie b und c zwischen −12 und 12, erhältst du 733 mit quadratischer Diskriminante. Alle 733 lassen sich faktorisieren.

Lernpfad

Jenseits quadratischer Gleichungen

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.

Ausmultiplizieren und Faktorisieren

Woher die Formel kommt

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Die vier Buchstaben von FOIL stehen für vier Rechtecke 🖖

Faktorisieren ist dasselbe Bild, und deshalb ist es schwieriger 🖖

Ein Test verrät, ob sich die Suche überhaupt lohnt 🖖

Die vier Buchstaben von FOIL stehen für vier Rechtecke

Faktorisieren ist dasselbe Bild, und deshalb ist es schwieriger

Ein Test verrät, ob sich die Suche überhaupt lohnt