Quadratische Gleichung lösen

Gib a, b und c ein. Bei ganzzahligen Koeffizienten erscheinen die Lösungen exakt, bei irrationalen Werten in Wurzelform. Darunter wird jeder Rechenschritt hergeleitet.

Die Lösungsformel	$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Anzahl reeller Lösungen	$\begin{aligned}&b^{2}-4ac>0:\ 2\\&b^{2}-4ac=0:\ 1\\&b^{2}-4ac<0:\ 0\end{aligned}$
Scheitelpunktform	$ax^{2}+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+c-\frac{b^{2}}{4a}$
Summe und Produkt der Lösungen	$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},\qquad x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

Rechenbeispiel — Quadratische Gleichung lösen

Diskriminante	1
Lösungen	3, 2
Scheitelpunkt	(2,5, −0,25), Minimum
Summe der Lösungen	5
Produkt der Lösungen	6

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Quadratische Gleichung lösen

Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Ihre Lösungen sind diejenigen x-Werte, die sie erfüllen; die reellen Lösungen entsprechen den Stellen, an denen die Parabel y = ax² + bx + c die x-Achse schneidet.

Woher die Formel kommt

Klammere a bei den x-Gliedern aus, damit die Klammer mit einem einfachen x² beginnt.
$ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c$
Ergänze quadratisch. Die quadrierte Hälfte des Koeffizienten von x wird in der Klammer addiert und wieder abgezogen. Was außen stehen bleibt, ist die Höhe des Scheitelpunkts.
$\begin{aligned}x^{2}+\frac{b}{a}x&=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\\ax^{2}+bx+c&=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\end{aligned}$
Löse nach x auf. Setze den Term gleich null, isoliere das Quadrat und ziehe beide Wurzeln. So entsteht die Lösungsformel.
$\begin{aligned}&\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\\&\Rightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{aligned}$
Lies die Diskriminante ab. Da ein Quadrat niemals negativ wird, entscheidet das Vorzeichen von b² − 4ac über alles: zwei reelle Lösungen, eine doppelte Lösung oder zwei komplexe Lösungen.
$\begin{aligned}&\Delta>0:\ x_{1}\ne x_{2}\qquad\Delta=0:\ x=-\frac{b}{2a}\\&\Delta<0:\ x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,i\end{aligned}$
Lass Wurzeln exakt stehen. Ziehe quadratische Faktoren aus √Δ heraus und kürze, was jeden Term teilt. Dezimalzahlen gibst du erst an, wenn ausdrücklich danach gefragt ist.
$\begin{aligned}&x^{2}+4x-7=0:\\&x=\frac{-4\pm\sqrt{44}}{2}=\frac{-4\pm2\sqrt{11}}{2}=-2\pm\sqrt{11}\end{aligned}$

Wenn die berühmte Formel leise versagt

Die Formel aus dem Lehrbuch kann dich am Computer böse im Stich lassen. Ist b² weitaus größer als 4ac, entspricht die Wurzel fast exakt |b|. In der Konsequenz ziehst du bei der Berechnung einer der beiden Nullstellen zwei beinahe identische Zahlen voneinander ab. Das passiert bei -b + √Δ, wenn b positiv ist, und bei -b − √Δ, wenn b negativ ist. Dabei gehen die meisten signifikanten Stellen verloren. Fachleute nennen diesen Effekt katastrophale Auslöschung. Numerische Bibliotheken umschiffen das Problem geschickt. Sie berechnen zuerst nur eine Nullstelle. Die andere bestimmen sie danach direkt über c/(a·x₁). Jahrhundertealte Algebra und moderne Gleitkommaarithmetik stehen hier in einem stillen Widerspruch.

THEORIE DER QUADRATISCHEN GLEICHUNG — ax² + bx + c LESEN, BEVOR MAN LÖST

Die Diskriminante: Wie viele Lösungen, und in welche Richtung geöffnet?

Zwei Zahlen legen die Form der Antwort fest, noch bevor du die Lösungsformel anwendest. Die Diskriminante Δ = b² − 4ac sagt dir, wie viele reelle Lösungen es gibt, und das Vorzeichen von a sagt dir, wohin die Parabel geöffnet ist und ob ihr Scheitel ein tiefster oder ein höchster Punkt ist.

Δ > 0 — zwei verschiedene reelle Lösungen Δ = b² − 4ac > 0

Δ = 0 — eine doppelte reelle Lösung Δ = 0

Δ < 0 — zwei konjugiert komplexe Lösungen Δ < 0

a < 0 — die Parabel ist nach unten geöffnet a < 0

Δ > 0 — zwei verschiedene reelle Lösungen

Gegeben: Die Diskriminante b² − 4ac ist positiv. Die Parabel schneidet die x-Achse in zwei getrennten Punkten.

Lösungen: Δ = b² − 4ac > 0

Rechenbeispiel: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = 2 und x = 3

Diesen Fall öffnen: zwei Nullstellen

Δ > 0 — zwei verschiedene reelle Lösungen. Δ > 0: Die Kurve schneidet die Achse zweimal, symmetrisch zum Scheitel. Die Diskriminante b² − 4ac ist positiv. Die Parabel schneidet die x-Achse in zwei getrennten Punkten. — Δ > 0: Die Kurve schneidet die Achse zweimal, symmetrisch zum Scheitel.

Δ = 0 — eine doppelte reelle Lösung

Gegeben: Die Diskriminante ist genau null. Die Parabel berührt die x-Achse in einem Punkt, statt sie zu schneiden.

Lösungen: Δ = 0

Rechenbeispiel: x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = 2, doppelt gezählt

Diesen Fall öffnen: doppelte Nullstelle

Δ = 0 — eine doppelte reelle Lösung. Δ = 0: Der Scheitel liegt genau auf der Achse — eine Berührung, kein Schnitt. Die Diskriminante ist genau null. Die Parabel berührt die x-Achse in einem Punkt, statt sie zu schneiden. — Δ = 0: Der Scheitel liegt genau auf der Achse — eine Berührung, kein Schnitt.

Δ < 0 — zwei konjugiert komplexe Lösungen

Gegeben: Die Diskriminante ist negativ. Die Parabel erreicht die x-Achse nie, es gibt also keine reelle Lösung.

Lösungen: Δ < 0

Rechenbeispiel: x² + 2x + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → x = −1 ± 2i

Diesen Fall öffnen: komplexe Nullstellen

Δ < 0 — zwei konjugiert komplexe Lösungen. Δ < 0: Die gesamte Kurve bleibt auf einer Seite der Achse. Die Diskriminante ist negativ. Die Parabel erreicht die x-Achse nie, es gibt also keine reelle Lösung. — Δ < 0: Die gesamte Kurve bleibt auf einer Seite der Achse.

a < 0 — die Parabel ist nach unten geöffnet

Gegeben: Der Leitkoeffizient a ist negativ. Das ist unabhängig von der Diskriminante: Es spiegelt die Kurve und macht den Scheitel zum Maximum.

Lösungen: a < 0

Rechenbeispiel: −x² + 4 = 0 → Δ = 0 + 16 = 16 > 0 → x = ±2, mit einem Maximum bei (0, 4)

Diesen Fall öffnen: nach unten geöffnet

a < 0 — die Parabel ist nach unten geöffnet. a < 0: Die Äste zeigen nach unten, der Scheitel ist das Maximum. Der Leitkoeffizient a ist negativ. Das ist unabhängig von der Diskriminante: Es spiegelt die Kurve und macht den Scheitel zum Maximum. — a < 0: Die Äste zeigen nach unten, der Scheitel ist das Maximum.

Quellen (1)

Insight block 3 — catastrophic cancellation, and the reformulation that avoids it: D. Goldberg, "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991 — the quadratic formula is its worked example.

Aufgaben vollständig gelöst

Lösung von x² − 5x + 6 = 0 durch quadratische Ergänzung 5 Schritte
Löse x² − 5x + 6 = 0 durch quadratische Ergänzung. Beantworte dann etwas, das dir die quadratische Lösungsformel nicht verrät: Die Diskriminante zählt die Nullstellen, aber was misst ihre Größe?

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1. Die quadratische Ergänzung ist kein Trick zum Lösen quadratischer Gleichungen — sie ist der Beweis für die Gültigkeit der quadratischen Lösungsformel, angewendet auf eine konkrete Gleichung. Halbiere den Koeffizienten von x, quadriere ihn, addiere und subtrahiere ihn. Die 6,25, die dabei entsteht, ist der Preis dafür, die ersten beiden Terme in ein vollständiges Quadrat zu zwingen, und er muss in derselben Zeile wieder beglichen werden.
  
  $x^2-5x+6=\left(x-\tfrac52\right)^{2}-\tfrac{25}{4}+6=(x-2.5)^2-0.25$
2. Die Scheitelpunktform bringt die Variable an genau eine Stelle, sodass die Operationen direkt rückgängig gemacht werden können: Isoliere das Quadrat, zieh beide Wurzeln und addiere 2,5. Es wurde keine Formel benötigt und keine auswendig gelernt.
  
  $(x-2.5)^2=0.25\ \Longrightarrow\ x-2.5=\pm0.5\ \Longrightarrow\ x=2\ \ \text{or}\ \ x=3$
3. Nun zur Diskriminante. Hier ist Δ = 1, und da sie positiv ist, gibt es zwei reelle Nullstellen. Das ist der Teil, den jedes Lehrbuch erwähnt.
  
  $\Delta=b^2-4ac=25-24=1$
4. Sie taucht noch zwei weitere Male auf, und keines von beiden wird üblicherweise laut ausgesprochen. Der Abstand zwischen den Nullstellen beträgt √Δ/|a|, weil das ± in der Formel zu jeder von ihnen ±√Δ/2a beiträgt. Und der Scheitelpunkt liegt Δ/4a unterhalb der Achse — die −0,25 in der Anzeige oben ist kein unabhängiges Ergebnis, sondern wieder die Diskriminante, geteilt durch vier.
  
  $x_2-x_1=\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=1,\qquad y_V=-\frac{\Delta}{4a}=-0.25$
5. Der Satz von Vieta schließt den Kreis. Multipliziere a(x − x₁)(x − x₂) aus, vergleiche es Term für Term mit ax² + bx + c, und Summe sowie Produkt der Nullstellen ergeben sich, ohne etwas lösen zu müssen.
  
  $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=5,\qquad x_1x_2=\frac{c}{a}=6$
Antwort

Die Nullstellen lauten x = 2 und x = 3, und das Werkzeug gibt den Scheitelpunkt aus derselben Ergänzung bei (2,5, −0,25) aus. Der Gewinn besteht darin, dass eine einzige Zahl drei getrennte Sachverhalte steuert. Δ = 1 macht die Nullstellen reell, platziert sie genau 1 voneinander entfernt und senkt den Scheitelpunkt genau 0,25 unter die Achse. Erhöhe c gegen 6,25 und beobachte, wie sich alle drei gemeinsam verändern: Die Nullstellen rücken zusammen, der Abstand schließt sich wie √Δ, und die Parabel steigt, bis sie bei Δ = 0 die Achse berührt. Es waren nie drei Zufälle — es ist eine einzige Größe, betrachtet aus drei Blickwinkeln.

$x=2,\ 3\qquad \Delta=1:\ \text{separation}\ \sqrt{\Delta}=1,\ \text{depth}\ \tfrac{\Delta}{4a}=0.25$
Lösungsformel: Wurzelform 4 Schritte
Löse 2x² − 3x − 4 = 0 und gib die Lösungen in exakter Form an.

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1. Lies a, b und c samt ihren Vorzeichen ab. Die meisten Punkte gehen genau hier verloren.
  
  $a=2,\quad b=-3,\quad c=-4$
2. Zuerst die Diskriminante. Sie ist positiv, aber keine Quadratzahl: Es gibt zwei reelle Lösungen, und beide sind irrational.
  
  $b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4(2)(-4)=9+32=41$
3. Ab in die Formel damit. 41 hat keinen quadratischen Teiler, also bleibt √41 genau so stehen.
  
  $x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
4. Dezimalzahlen gehören erst ganz an den Schluss — und auch nur dann, wenn die Aufgabe sie verlangt.
  
  $\sqrt{41}\approx6.4031:\qquad x\approx2.3508,\quad x\approx-0.8508$
Antwort

x = (3 ± √41)/4, ungefähr 2,3508 und −0,8508.

$x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$
Quadratische Ergänzung bei a ≠ 1 4 Schritte
Bringe 2x² − 8x + 5 in die Form a(x + p)² + q, gib den Scheitelpunkt von y = 2x² − 8x + 5 an und löse 2x² − 8x + 5 = 0 exakt.

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1. Klammere die 2 nur bei den x-Gliedern aus. Die 5 bleibt draußen.
  
  $2x^{2}-8x+5=2(x^{2}-4x)+5$
2. Die Hälfte von −4 ist −2. Quadriere diese Zahl, addiere und subtrahiere sie innerhalb der Klammer und multipliziere die 2 wieder mit der −4.
  
  $=2\left[(x-2)^{2}-4\right]+5=2(x-2)^{2}-3$
3. Ein Quadrat ist nie negativ. Der kleinste Wert ist also −3, erreicht genau dann, wenn die Klammer 0 wird.
  
  $(x-2)^{2}\ge0\ \Rightarrow\ 2(x-2)^{2}-3\ge-3,\quad x=2$
4. Setzt du die Scheitelpunktform gleich null, genügt eine einzige Wurzel.
  
  $\begin{aligned}&2(x-2)^{2}=3\ \Rightarrow\ x-2=\pm\sqrt{\tfrac32}=\pm\frac{\sqrt6}{2}\\&\Rightarrow\ x=\frac{4\pm\sqrt6}{2}\end{aligned}$
Antwort

2(x − 2)² − 3; Scheitelpunkt (2, −3), ein Minimum; x = (4 ± √6)/2.

$2(x-2)^{2}-3,\quad(2,\,-3),\quad x=\frac{4\pm\sqrt6}{2}$
Ein Parameter und doppelte Lösungen 4 Schritte
Bestimme die Werte für k, für die x² + kx + 9 = 0 eine doppelte Lösung besitzt. Für welche k gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen?

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1. Eine doppelte Lösung bedeutet: Die Diskriminante ist null. Stelle sie mit k auf.
  
  $b^{2}-4ac=k^{2}-4(1)(9)=k^{2}-36$
2. Löse nach k auf.
  
  $k^{2}-36=0\ \Rightarrow\ k=\pm6$
3. Prüfe einen der Werte. Mit k = 6 ist der Ausdruck ein vollständiges Quadrat, und seine einzige Lösung lautet −3.
  
  $k=6:\quad x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}=0\ \Rightarrow\ x=-3$
4. Zwei verschiedene Lösungen verlangen eine positive Diskriminante. Das gilt außerhalb der beiden eben berechneten Werte.
  
  $k^{2}-36>0\iff k<-6\ \lor\ k>6$
Antwort

k = 6 oder k = −6 für eine doppelte Lösung; zwei verschiedene reelle Lösungen für k < −6 oder k > 6.

$k=\pm6;\qquad k<-6\ \lor\ k>6$
Keine reellen Lösungen 3 Schritte
Zeige, dass x² + 2x + 5 = 0 keine reellen Lösungen hat, und bestimme ihre komplexen Lösungen.

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1. Die Diskriminante ist negativ.
  
  $b^{2}-4ac=2^{2}-4(1)(5)=4-20=-16<0$
2. Die Scheitelpunktform zeigt dir dasselbe ganz anschaulich: Die linke Seite wird nie kleiner als 4, also niemals 0. Die Parabel bleibt stets über der Achse.
  
  $x^{2}+2x+5=(x+1)^{2}+4\ge4>0$
3. Die Formel greift trotzdem mit √−16 = 4i, und die beiden Lösungen treten als konjugiert komplexes Paar auf.
  
  $x=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2\pm4i}{2}=-1\pm2i$
Antwort

Δ = −16 < 0, also keine reellen Lösungen; die komplexen Lösungen lauten x = −1 ± 2i.

$x=-1\pm2i$
Eine getarnte quadratische Gleichung 3 Schritte
Löse x⁴ − 5x² + 4 = 0.

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1. Es treten nur x² und x⁴ auf, und x⁴ ist (x²)². Gib x² einen neuen Namen.
  
  $u=x^{2}:\qquad u^{2}-5u+4=0$
2. Schon hast du eine ganz gewöhnliche quadratische Gleichung in u. Dieses Werkzeug löst sie.
  
  $(u-4)(u-1)=0\ \Rightarrow\ u=4,\ u=1$
3. Gehe zurück zu x: Jeder positive Wert von u liefert zwei Werte für x.
  
  $x^{2}=4\ \Rightarrow\ x=\pm2,\qquad x^{2}=1\ \Rightarrow\ x=\pm1$
Antwort

x = −2, −1, 1 oder 2.

$x=-2,\ -1,\ 1,\ 2$
Eine quadratische Gleichung aus ihren Lösungen 3 Schritte
Bestimme eine quadratische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, deren Lösungen 2 + √3 und 2 − √3 lauten.

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1. Addiere die Lösungen: Die Wurzeln heben sich auf.
  
  $(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$
2. Multipliziere sie: dritte binomische Formel, und die Wurzel verschwindet erneut.
  
  $(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1$
3. Mit Leitkoeffizient 1 lautet die quadratische Gleichung: x² minus Summe mal x plus Produkt.
  
  $x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=x^{2}-4x+1$
Antwort

x² − 4x + 1 = 0.

$x^{2}-4x+1=0$
Ein Modell und eine verworfene Lösung 4 Schritte
Ein Ball wird so geworfen, dass seine Höhe nach t Sekunden h = 1,5 + 14t − 4,9t² Meter beträgt. Wann trifft er auf den Boden und wie hoch steigt er?

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1. Der Boden bedeutet h = 0. In gewohnter Reihenfolge geordnet: a = −4,9, b = 14 und c = 1,5.
  
  $-4.9t^{2}+14t+1.5=0$
2. Die Diskriminante.
  
  $b^{2}-4ac=14^{2}-4(-4.9)(1.5)=196+29.4=225.4$
3. Die Formel liefert zwei Lösungen. Der negative Wert entspricht einer Zeit vor dem Abwurf, über die das Modell nichts aussagt; er wird verworfen.
  
  $\begin{aligned}&t=\frac{-14\pm\sqrt{225.4}}{-9.8}\\&\Rightarrow\ t\approx2.9605,\ \ t\approx-0.1034\end{aligned}$
4. Den Gipfelpunkt der Flugbahn bildet der Scheitelpunkt — ein Maximum, da a negativ ist.
  
  $\begin{aligned}&t=-\frac{b}{2a}=\frac{14}{9.8}\approx1.4286\\&h=1.5-\frac{14^{2}}{4(-4.9)}=11.5\end{aligned}$
Antwort

Er landet nach etwa 2,96 s und steigt auf 11,5 m, bei t ≈ 1,43 s.

$t\approx2.96\ \mathrm{s};\qquad h_{\max}=11.5\ \mathrm{m}$

Weitere Aufgaben, nur mit Lösungen

Löse x² + 4x − 7 = 0 und gib deine Lösungen in exakter Wurzelform an.

Ergebnis anzeigen

x = −2 ± √11

$x=-2\pm\sqrt{11}$
Bringe x² − 6x + 11 in die Form (x − p)² + q und gib das Minimum an.

Ergebnis anzeigen

(x − 3)² + 2; Minimum 2 bei x = 3

$(x-3)^{2}+2,\quad\min=2$
Bestimme k, wenn 2x² − 4x + k = 0 eine doppelte Lösung hat.

Ergebnis anzeigen

k = 2

$k=2$
Bestimme die Werte von k, für die x² + 2kx + 9 = 0 keine reellen Lösungen besitzt.

Ergebnis anzeigen

−3 < k < 3

$-3<k<3$
Löse 3x² − 5x − 2 = 0.

Ergebnis anzeigen

x = 2 oder x = −1/3

$x=2,\ \ x=-\tfrac13$
Löse x² + 6x + 13 = 0.

Ergebnis anzeigen

x = −3 ± 2i

$x=-3\pm2i$
Löse 4ˣ − 6 × 2ˣ + 8 = 0.

Ergebnis anzeigen

x = 1 oder x = 2

$x=1,\ \ x=2$

Lernpfad

Jenseits quadratischer Gleichungen

Vom 7-Raven-Room-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.